超静定结构的解法1位移法
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
位移法求超静定结构支座反力
位移法求超静定结构支座反力首先，让我们先来了解一下超静定结构和位移法的基本概念。
超静定结构是指具有多余支撑或节点的结构，这些结构在外力作用下可以保持稳定，但是支座反力并不唯一确定。
在超静定结构中，我们需要通过一定的方法来求解支座反力以及结构的内力分布。
位移法是一种结构分析方法，其基本思想是假设结构在受力作用下产生微小位移，通过计算位移的变化来求解结构的受力状态。
位移法的优点是简单易用，适用于各种结构形式，并且可以较为准确地求解结构的支座反力和内力分布。
接下来，我们将以一个简单的超静定结构为例，通过位移法来求解支座反力。
假设我们有一个悬臂梁结构，如下图所示：（图）该悬臂梁结构为超静定结构，假设其长度为L，横截面积为A，杨氏模量为E。
现在我们需要求解支座A处的水平和竖直支座反力。
首先，我们需要对结构进行简化，假设结构在受力作用下产生微小位移ε，如下图所示：（图）根据悬臂梁结构的几何关系和位移法的基本原理，我们可以列出以下方程：$\frac{d}{dx}(EA\frac{d^2u}{dx^2}) = 0$其中，u为结构在x方向的位移。
根据以上方程可以得到结构的位移方程为：$EA\frac{d^2u}{dx^2} = C_1$其中，C1为积分常数。
根据结构的边界条件，我们可以得到u(0) = 0，u'(0) = 0。
即支座A处的位移为0，支座处的应变为0。
根据以上条件，我们可以得到结构的位移方程为：$EA\frac{d^2u}{dx^2} = -\frac{F}{L^2}x$解上述方程可以得到结构的位移表达式为：$u(x) = \frac{F}{2EA}(x^2 - Lx)$根据结构的边界条件，我们可以得到支座A处的水平反力为0，即$R_A = 0$。
而支座A 处的竖直支座反力为支持力，即$R_V = F$。
通过以上分析，我们成功求解了超静定悬臂梁结构的支座反力。
通过位移法这一经典的结构分析方法，我们可以对各种结构进行分析，并且可以比较准确地求解结构的支座反力和内力分布。
超静定结构两类解法
第六章位移法超静定结构两类解法：力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。
结合位移法例题中需要用到的例子。
有时太繁，例。
别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。
→位移法，E，超静定梁和刚架。
于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定⇒内力一定⇒变形一定⇒位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。
力法：内力⇒位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移⇒内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。
这就出现了位移法。
目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。
以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。
这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。
例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。
下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤：一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角ϕB。
且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。
也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。
原结构的受力和变形情况和b是等价的。
B当作固定端又产生转角ϕB。
a（原结构）AB：BC：b如果把转角ϕB 当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。
显然，只要知道ϕB ，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是ϕB （位移法的基本未知量）。
关键：如何求ϕB ？求出ϕB 后又如何求梁的内力？又如何把a ⇒b 来计算？ 我们采用了这样的方法：假定在刚结点B 附加一刚臂（▼），限制B 点转角，B ⇒固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB 、BC 两个单跨超静定梁的组合体：AB ： ，BC ：但现在和原结构的变形不符，ϕB ，所以为保持和原结构等效，人为使B 结点发生与实际情况相同的转角ϕB （以Z 1表示，统一）。
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解
超静定结构是指在结构中存在多余的支座或者杆件，使得结构的自由度小于零，即结构无法通过静力学方法求解。
在这种情况下，我们需要采用力法或者位移法来求解结构的内力和位移。
力法是指通过假设结构内力的大小和方向，来求解结构的内力和位移的方法。
在力法中，我们需要假设结构内力的大小和方向，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
力法的优点是计算简单，适用于简单的结构，但是对于复杂的结构，力法的假设可能会导致误差较大。
位移法是指通过假设结构的位移，来求解结构的内力和位移的方法。
在位移法中，我们需要假设结构的位移，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
位移法的优点是适用于复杂的结构，可以准确地求解结构的内力和位移，但是计算较为繁琐。
在实际工程中，我们通常采用力法和位移法相结合的方法来求解超静定结构。
