第八章 超静定结构解法

end
总结一下力法的解题步骤如下：
1)判断结构的超静定次数；
2)解除多余约束，代以相应的多余约束力Xi，选好静定基；
3)分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相
应的位移 iP , ij ；
4)将 iP , ij 代入典型方程，求出多余约束力Xi；
5) 用叠加法作出超静定结构的内力图后，可进行各种计算。以
同理也可求出其他内力X2，X3在此三方向上所引起的位移。由于 结构在C处是连续的，因此，所有外荷载及各多余约束力在该处引起 的相对变形应为零。
end
1 1P 11X1 12 X 2 13 X 3 0
2 2P 21X1 22 X 2 23 X 3 0
3
3P
31 X 1
32 X 2
作弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为：
M
MP
X
1
M
0 1
X
2
M
0 2
X
3
M
0 3
6)校核：对力法计算结果的校核，主要是看解算典型方程时是否有问
题。因为从理论上讲，满足超静定结构平衡方程的多余约束力可有无限
多，但只有又满足变形连续条件的那一组多余约束力，才是超静定结构
中唯一的那组真实的力。所以在求得多余约束力后，再按计算静定结构
将上述系数代入典型方程后得：
end
2 3
l3X1
l2
X
3
1 3
Pl3
0
7 12
l
3
X
2
1 4
Pl3
0
l 2 X1
3lX 3
1 2
Pl2
0
解之得：
X1
P 2
3P X2 7
X3 0
根据
M
MP
X
1M
0 1
X
2
M
0 2
X
3M
0 3
作图
3Pl B
14
3Pl 14
C
M0
3Pl A 3Pl D
7
7
超静定次数的多少就等于使超静定结构成为无多余约束的几何不变体所 要解除的约束数。
(a) 1次 (c) 1次
(b) 2次
(e) 1次
(f) 3次
(c) 4次
(g) 3次
(i) 4次
(h) 9次
end
8-2 力法和典型方程
以一封闭刚架为例来说明其解法，并由此导得用力法求解超静定问题 的一个典型方程。
C P
li Ei Ii
EI 0 2
2EI
3PR3
X1
1P 11
l
2EI R3
2l
3PR3
EI
R3
EA 2EI EA
end
*8-4 超静定结构在温度变化和支座移动时的计算
静定结构在温度变化和支座移动时，在结构内部不会引起内力。但对超静 定结构，由于存在多余约束，结构不能自由地变形，其内部就要引起内力。
23 32 0
13
31
2 EI
l2
2
1
l2 EI
式中, 12=21=0，23=32=0是由于M10和M30图形对于结构的对称轴来说是
正对称的(即图形的左半绕对称轴转180o后，和右半的图形完全重合)；而 图形M20则是反对称的(即图形的左半绕对称轴转180o后，和右半图形的坐 标值大小相等而符号相反)。正、反对称图形互乘后，所得位移恒为零。
A
6i l
B
12i l
AB l
QBgA
AB
jA
jB
bAB
(a)
M M
ij ji
4i 2i
Qij
Q ji
6i l
2i
4i 6i
l
6i l 6i
l i 12 l2
i j
ij
M M
g ij
g ji
Qigj
Q
g ji
end
对于图所示的A端固定、B 端铰支的等截面梁，其杆端力为：
end
例8-2 求图示半径为R的超静定拱中拉杆的拉力，巳知曲梁的刚度为EI
及杆的刚度为EA。
P
P
P
(a)
(b)
(c)
EI
j
j
EA
1
1
P/ 2
P/ 2
MP
P 2
R1
c os
M
0 1
1
R
sin
N10 1
1P i
M
Pi
M
0 i
ds
2
2 P R(1 cos) R sin Rd 3PR3
X1
1X1 11 X1
2X1 21 X1
3X1 31 X1
1P
3P
P
2P
(c)
31
11
31
21 21
(d)
31 32 21
22
22
32
(e)
33
13
33
23 23
(f )
式中 11, 21, 31 分别是X1方向的单位荷载在X1，X2，X3方向所引
起的位移，见图(d)
1
(c)
M
0 1
(e)
(d)
1
1
M
0 2
l
2E l
I
j
A
X1
4EI l
jA
X2
6EI l2
jA
4E l
I
j
A
end
