微专题17与圆相关的定点、定值问题答案

微专题17

1．答案：(2，0)．

解析：圆C 的方程可以改写为(x －2)(x ＋2－2t )＋y (y －2t 2)＝0，表示以(2，0)，(2t －2，2t 2)为直径的圆． 2．答案：4.

解析：设C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)，由题意知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2

＝t 2＋4

t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t ，0)；当x ＝0时，y ＝0或4

t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ，所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4. 3．答案：[－3，0)∪(0，3]．

解法1由题意可得，圆心C 到l 的距离d ＝

22－

⎝⎛⎭⎫222

＝3，即|am ＋m |m 2＋1

＝3，所以m 2＝

3

（a ＋1）2－3

，又因为a ≥1，所以0＜m 2≤3，－3≤m ＜0或0＜m ≤ 3.

解法2由题意可得，圆心C 到l 的距离d ＝

22－

⎝⎛⎭

⎫222

＝3，又l ：mx －y ＋m ＝0恒过定点A (－1，0)，a ≥1，所以AC ≥2，另设直线l 的倾斜角为θ，所以sin θ＝3AC ∈⎝⎛⎦⎤0，3

2，所

以l 的斜率m ＝tan θ∈[－3，0)∪(0，3]．

4．答案：5 2.

解析：由条件知定点A (0，0)，B (1，3)，且P A ⊥PB ，所以P A 2＋PB 2＝10(定值)，所以(2P A ＋PB )2≤(P A 2＋PB 2)(22＋12)＝50，即2P A ＋PB ≤5 2. 5．答案：2x ＋y ＋1＝0.

解析：由条件知圆心C (3－m ，2m )在直线2x ＋y －6＝0上，若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 与圆心所在直线平行，再代入点(－1，1)得直线l 的方程为2x ＋y ＋1＝0.

6．答案：(x －1)2＋y 2＝1.

解析：设定圆圆心M (a ，b )，半径为r ，动点P (x ，y )，由题意知MP ＝2r ，即(x －a )2＋(y －b )2＝4r 2，由于点P 在圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上，所以(2－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－4r 2＋3＝0，对任意x ，y 都成立，所以a ＝1，b ＝0，r 2＝1，所求圆方程为(x －1)2＋y 2＝1. 7．答案：(1)直线FG 被圆C 截得的弦长为7； (2)平面上存在定点P (－12，0)，使得结论成立．

解析：(1)由题意，设G (－5，y G )，代入(x ＋4)2＋y 2＝16，得y G ＝±15，所以FG 的斜率为k ＝±15，FG 的方程为y ＝±15(x ＋6)．设圆心

C (－4，0)到FG 的距离为d ，由点到直线的距离公式得d ＝|±215|15＋1＝15

2.则直线FG 被圆C

截得的弦长为2

6－⎝⎛⎭

⎫1522＝7.故直线FG 被圆C 截得的弦长为7.

(2)设P (s ，t )，G (x 0，y 0)，则由GF GP ＝12，得（x 0＋6）2＋y 02（x 0－s ）2＋（y 0－t ）2＝1

2，整理得3(x 02＋y 02)＋(48＋2s )x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.①

又G (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16上，所以x 02＋y 02＋8x 0＝0.②

将②代入①，得(2s ＋24)x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.又由G (x 0，y 0)为圆C 上任意一点可知，

⎩⎪⎨⎪

⎧2s ＋24＝0，2t ＝0，144－s 2－t 2＝0.

解得s ＝－12，t ＝0.所以在平面上存在定点P (－12，0)，使得结论成立． 8．答案：(1)略；(2)圆C 恒过异于点F 1的一定点，该点坐标为)13

32

,134(

. 解析：(1)解法1：易得直线AF 1：y ＝2x ＋8；AF 2：y ＝－2x ＋8，所以P ),28(t t -，Q ),2

8(t t

-，

再由QR ∥AF 1，得R (4－t ，0)，则线段F 1R 的中垂线方程为x ＝－t

2，线段PF 1的中垂线方

程为y ＝－12x ＋5t －16

8，

由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋5t －168

，x ＝－t

2，

得△PRF

1

的外接圆的圆心坐标为)28

7,

2(--t

t ，经验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．

解法2：易得直线AF 1：y ＝2x ＋8；AF 2：y ＝－2x ＋8，所以P ),28(

t t -，Q ),2

8(t t

-，再由QR ∥AF 1，得R (4－t ，0)，设△PRF 1的外接圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧（4－t ）2＋（4－t ）D ＋F ＝0，

（－4）2

－4D ＋F ＝0，⎝⎛⎭⎫t －822

＋t 2

＋t －82D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪

⎨⎪⎧D ＝t ，

E ＝4－74t ，

F ＝4t －16，所以圆心坐标为)287,2(--t t ，经

验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．

(2)由(1)可得圆C 的方程为x 2＋y 2＋tx ＋⎝⎛⎭

⎫4－7

4t y ＋4t －16＝0，该方程可整理为(x 2＋y 2＋2y －16)＋t ⎝⎛⎭⎫x －74y ＋4＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2

＋4y －16＝0，

x －7

4y ＋4＝0，

解得⎩

⎨⎧x ＝413，y ＝3213

，或⎩⎨⎧x ＝－4，

y ＝0，所以圆恒过异

于点F 1的一个定点，该点坐标为)13

32,134(.