常微分方程的数值解及实验23
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使得对任意的x [a, b]及y1, y2都成立
则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，L 称为 Lipschitz常数.
就可保证方程解的存在唯一性
若 f (x,y) 在区域 G连续，关于y
满足李普希兹 条件
一阶常微分方程的初值问题的解存在且唯一. 我们以下的讨论，都在满足上述条件下进行.
Βιβλιοθήκη Baidu
一阶常微分方程组常表述为：
Ri y( xi1 ) yi 称为局部截断误差
/* local truncation error */。
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考
虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。
求解数值解
很多微分方程 根本求不到 问题的解析解！
重要手段。
5.常微分方程数值解法的特点 常微分方程的数值解法常用来求近似解
根据提供的算法 通过计算机 便捷地实现
数值解法得到的近似 解(含误差)是一个 离散的函数表.
6.基本知识
本章主要讨论一阶常微方程的初值问题
各
y f (x, y) a x b (1.1)
本章专门 讨论
如何利用数值方法求解微分方程（组）的问题。
3.什么是微分方程 (组)的解析解?
3.什么是微分方 程(组)的解析解?
一个或一组具有所要求阶连续导数的解析函数，将 它代入微分方程（组），恰使其所有条件都得到满 足的解称为解析解(或古典解),称为真解或解。
寻找解析解的过程称为求解微分方程组。
4.什么是微分方程的数值解?
虽然求解微分方程有许多解析方法,但解析方法 只能够求解一些特殊类型的方程,从实际意义 上来讲
我们更关心的是某些 特定的自变量在某一个 定义范围内的一系列离散点上的近似值.
把这样一组近似解称为 微分方程在该范围内的
数值解
寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。
在大量的实际方程中出现的函数起码的连续性都 无法保证，更何况要求阶的导数
或用向前差 商近似导数
y(xn )
y(xn1 ) h
y(xn )
y(xn1) y(xn ) hy(xn ) yn h f (xn , yn )
x0
x1
yi1 yi h f ( xi , yi ) (i 0, ... , n 1)
依上述公式逐次计算可得：
y1 y0 hf (x0 , y0 ) y2 y1 hf (x1, y1)
考虑模型：
y f (x, y) a x b (1.1)
y(x0 ) y0
(1.2)
欧
拉
最简单而直观
方
实用方法
法
弄清常微方程初值
在精度要求不高时
问题数值解法的一 些基本概念和构造
方法的思路.
通过欧拉方法的讨论
2. 欧拉方法的导出
把区间［a,b］
分为n个小区间
N等分
步长为 hi (xi1 - xi )
1.什么是微分方程 ? 现实世界中大多数事物
内部联系非常复杂
其状态随着 时间、地点、条件 的不同而不同
找出其状态和状态变化规律之间的相互联系， 也即一个或一些函数与他们的导数之间的关系
此种关系的数学表达就为
微分方程
2.数值求解微分方程的意义
如何建立数学模型已在建模课程中得到讨论， 各类微分方程本身和他们的解所具有的特性 已在常微分方程及数学物理方程中得以解释，
y f ( x, y, y)
y(a)
y(a)
a xb
这些解法都可以写成向量形式 用于一阶常微分方程组的初值问题. 也就解决了高阶方程的定解问题.
§2、初值问题的数值解法―单步法
简单的数值方法与基本概念
1. 简单欧拉法（Euler） 2．后退的欧拉法 3．梯形法 4．改进Euler法
1. 简单的欧拉(Euler)方法
y(x0 )
y0
(1.2)
种 数 值 解
法
其中f (x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为 初值条件。
常微分方程的理论指出：
当 f (x,y) 定义在区域 G=(a≤x≤b,｜y｜＜∞)
若存在正的常数 L 使：
(Lipschitz)条件
| f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 | (1.3)
y1 f1(x, y1, , ym )
ym
fm (x, y1,
, ym )
y1 ( x0 ) 1
ym
(
x0
)
m
( a x b)
方程组 初值条件
写成向量形式为
y f (x, y)
y(
x0
)
y0 ,
a xb
x0
(
x(1) 0
,
,
x(m) 0
)T
高阶常微分方程定解问题如二阶定解问题：
节点 xi a ihi ,一般取hi h( (b a) / n)即等距
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点
a x0 x1 xn b
处的近似值 yi y(xi )
y f (x, y)
y
(
x0
)
y0
a x b
(1.1) (1.2)
对微分方程(1.1)两端从 xn到xn1 进行积分
依此类推得到一折线
欧拉方法
就是用这条折线近似地代替曲线 y(x)
也称欧拉折线法.
y
pn1
y y(x)
pn
xn
xn 1
p xn1
x
从上述几何意义上得知，由Euler法所得的 折线明显偏离了积分曲线，可见此方法 非常粗糙。
4.欧拉法的局部截断误差：
在假设第 i 步计算是精确的前提下，考虑
截断误差
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
yn1 yn hf (xn , yn )
每步计算 yn1 只用到 yn
例题
故也称Euler为单步法。 公式右端只含有已知项 yn 所以又称为显格式的单步法。
3.欧拉公式有明显的几何意义
过点 (x0 , y0 ) 的曲线是解 y(x)在 (x0 , y0 ) 作 y(x) 的切线与直线 x x1交于 (x1, y1) 再作切线交于 (x2 , y2 )
xn1 ydx xn1 f (x, y(x))dx
xn
xn
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y(x))dx
xn
令g(x) f (x, y(x))
右端积分用 左矩形数值
求积公式
b g(x)dx (b a)g(a) g( ) (b a)2
a
2
得
yn1 yn (xn 1 xn ) f (xn , y(xn )) hf (xn , y(xn ))
则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，L 称为 Lipschitz常数.
