WS小世界网络模型构造实践报告

课题：WS小世界网络模型构造

姓名赵训

学号************

班级计算机实验班

一、WS 小世界网络简介

1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念,并建立了WS模型。实证结果表明,大多数的真实网络都具有小世界特性(较小的最短路径) 和聚类特性(较大的聚类系数) 。传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性,但并不具有小世界特性;而ER 随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。 Watts 和Strogatz建立的WS小世界网络模型就介于这两种网络之间,同时具有小世界特性和聚类特性,可以很好的来表示真实网络。

二、WS小世界模型构造算法

1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。

2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。

在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡，如图a所示。

图a

相应程序代码（使用Matlab实现）

ws_net.m （位于“代码”文件夹内）

function ws_net()

disp('WS小世界网络模型')

N=input('请输入网络节点数');

K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数');

p=input('请输入随机重连的概率');

angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N;

x=100*cos(angle);

y=100*sin(angle);

plot(x,y,'r.','Markersize',30);

hold on;

%生成最近邻耦合网络；

A=zeros(N);

for i=1:N

if i+K<=N

for j=i+1:i+K

A(i,j)=1;

end

else

for j=i+1:N

A(i,j)=1;

end

for j=1:((i+K)-N)

A(i,j)=1;

end

end

if K

for j=i-K:i-1

A(i,j)=1;

end

else

for j=1:i-1

A(i,j)=1;

end

for j=N-K+i:N

A(i,j)=1;

end

end

end

disp(A);

%随机化重连

for i=1:N

for j=i+1:N

if A(i,j)==1

pp=unifrnd(0,1);

if pp<=p

A(i,j)=0;

A(j,i)=0;

b=unidrnd(N);

while i==b

b=unidrnd(N); end

A(i,b)=1;

A(b,i)=1;

end

end

end

%根据邻接矩阵连线

for i=1:N

for j=1:N

if A(i,j)==1

plot([x(i),x(j)],[y(i),y(j)],'linewidth',1); hold on;

end

end

end

hold off

aver_path=aver_pathlength(A);

disp(aver_path);

对应输出（取网络节点数N=16，K=2；p分别取0，0.1，1）。

p=0（ws_n=16_k=2_p=0.fig的截图）

P=0.1（ws_n=16_k=2_p=0.1.fig的截图）p=1（ws_n=16_k=2_p=1.fig的截图）

输出结果与图a(图a位于第2页)吻合。

三、WS小世界网络模型平均路径长度L(p)与聚类系数C(p)归一化图平均路径长度

平均路径长度也称为特征路径长度或平均最短路径长度，指的是一个网络中两点之间最短路径长度（或称距离）的平均值。从一个节点s i出发，经过与它相连的节点，逐步“走”到另一个节点s j所经过的路途，称为两点间的路径。其中最短的路径也称为两点间的距

离，记作。而平均路径长度定义为：

这其中N是节点数目，并定义节点到自身的最短路径长度为0。如果不计算到自身的距离，那么平均路径长度的定义就变成：

集聚系数

集聚系数（也称群聚系数、集群系数）是用来描述图或网络中的顶点（节点）之间结集成团的程度的系数。具体来说，是一个点的邻接点之间相互连接的程度。例如在社交网络中，你的朋友之间相互认识的程度。一个节点s i的集聚系数C(i) 等于所有与它相连的顶点相互之间所连的边的数量，除以这些顶点之间可以连出的最大边数。显然C(i) 是一个介于0与1之间的数。C(i) 越接近1，表示这个节点附近的点越有“抱团”的趋势。

介于随机与规则之间

对于纯粹的规则网络，当其中连接数量接近饱和时，集聚系数很高，平均路径长度也十分短。例如完全耦合网络，每两个节点之间都相连，所以集聚系数是1，平均路径长度

是1。然而，现实中的复杂网络是稀疏的，连接的个数只是节点数的若干倍（），

远远不到饱和。如果考虑将节点排列成正多边形，每各节点都只与距离它最近的 2K个节点相连，那么在K比较大时，其集聚系数为：