首先，我们可以通过力法来确定结构的内力大小和方向，然后再通过位移法来求解结构的位移。
这种方法可以充分利用力法和位移法的优点，减小误差，提高计算精度。
超静定结构的求解需要采用力法和位移法相结合的方法，通过假设结构的内力和位移，来求解结构的内力和位移。
在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，以保证计算精度和效率。
位移法
• 在位移法典型方程中，每个系数都是单位 结点位移所引起的附加约束的反力，它的 大小与结构刚度有关，刚度愈大则反力也 愈大。故把系数称为结构的刚度系数，把 典型方程称为刚度方程，把位移法也叫刚 度法。 无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结 构，也无论结构形式有多大差异，也不管基 本未知量的类型有什么不同，只要结构的位 移法基本未知量数目相同，位移法方程形式 都是相同的。
Z2 l
EI l P
R2
Z1
r21
3i/l
Z1=1
2EI
R1
12i/l
12i/l
3i/l
r11
M1
l R2=0 R1 r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0 Z2=1
R2 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
r22 r12 P
M2
R2P R1P
MP
M M 1 Z1 M 2 Z 2 M P
3i r11 30i / l 2 8i 3i / l r12 r21 9i / l r21 4i R1 P P 3i / l 2 12i / l r22 11i 3i r22 24i / l 2 R2 P 0 3i / l Z1 0.044Pl 2 / i 8i 12i / l Z 2 0.036Pl / i R2P P
二、杆端内力的正负号规定 杆端弯矩M：对杆件而言，当杆端弯矩绕杆件 顺时针方向旋转为正，反之为负。对结点而言，当 杆端弯矩绕结点（或支座）逆时针方向旋转为正， 反之为负 杆端剪力Q：正负号的规定，同材料力学和本 书中前面的规定。
三、等截面直杆的刚度系数和固端力
形常数:：是指使单跨超静定杆件在杆端沿某位移方向 发生单位位移时，所需要施加的杆端力。又称为刚度 系数 载常数：单跨超静杆件在荷载等外部因素作用下引起 的杆端内力，常称为固端内力（包括固端弯矩和固端 剪力）。
位移法求解超静定结构
位移法求解超静定结构一、引言超静定结构是指在静力学条件下，其内力和位移无法通过平衡方程和变形方程求解的结构。
由于超静定结构的内力和位移无法直接求解，因此需要采用特殊的方法进行计算。
其中，位移法是一种经典的求解超静定结构的方法。
二、位移法基本原理位移法是一种基于能量原理的方法，其基本思想是将结构中各个部分的变形看作独立自由度，然后通过能量平衡原理得到各个自由度之间的关系，最终求解出整个结构的内力和位移。
具体来说，位移法包括以下几个步骤：1. 将超静定结构中每一个部分看作一个独立自由度，并为每个自由度引入一个未知位移；2. 根据平衡条件列出各部分之间相互制约的方程组；3. 根据能量平衡原理列出总势能和总应变能之间的关系式，并将其转化为未知位移之间的关系式；4. 将各个方程组联立起来，得到未知位移之间的关系式；5. 利用已知边界条件解出未知位移，并进而求解出整个结构的内力和位移。
三、位移法的应用范围位移法适用于各种类型的超静定结构，包括梁、柱、框架等。
此外，位移法还可以用于求解复杂的结构体系，如悬索桥、拱桥等。
四、位移法的优点和缺点1. 优点：（1）能够求解各种类型的超静定结构；（2）计算精度高，适用于复杂结构；（3）计算过程简单明了，易于理解和掌握。
2. 缺点：（1）只能求解超静定结构，不能求解不静定和半静定结构；（2）需要将每个部分看作独立自由度，因此对于复杂结构需要引入大量自由度，计算量较大；（3）需要具备一定的数学基础和结构力学知识。
五、位移法的实例以一根简支梁为例进行说明。
假设梁长为L，截面为矩形截面，宽度为b，高度为h。
在中间加一集中荷载F，则该梁为超静定结构。
采用位移法进行求解：1. 将梁分成两段，并引入两个未知位移u1和u2；2. 根据平衡条件，得到以下方程组：（1）在x=0处：F = R1 + R2（2）在x=L处：R1u1 + R2u2 = FL/43. 根据能量平衡原理，得到以下关系式：（1）总势能：V = (R1u1 + R2u2)hL/2（2）总应变能：T = F^2L^3/48EI4. 将以上方程组和关系式联立起来，得到：（1）F = (3EI/h^3L^3)(u1 - u2)（2）R1 = F/2 - EI/h^3L^3(u1 + u2)（3）R2 = F/2 + EI/h^3L^3(u1 + u2)5. 利用已知边界条件，即梁两端的位移为0，解出未知位移：（1）u1 = FL^3/(48EIh)；（2）u2 = -FL^3/(48EIh)；6. 最终求解出内力和位移：（1）R1 = F/4；（2）R2 = F/4；（3）Mmax = FL/8；（4）umax = FL^3/(48EIh)。
位移法求解超静定结构
位移法求解超静定结构介绍位移法是一种常用的结构分析方法，适用于求解静定和超静定结构。
在超静定结构中，存在多于支座反力的未知量，因此需要借助位移法求解这些未知量。
本文将详细介绍位移法的原理、步骤以及应用。
原理位移法的核心思想是将结构的未知量（如支座反力、内力等）转化为某些已知量（如位移、转角等），通过求解已知量的方程得到未知量的值。
位移法的基本原理可以归纳为以下三个步骤：1.将结构划分为多个子结构，每个子结构只存在一个未知量；2.假设子结构的未知量满足一定的变形形式，如线性形、二次形等；3.利用平衡条件和变形关系建立子结构的方程，通过求解这些方程得到未知量的值。
步骤位移法的求解步骤可以分为以下几步：步骤一：选择子结构根据结构的特点和要求，选择合适的子结构划分方案。
子结构的数量应等于未知量的个数。
步骤二：假设变形形式对于每个子结构，假设其未知量的变形形式。
一般来说，可以假设位移和转角的线性或二次变形形式。
步骤三：建立方程利用平衡条件和变形关系，建立每个子结构的方程。
平衡条件可以根据结构的静力学特性确定，变形关系可以通过弹性力学理论得到。