就可保证方程解的存在唯一性
若 f (x,y) 在区域 G连续，关于y
满足李普希兹 条件
一阶常微分方程的初值问题的解存在且唯一. 我们以下的讨论，都在满足上述条件下进行.
Βιβλιοθήκη Baidu
一阶常微分方程组常表述为：
Ri y( xi1 ) yi 称为局部截断误差
/* local truncation error */。
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考
虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。
求解数值解
很多微分方程 根本求不到 问题的解析解！
重要手段。
5.常微分方程数值解法的特点 常微分方程的数值解法常用来求近似解
根据提供的算法 通过计算机 便捷地实现
数值解法得到的近似 解(含误差)是一个 离散的函数表.
6.基本知识
本章主要讨论一阶常微方程的初值问题
各
y f (x, y) a x b (1.1)
本章专门 讨论
如何利用数值方法求解微分方程（组）的问题。
3.什么是微分方程 (组)的解析解?
3.什么是微分方 程(组)的解析解?
一个或一组具有所要求阶连续导数的解析函数，将 它代入微分方程（组），恰使其所有条件都得到满 足的解称为解析解(或古典解),称为真解或解。
寻找解析解的过程称为求解微分方程组。
4.什么是微分方程的数值解?
虽然求解微分方程有许多解析方法,但解析方法 只能够求解一些特殊类型的方程,从实际意义 上来讲
我们更关心的是某些 特定的自变量在某一个 定义范围内的一系列离散点上的近似值.
把这样一组近似解称为 微分方程在该范围内的
数值解
寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。
在大量的实际方程中出现的函数起码的连续性都 无法保证，更何况要求阶的导数
或用向前差 商近似导数
y(xn )
y(xn1 ) h
y(xn )
y(xn1) y(xn ) hy(xn ) yn h f (xn , yn )
x0
x1
yi1 yi h f ( xi , yi ) (i 0, ... , n 1)
依上述公式逐次计算可得：
y1 y0 hf (x0 , y0 ) y2 y1 hf (x1, y1)
考虑模型：
y f (x, y) a x b (1.1)
y(x0 ) y0
(1.2)
欧
拉
最简单而直观
方
实用方法
法
弄清常微方程初值
在精度要求不高时
问题数值解法的一 些基本概念和构造
方法的思路.
通过欧拉方法的讨论
2. 欧拉方法的导出
把区间［a,b］
分为n个小区间
N等分
步长为 hi (xi1 - xi )
1.什么是微分方程 ? 现实世界中大多数事物
内部联系非常复杂
其状态随着 时间、地点、条件 的不同而不同
找出其状态和状态变化规律之间的相互联系， 也即一个或一些函数与他们的导数之间的关系
此种关系的数学表达就为
微分方程
2.数值求解微分方程的意义
如何建立数学模型已在建模课程中得到讨论， 各类微分方程本身和他们的解所具有的特性 已在常微分方程及数学物理方程中得以解释，
y f ( x, y, y)
y(a)
y(a)
a xb
这些解法都可以写成向量形式 用于一阶常微分方程组的初值问题. 也就解决了高阶方程的定解问题.
§2、初值问题的数值解法―单步法
简单的数值方法与基本概念
1. 简单欧拉法（Euler） 2．后退的欧拉法 3．梯形法 4．改进Euler法
1. 简单的欧拉(Euler)方法
y(x0 )
y0
(1.2)
种 数 值 解
法
其中f (x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为 初值条件。
常微分方程的理论指出：
当 f (x,y) 定义在区域 G=(a≤x≤b,｜y｜＜∞)
若存在正的常数 L 使：
(Lipschitz)条件
| f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 | (1.3)
y1 f1(x, y1, , ym )
ym
fm (x, y1,
, ym )
y1 ( x0 ) 1
ym
(
x0
)
m
( a x b)
方程组 初值条件
写成向量形式为
y f (x, y)
y(
x0
)
y0 ,
a xb
x0
(
x(1) 0
,
,
x(m) 0
)T
高阶常微分方程定解问题如二阶定解问题：
节点 xi a ihi ,一般取hi h( (b a) / n)即等距
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点
a x0 x1 xn b
处的近似值 yi y(xi )
y f (x, y)
y
(
x0
)
y0
a x b
(1.1) (1.2)
对微分方程(1.1)两端从 xn到xn1 进行积分
依此类推得到一折线
欧拉方法
就是用这条折线近似地代替曲线 y(x)
也称欧拉折线法.
y
pn1
y y(x)
pn
xn
xn 1
p xn1
x
从上述几何意义上得知，由Euler法所得的 折线明显偏离了积分曲线，可见此方法 非常粗糙。
4.欧拉法的局部截断误差：
在假设第 i 步计算是精确的前提下，考虑
截断误差
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
yn1 yn hf (xn , yn )
每步计算 yn1 只用到 yn
例题
故也称Euler为单步法。 公式右端只含有已知项 yn 所以又称为显格式的单步法。
3.欧拉公式有明显的几何意义
过点 (x0 , y0 ) 的曲线是解 y(x)在 (x0 , y0 ) 作 y(x) 的切线与直线 x x1交于 (x1, y1) 再作切线交于 (x2 , y2 )
xn1 ydx xn1 f (x, y(x))dx
xn
xn
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y(x))dx
xn
令g(x) f (x, y(x))
右端积分用 左矩形数值
求积公式
b g(x)dx (b a)g(a) g( ) (b a)2
a
2
得
yn1 yn (xn 1 xn ) f (xn , y(xn )) hf (xn , y(xn ))