如果上题取静定基如图
A
B X1’
jA
1C
2C
11 X1 12 X 2 1C 0 21 X1 22 X 2 2C 0
(a)
1
X2’
(b)
l
1C Ri0Ci 1jA jA
33 X 3
0
(8-1)
典型方程
其中
iP i
li
M
0 i
M
Ei Ii
P
dsi
ij i
li
M
0 i
M
Ei Ii
0 j
dsi
i
li
M
0 j
M
Ei Ii
0 i
dsi
ji
ij ji ——位移互等定理
对于n次的超静定结构，当然也可以写出类似的n个变形补充方程， 可解出n个多余约束力。多余约束力解出后，问题就变成静定的了，其他 未知反力、内力、位移等都可按静定结构的计算方式进行计算。
位移的方法，计算一下超静定结构的位移，看它是否满足巳知的变形条
件或连续性条件。如满足，则结果正确。
end
例 8-1 图示一对称刚架，即平分刚架的左、右两半部分，不但由轴线所构
成的几何图形是对称的，而且所用材料、截面尺寸、支座条件也是相同的。
设尺寸和受力如图，杆的刚度为EI，试作其弯矩图。
B
C
X2
X3
Pl2 2
2 3
l
Pl3 3EI
1 Pl2 1 Pl3
2P
EI
2
2
l
4EI
3P
1 EI
Pl2
2
1
Pl2 2EI
11
2 EI
l2
2
2 3
l
2l 3 3EI
22
2 EI
1 2
l
2
2
l
3
l2 2
l
2
7l 3 12 EI
33
2 EI
1
l 2
11l
1
3l EI
12 21 0 23 32 0
可根据叠加原理，由表8-1中相应的杆端力叠加而得。
如对于图示两端固定的等截面梁，
P
q
其杆端弯矩和剪力(或写成矩阵形式)为： A
B
M AB
4iA
2iB
6i
AB l
M
g AB
M BA
2iA
4iB
6i
AB l
M
g BA
QAB
6i l
A
6i l
B
12i l
AB l
QAgB
QBA
6i l
所谓超静定次数，就是多余约束的个数，它可从超静定结构中 解除多余约束的个数来确定，即它等于将有多余约束的几何不变体 变为无多余约束的几何不变体时所要解除的约束数。
end
★ 切断一根链杆或在杆件内添加一个铰，相当于解除1个约束； ★ 而在体系内去掉一个铰，则相当于解除2个约束； ★ 切断一根梁(杆)则相当于解除3个约束。
M AB
iA
M
g AB
M
BA
iA
M
g BA
P
q
A
B
M ij M ji
i
i
i
i
0A
M M
g ij
g ji
上述公式习惯上常称为等截面杆的转角位移方程。它表达了杆件 两端内力与所受荷载及两端位移间的关系。
(1)温度变化时的内力计算
图示刚架为2次超静定结构，外侧
t1
温度为t1，内侧温度为t2。
t2
11X1 12 X 2 1t 0
21X1 22 X 2 2t 0
(a)
X1 X2 (b)
式中Δ1t，Δ2t 分别表示静定基在温度变化时在X1，X2方向的相应位移，它们 由上章的(7-28b)公式计算如下：
11
1 EI
1 2
l2
2 3
l
l2
l
4l 3 3EI
l
Bl
C
A (a)
X1
(b)
N0 1
(c)
it
i
tiN0i
i
t
h
0 Mi
25 1l 10 1 l 2 l 2 175l
0.1l 2
l
l M0
(d)
525EI 4l 2
M
(e)
X1
1t
11
175l
4l 3
525E
4l 2
it
tiN0i
i
i
t
h
0 Mi
( i =1，2)
方程中的其他系数ij的计算仍和以前的相同，它们是和温度变化无关的。
end
例8-3 图(a) 所示的刚架，当外侧温度为20℃，内侧温度为30℃ 时，试作 其弯矩图。巳知截面对称于形心轴，截面高度h=l /10，EI、EA均为常数，
材料的线膨胀系数为。
(a)
A
B
X2
X3
X3
P X1
X1
X2
(b)
今设在刚架中央截面C处截开，则得两个半刚架的静定基，超静定
次数为3，故加三对多余约束力X1， X2， X3以取代解除的约束作用；
end
然后再分别求出外荷载P及各未知内力例如X1在解除约束处的相
应位移
1P
,
2P
,
3P
,
1X1
,
2X1
,
3
。由于是线弹性结构，所以：
反对称荷载在对称结构的对称截面处 (不引起正对称的内力) 只引起反对称性内力。
end
