第八章超静定结构解法

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8-1 超静定结构及超静定次数的确定
超静定结构也叫静不定结构，是工程中常见的一类结构。从结构 组成分析来讲，就是有多余约束的几何不变体。由于有多余约束存在， 相应地就有多余约束力，因此单靠静力学平衡方程就不能确定所有未 知力，故名静不定。
求解超静定问题的方法有多种，力法是最基本、也是历史最悠 久的一种。它是以多余约束力为未知数，列出变形补充方程求解后， 其他未知力和变形等就可按静定结构来计算。
l /2
(e)
M
0 3
11 (f )
本题为刚架，用图形互乘法求解较方便。作出外载和各单位荷载在 静定基上的内力图 (c ,d ,e ,f )，不难求得典型方程中各系数如下：
end
1PE1IP22l23l3PE3lI
2PE1IP22l12l4PE3lI
1 P2l P2l 3PEI 2 12EI
11E2Il22 23l32El3I 22E 2I1 22 l23 ll222 l17lE 23 I 33E2I12l11l1E 3l I
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目的：了解力法、位移法求解超静定结构的过程。 要求：能正确判定超静定次数，恰当地选好求解
的方法；了解矩阵位移法的解题过程及超 静定结构的性质。
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8-1 超静定结构及超静定次数的确定 8-2 力法和典型方程 8-3 对称性的利用 *8-4 超静定结构在温度变化和支座移动时的计算 8-5 位移法的基本概念 8-6 转角位移方程解法 *8-7 矩阵位移法 8-8 力矩分配法
12210 23320 23320 1331E2Il22 1El2I
式中, 12=21=0，23=32=0是由于M10和M30图形对于结构的对称轴来说是
正对称的(即图形的左半绕对称轴转180o后，和右半的图形完全重合)；而 图形M20则是反对称的(即图形的左半绕对称轴转180o后，和右半图形的坐 标值大小相等而符号相反)。正、反对称图形互乘后，所得位移恒为零。
同理也可求出其他内力X2，X3在此三方向上所引起的位移。由于 结构在C处是连续的，因此，所有外荷载及各多余约束力在该处引起 的相对变形应为零。
end
1
1P
11X1
12X2
13X3
0
2 2P21X122X2 23X3 0
3 3P31X132X2 33X3 0
(8-1)
典型方程
其中
iP i
li MEi0iM Ii Pdsi
将上述系数代入典型方程后得：
end
2 3
l3X
1
l2
X
3
1 3
Pl
3
0
7 12
l3X
2
1 4
Pl
3
0
l2 X 1
3 lX
3
1 2
Pl
2
0
解之得：
X1
P 2
X2
3P 7
X3 0
根据 M M P X 1 M 1 0 X 2 M 2 0 X 3 M 3 0 作图
3 Pl B
14
3 Pl 14
M M P X 1 M 1 0 X 2 M 2 0 X 3 M 3 0
(6)校核：对力法计算结果的校核，主要是看解算典型方程时是否有 问题。因为从理论上讲，满足超静定结构平衡方程的多余约束力可有无 限多，但只有又满足变形连续条件的那一组多余约束力，才是超静定结 构中唯一的那组真实的力。所以在求得多余约束力后，再按计算静定结 构位移的方法，计算一下超静定结构的位移，看它是否满足巳知的变形 条件或连续性条件。如满足，则结果正确。
C
M0
M0
3 Pl
A 3 Pl
D
77(a)()(c)1M AB Pl1 2Pl7 3P2 l7 2Pl
所谓超静定次数，就是多余约束的个数，它可从超静定结构中 解除多余约束的个数来确定，即它等于将有多余约束的几何不变体 变为无多余约束的几何不变体时所要解除的约束数。
end
★ 切断一根链杆或在杆件内添加一个铰，相当于解除1个约束； ★ 而在体系内去掉一个铰，则相当于解除2个约束； ★ 切断一根梁(杆)则相当于解除3个约束。
ij i
li M E i0 iM Ii0 jdi si
li M E 0 jiM Iii0di s ji
ij ji ——位移互等定理
对于n次的超静定结构，当然也可以写出类似的n个变形补充方程， 可解出n个多余约束力。多余约束力解出后，问题就变成静定的了，其他 未知反力、内力、位移等都可按静定结构的计算方式进行计算。
超静定次数的多少就等于使超静定结构成为无多余约束的几何不变体所 要解除的约束数。
(a) 1次 (c) 1次
(b) 2次
(e) 1次
(f) 3次
(c) 4次
(g) 3次
(i) 4次
(h) 9次
end
8-2 力法和典型方程
以一封闭刚架为例来说明其解法，并由此导得用力法求解超静定问题 的一个典型方程。
C P
end
例 8-1 图示一对称刚架，即平分刚架的左、右两半部分，不但由轴线所构
成的几何图形是对称的，而且所用材料、截面尺寸、支座条件也是相同的。
设尺寸和受力如图，杆的刚度为EI，试作其弯矩图。
B
C
X2
X3
X3
P
l
P X1
X1
P
l
EI
X2
MP
A
D
(a)
(b)
(c)
11
M
0 1
ll (d)
M
0 2
l /2
1X1 11X1 2X1 21X1 3X1 31X1
1P
3P
P
2P
(c)
31
11
31
21 21
(d)
31 32 21
22
22
32
(e)
33
13
33
23 23
(f )
式中 11,21,31分别是X1方向的单位荷载在X1，X2，X3方向所引
起的位移，见图(d)
end
总结一下力法的解题步骤如下：
(1)判断结构的超静定次数；
(2)解除多余约束，代以相应的多余约束力Xi，选好静定基； (3)分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相
应的位移 iP , ij ；
(4)将iP , ij 代入典型方程，求出多余约束力Xi； (5) 用叠加法作出超静定结构的内力图后，可进行各种计算。 以作弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为：
(a)
A
B
X2
X3
X3
P X1
X1
X2
(b)
今设在刚架中央截面C处截开，则得两个半刚架的静定基，超静定
次数为3，故加三对多余约束力X1， X2， X3以取代解除的约束作用；
end
然后再分别求出外荷载P及各未知内力例如X1在解除约束处的相 应位移 1 P , 2 P , 3 P , 1 X 1, 2 X 1, 3 X 1 。由于是线弹性结构，所以：