步骤四：求解方程将所有子结构的方程组合起来，形成一个整体方程。
通过求解整体方程可以得到所有未知量的值。
步骤五：验证结果将求解得到的未知量代入原方程组，验证是否满足平衡条件和变形关系。
如果满足，则所得结果可靠；如果不满足，则需要重新检查划分的子结构和假设的变形形式是否合理。
应用位移法广泛应用于各种工程结构的分析和设计中，特别适用于超静定结构的求解。
以下是位移法在实际工程中的一些应用：应用一：桁架结构桁架结构是一种常见的超静定结构，在桁架结构中，支座反力是未知量。
通过将桁架结构划分为多个子结构，假设节点位移满足线性变形形式，可以利用位移法求解支座反力。
1.将桁架结构划分为多个刚性杆件，每个杆件只存在一个位移未知量。
2.假设每个节点的位移满足线性变形形式，即位移与外力成正比。
超静定结构的解法1位移法
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数 杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
i=EI/l----线刚度
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念 三.位移法基本结构与基本未知量
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能
发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
MP
EA Z1=1
r11
M1
Z1
3i/l
5P/16
3i / l 2
R1P
r11
3i / l 2
Z1---位移法
基本未知量
r11 6i / l 2 R1P 5P / 16
Z1 5Pl 2 / 96i
M M1Z1 MP
Z1
q
EI
EI
Z1 q
Z1
=
Z1
=
Z1=1
Z1
q
+
Z1
q
EI
EI
Z1
位移法的基本结构 ----单跨梁系.
=
=
Z1
q
EI
EI
Z1
R1
q
EI
EI
ql 2 / 8
R1P
q
位移法的基本方程 ----平衡方程.
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Z1=1
Z1
q
+
Z1
q
EI
EI
Z1
R1
q
EI
EI
ql2 / 8
R1P
q
MP
Z1=1
r11
3i
3i
M1
----刚臂,限制转动的约束
R1=0
r R1= 11 Z1+ R1P =0
r11
3i
R1P
r11=6i
3i R1P ql 2 / 8
ql 2 Z1 ql 2 / 48i
8 M M1Z1 MP
二.位移法基本概念
l/2 P
l/2
EA Z1
EI EI
内力计算的关键是 求结点位移Z1
Z1
Z1=1
Z1
Z1
P
=
Z1
=P
EA Z1
l/2P EI EI
P
l/2
M 5Pl / 32
Z1
R1 位移法
基本体系
11Pl / 32
EA
R1=0
位移法方程
P
R1P
r R1= 11 Z1+ R1P =0
练习: 作M图
----刚臂,限制转动的约束
R1=0
r R1= 11 Z1+ R1P =0
r11
3i
R1P
r11=6i
3i R1P ql 2 / 8
ql 2 Z1 ql 2 / 48i
8 M M1Z1 MP
ql 2 / 16
? Z1
M
q
2EI
EI
l
l
q
2EI
EI
l
l
R1=0
r11 Z1+ R1P =0 4i r11=10i
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念 三.位移法基本结构与基本未知量
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能
发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
位移法是计算超静定 结构的基本方法之一.
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数 杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
i=EI/l----线刚度
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
3Pl/16 3i/l
MP
EA Z1=1
r11
M1
Z1
3i/l
5P/16
3i / l 2
R1P
r11
3i / l 2
Z1---位移法
基本未知量
r11 6i / l 2 R1P 5P / 16Leabharlann Z1 5Pl 2 / 96i
M M1Z1 MP
Z1
q
EI
EI
Z1 q
Z1
=
Z1
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
基本未知量为所有刚结点的转角
基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
Z1
Z2
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
Z1
Z2
Z3
基本未知量,基本结构确定举例
练习
练习
EI
练习
2EI EI
EI
练习
ql2 / 16
Z1
M
位移法基本未知数 ----结点位移.
位移法的基本结构 ----单跨梁系.
=
=
Z1
q
EI
EI
Z1
R1
q
EI
EI
ql 2 / 8
R1P
q
位移法的基本方程 ----平衡方程.
+
MP
Z1=1
r11
3i
位移法求解过程:
3i
M1
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
R1P ql 2 / 8 Z1 ql 2 / 80i
M M1Z1 MP
Z1 q
Z1=1
4i
基本体系
r11
R1P
6i
2i M1 q
6i ql2 / 8
ql2 / 8
MP
位移法q求l 2 /解20过q 程:
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自ql由2 /项40 M 5)解方程 6)作弯矩图