另外，一般说来，对称结构在对称荷载作用下(图8-8a)，其反力、内 力、变形都是对称的；而对称结构在反对称荷载作用下(图8-9a)，其反 力、内力、变形都是反对称的。利用这个特点，我们对于对称结构的计 算，还可以从计算简图上作出简化，即只需取出结构的一半来计算。
P
P
C
C
C
C
P
P
(a)
(b)
A
BA
(a)
A
B
(b)
A
P
P
C
P
C
A
B
A
(a)
(b)
end
P
P
C
P
C
A
B
A
(a)
(b)
QC QC
C
P
P
I
I
II 22
P I 2
A
B
A
B
B
(a)
(b)
(c)
end
当对称结构受有不对称荷载时，可将此不对称荷载分解为正对称和 反对称的两组荷载，再利用上述方法分别 取半结构来计算
i
2C Ri0Ci 0 l jA ljA
i
X1
2EI l
jA
X 2
6EI l2
jA
(c)
M
0 1
1
4
EI l
j
A
M
0 2
1
(d)
2
EI l
j
A
(e)
所得结果可以看出：超静定结构由于支座位移所引起的内力也是和 杆件刚度的绝对值有关的。
end
当单跨超静定梁受到各种荷载及支座位移的共同作用时，其杆端力
退出
目的：了解力法、位移法求解超静定结构的过程。 要求：能正确判定超静定次数，恰当地选好求解
的方法；了解矩阵位移法的解题过程及超 静定结构的性质。
退出
8-1 超静定结构及超静定次数的确定 8-2 力法和典型方程 8-3 对称性的利用 *8-4 超静定结构在温度变化和支座移动时的计算 8-5 位移法的基本概念 8-6 转角位移方程解法 *8-7 矩阵位移法概念 8-8 力矩分配法
(a)
(b)
M
AB
Pl
1 2
P
l
3 7
P
l 2
2 7
Pl
M0
(c)
1
end
8-3 对称性的利用
由前节所举的例中巳经看到：当结构有对称性时，则在对称截面处 切开，解除其多余约束，利用轴力和弯矩的正对称性、剪力的反对称性，
可得知: 12=21=0; 23=32=0。
这样，原来的高阶方程组可以分解为低阶方程组。 作用在对称结构上的荷载也有正、反对称性时，典型方程也可简化。 正对称荷载在对称结构的对称截面处 (不引起反对称的内力) 只引起正对称的内力；
退出
8-1 超静定结构及超静定次数的确定
超静定结构也叫静不定结构，是工程中常见的一类结构。从结构 组成分析来讲，就是有多余约束的几何不变体。由于有多余约束存在， 相应地就有多余约束力，因此单靠静力学平衡方程就不能确定所有未 知力，故名静不定。
求解超静定问题的方法有多种，力法是最基本、也是历史最悠 久的一种。它是以多余约束力为未知数，列出变形补充方程求解后， 其他未知力和变形等就可按静定结构来计算。
I
3EI
end
(2) 支座位移时的内力计算
图示一等截面两端固定梁。设固定端A有一顺时针转角j ，求支座反
力，并作弯矩图。
11X1 12 X 2 jA
21X1 22 X 2
0
jA
(a) A l
X2 X1
B (b)
l EI
X1
l2 2EI
X2
jA
l2
l3
2EI X1 3EI X 2 0
P/2
X2
Pl/2
(a)
l/2
Mp
Mp0
l/2
(b)
(c)
以上节中所讨论的刚架为例来说明：若按现在的方法计算，则要简单些
2P
1 EI
1
2
Pl2 2
l 2
Pl3 8EI
22
Байду номын сангаас
1 EI
1
2
l 2 2
l 3
l2 2
l
2
7l 3 24 EI
代入典型方程 2 2P 22 X 2 0
得
3 X2 7 P
X3
P
l
P X1
X1
P
l
EI
X2
MP
A
D
(a)
(b)
(c)
11
M
0 1
ll (d)
M
0 2
l /2
l /2
(e)
M
0 3
11 (f )
本题为刚架，用图形互乘法求解较方便。作出外载和各单位荷载在 静定基上的内力图 (c , d , e , f )，不难求得典型方程中各系数如下：
end
1P
1 EI
M AB
3iA
3i
AB l
M
g AB
M BA 0
QAB
3i l
A
3i l
AB l
QAgB
QBA
3i l
A
3i l
AB l
QBgA
P
q
A
B
(a)
jA
A’
bAB
(b)
B’
AB
M ij
Qij
3i
3i
l
3i l
3i
ij
ij
MQigjigj
l2
end
对于一端固定、一端定向支承的等截面梁，如图所示，其杆端弯矩为：