小学数学课件-多面体和球
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第11课时 多面体与球
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
2020/5/1
要点·疑点·考点
一、多面体
1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有 其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体 叫凸多面体.
(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每 个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面 体，叫正多面体.
2020/5/1
2. 欧拉公式
(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数 为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数E mV 2
2020/5/1
3. 设一个凸多面体有V个顶点，求证它的各面多边形 的内角总和为(V-2)•360°.
【解题回顾】此题要大胆设各面为E1、E2…EF边形， 另外要知道E1+E2+…+EF=2E才行.
2020/5/1
4. 三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5， 求三棱锥的内切球半径.
wenku.baidu.com
(A)R
(C) πR 3
(B) πR
(D) πR 2
2020/5/1
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能力·思维·方法
1. 已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三 条棱，试求该多面体的面数、顶点数和棱数.
【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时，要善于发
现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有E nF 2
和E mV 2
2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶 点数V与面数F满足的关系式是( A )
(A)2F+V=4
(B)2F-V=4
(C)2F+V=2
(D)2F-V=2
2020/5/1
3.一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30.则它的各面 多边形的内角总和为( A )
(A)2160° (B)5400° (C)6480° (D)7200°
4.将棱长为3的正四面体的各棱长三等分，经过靠近顶 点的各分点，将原正四面体各顶点均截去一个棱长为1 的小正四面体，剩下的多面体的棱数为( A )
(A)16
(B)17
(C)18
(D)19
2020/5/1
5.地球表面上从A地(北纬45°，东经120°)到B地(北纬 45°，东经30°)的最短距离为(地球半径为R)( A )
或E nF 2
2020/5/1
二、球 1. 概念
(1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫球面，球面围成的几何体叫球体.
(2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长 (半径)的所有点的集合.
2020/5/1
2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r
有如下关系：r R2d2
2020/5/1
3.球面距离
A BθRθ为A、B对球心的张角，R为球半
径.)
4.表面积与体积
S4πR2，V4πR3 3
2020/5/1
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课前热身
1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面 上，则此球的表面积为( A )
(A)3π
(B)4π
(C)3 3 π
(D)6π
2.球面上两点间距离不是直线距离，也不是纬度圈上 的劣弧长，而是指过这两点的球大圆上 的劣弧长，不 能错啊!
2020/5/1
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2020/5/1
2.在北纬60°圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上
的弧长等于πR (R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离. 2
2020/5/1
【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点 的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关
键在于求两点的球心角的大小，利用弧长公式来求 出：L=θ•R即为所求球面距离.
称性，采用补形的方法，可以把它补成一个球的内接 长方体.长方体的对角线的平方就是球的直径的平方， 即MA2+MB2+MC2=4R2.在做选择题、填充题时就可直 接用这个结论.
(2)在球中的线段计算问题，常转化为小圆半径，大圆
半径及球心到截面距离来解决.
2020/5/1
返回
误解分析
1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中，作出的截 若过对棱中点作横截面，将会出错.
【解题回顾】正如三角形的内切圆经常与面积发生关 系一样，多面体的内切球的半径也常与体积发生联系.
2020/5/1
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延伸·拓展
5. 过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、 MB、MC.
(1)求证：MA2+MB2+MC2为定值； (2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值.
【解题回顾】(1)MA、MB、MC两两垂直.根据球的对
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
2020/5/1
要点·疑点·考点
一、多面体
1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有 其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体 叫凸多面体.
(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每 个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面 体，叫正多面体.
2020/5/1
2. 欧拉公式
(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数 为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数E mV 2
2020/5/1
3. 设一个凸多面体有V个顶点，求证它的各面多边形 的内角总和为(V-2)•360°.
【解题回顾】此题要大胆设各面为E1、E2…EF边形， 另外要知道E1+E2+…+EF=2E才行.
2020/5/1
4. 三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5， 求三棱锥的内切球半径.
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(A)R
(C) πR 3
(B) πR
(D) πR 2
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能力·思维·方法
1. 已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三 条棱，试求该多面体的面数、顶点数和棱数.
【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时，要善于发
现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有E nF 2
和E mV 2
2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶 点数V与面数F满足的关系式是( A )
(A)2F+V=4
(B)2F-V=4
(C)2F+V=2
(D)2F-V=2
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3.一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30.则它的各面 多边形的内角总和为( A )
(A)2160° (B)5400° (C)6480° (D)7200°
4.将棱长为3的正四面体的各棱长三等分，经过靠近顶 点的各分点，将原正四面体各顶点均截去一个棱长为1 的小正四面体，剩下的多面体的棱数为( A )
(A)16
(B)17
(C)18
(D)19
2020/5/1
5.地球表面上从A地(北纬45°，东经120°)到B地(北纬 45°，东经30°)的最短距离为(地球半径为R)( A )
或E nF 2
2020/5/1
二、球 1. 概念
(1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫球面，球面围成的几何体叫球体.
(2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长 (半径)的所有点的集合.
2020/5/1
2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r
有如下关系：r R2d2
2020/5/1
3.球面距离
A BθRθ为A、B对球心的张角，R为球半
径.)
4.表面积与体积
S4πR2，V4πR3 3
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课前热身
1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面 上，则此球的表面积为( A )
(A)3π
(B)4π
(C)3 3 π
(D)6π
2.球面上两点间距离不是直线距离，也不是纬度圈上 的劣弧长，而是指过这两点的球大圆上 的劣弧长，不 能错啊!
2020/5/1
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2.在北纬60°圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上
的弧长等于πR (R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离. 2
2020/5/1
【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点 的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关
键在于求两点的球心角的大小，利用弧长公式来求 出：L=θ•R即为所求球面距离.
称性，采用补形的方法，可以把它补成一个球的内接 长方体.长方体的对角线的平方就是球的直径的平方， 即MA2+MB2+MC2=4R2.在做选择题、填充题时就可直 接用这个结论.
(2)在球中的线段计算问题，常转化为小圆半径，大圆
半径及球心到截面距离来解决.
2020/5/1
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误解分析
1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中，作出的截 若过对棱中点作横截面，将会出错.
【解题回顾】正如三角形的内切圆经常与面积发生关 系一样，多面体的内切球的半径也常与体积发生联系.
2020/5/1
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延伸·拓展
5. 过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、 MB、MC.
(1)求证：MA2+MB2+MC2为定值； (2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值.
【解题回顾】(1)MA、MB、MC两两垂直.根据球的对