八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析

初二数学第十一章全等三角形综合复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：

ACF BDE ∆≅∆。

思路：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有

AC BD =；由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。

证明

AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠= 在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中 AE BF

AC BD =⎧⎨

=⎩

∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL) ∴A B ∠=∠

AE BF =

∴AE EF BF EF -=-，即AF BE = 在ACF ∆与BDE ∆中 AF BE A B AC BD =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)

思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。 例2.

如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。

思路：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。也可以看成将2∠“转移”到α∠。

那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。

证明：延长AD 交BC 于F 在ABD ∆与FBD ∆中 90ABD FBD BD BD

ADB FDB ⎧∠=∠⎪

=⎨⎪

∠=∠=⎩ ∴ABD FBD ∆≅∆(ASA ∴2DFB ∠=∠

又

1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。

思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和

CF 。求证：AE CF =。

思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段

AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBF ∆的位置，而线段CF 正好是CBF ∆的

边，故只要证明它们全等即可。

证明：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点 ∴90ABC CBF ∠=∠= 在ABE ∆与CBF ∆中 AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABE CBF ∆≅∆(SAS) ∴AE CF =。

思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

证明：连接AC

AB //CD ，AD //BC ∴12∠=∠，34∠=∠ 在ABC ∆与CDA ∆中 1243AC CA ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

∴ABC CDA ∆≅∆(ASA) ∴AB CD =。

思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：

BP 为MBN ∠的平分线。

思路：要证明“BP 为MBN ∠的平分线”，可以利用点P 到,BM BN 的距离相等来证明，故应过点P 向,BM BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线”

，也需要作出点P 到两外角两边的距离。 证明：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E

∴PD PE =

CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F ∴PE PF =

PD PE =，PE PF =

∴PD PF =

PD PF =，且PD BM ⊥于D ，PF BN ⊥于F ∴BP 为MBN ∠的平分线。

思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6.如图，D是ABC

∆的边BC上的点，且CD AB

=，ADB BAD

∠=∠，AE是ABD

∆的中线。求证：2

AC AE

=。

思路：要证明“2

AC AE

=”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EF AE

=。

证明：延长AE至点F，使EF AE

=，连接DF

在ABE

∆与FDE

∆中

AE FE

AEB FED

BE DE

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴ABE FDE

∆≅∆(SAS)

∴B EDF

∠=∠

ADF ADB EDF

∠=∠+∠，ADC BAD B

∠=∠+∠

又ADB BAD

∠=∠

∴ADF ADC

∠=∠

AB DF

=，AB CD

=

∴DF DC

=

在ADF

∆与ADC

∆中

AD AD

ADF ADC

DF DC

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴ADF ADC

∆≅∆(SAS)

∴AF AC

=

又2

AF AE

=

∴2

AC AE

=。

思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7.如图，在ABC

∆中，AB AC

>，12

∠=∠，P为AD上任意一点。求证：AB AC PB PC

->-。