北京大学数学科学学院期末试题-高等代数-2012

01

北京大学数学学院期末试题

2011－ 2012学年第一学期

考试科目 高等代数 I 考试时间 2012年 1 月 3 日 姓 名 学 号

1 1

10分）已知 n 阶方阵 A =

11

求矩阵 X , 使得 A X = B .

解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 0 0 1

2 2

2

0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3

0 1 1

0 1 2

2 0

1 1 1

1 1

2

3 n

0 1 1

1

0 1 2

n1

1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0

0 1 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1 0 0 1

0 0 1

1

0 0 1

0 0 1

1

1 1 0 0 1 n

2 0 0

0 1

0 0

0 1

1 1 1

1

01

110 二(. 15分)设 A : X A X 是 R 3

上的线性变换 , 其中

A =

1 1 2

002

(1) 求线性变换 A 像空间的维数和一组基 ; (2) 求矩阵 A 的特征值与特征向量 ; (3) 判断矩阵 A 能否对角化并说明理由 .

解: (1) 在标准基下 , A 像空间就是矩阵 A 的列空间 , 它的一组基

10 为 1 , 2

, 维数是 2 .

02

22

(λ 2) (λ2

2λ) λ(λ 2) 2

A 的特征值为 = 2 ( 代数二重 ), 0 .

对 = 2 解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :

1 1 0 1 1 0

1 1 2

001 0 0 0 000

通解为 x 1 = x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量 . 写成向量形式

x 1

x

2

1 x 2

x 2 x 2 1 x

3

α1 = [ 1 1 0 ] T

构成 = 2 特征子空间的一组基 .

(2)

| λI A | 1

10 λ 1

2 0 λ 2 ( λ 2)

对 = 0 解齐次方程组 A X = 0 :

1 1 0 1 1 0 1 1

2 0 0 1 0 0

2

0 0 0

通解为 x 1 = - x 2 ,x 3 = 0 , x 2 为自由变量 . 写成向量形

式

α1 = [ -1 1 0 ] T

构成 = 0 特征子空间的一组基 . （3） 由于特征值 = 2特征子空间的维数 1小于其代数重数 2,

A 不能否对角化 .

三．（35分）填空题 （多选） .

1．已知 3阶矩阵 A 的特征值为 1, 1/2 , 0 , 相应的特征向量为

使得 AB = I . 当t 取 1 时, 存在非零矩阵 C ,使得 C

A = 0 .

3. 当 -4/5 < t < 0 时, 三元二次型

x 2 + y 2 + 5 z 2

+ 2 t x y – 2 x z + 4 y z 正定

.

[ 1 0 1 ]T , [ 0 1 0 ]T , [ 1 2 0 ]T , 则

2 A 3–

3 A 2

= 11

0 1 2

1

0 0

1 1 1t

2 0 0 1 0

1/ 2 0 0 1 0 0 1 0 1

1

1

2

01 1/ 2 1

01

当 t 取 不等于 1 的值 时 , 存在矩阵 B , 2. 设 A

2t 4 10

4. 设是n维欧氏空间里的单位列向量, 则| I – 5 T |

= - 4 注: 可计算行列式或利用| I m–A B | = | I n–B

A | .

5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是{A,B,D},{C} ,

相似分类是{A,D},{B},{C} , 合同分类是{A},{B},{C},{D} .

1 0 1 0 1 0 1 0 0

2 1 2

A 0 1 0 ,

B 1 3 1 ,

C 0 1 0 ,

D 0 1 0

1 0 1 0 1 0 3 0 1 0 0 0

6. 以下说法正确的有 (a)(b)(c)(d) 多( 选).

a) 如果两个实对称矩阵相似, 它们也一定合同;

b) 实方阵都能写成P Q 的形式, 其中P 是实对称矩阵,

Q是正交矩阵c) 每个矩阵都能写成P J的形式, P是可逆

矩阵, J是行简化阶梯矩阵d) 实方阵都能写成Q R 的形

式, Q 是正交矩阵, R 是上三角矩阵四.(12 分)判断对

错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.

1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中, 若任意n - 1 个向量都线性

无关, 则整个向量组也线性无关.

12

解: 此命题错误. 例如, 考察向量组0,0, 其中由任意一个向量构成的部分组都线性无关, 但整个向量组线性相关.

2) 设 A 是m n 矩阵. 若存在矩阵 B 与C, 使得BA = I