随机过程第四版Ch2刘次华研究生
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章
随机过程的 概念与基本类型
随机过程的例子
• 以X(t)表示某电话交换台在时间段[0,t]内接到 的呼叫次数，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随机过程；
• 以X(t)表示某地区第t天的最高气温，则{X(t)， t=0,1,…} 是随机过程；
• 以X(t)表示某固定点处在时刻t的海面相对于 平均海平面的高度，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随 机过程；
当s t时, EX2(t) RX [t,t]
DX
(t)
2 X
(t)
BX
(t,
t)
RX
(t,
t)
mX2
(t)
最主要的数字特征
mX (t) E[X (t)]
均值函数
RX (s,t) E[X (s)X (t)] 自相关函数
2.2 随机过程的分布律和数字特征
例 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，Y, Z相 互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2。求 {X(t), t>0}的均值函数和协方差函数。
(2)相容性
Ft1, ,tm (x1, x2 , , xm ) Ft1, ,tm , ,tn (x1, x2 , , xm ,, ,)
m<n
定理 ：2.2 随机过程的分布律和数字特征 （柯尔莫哥洛夫，Kolmogorov)
设已给参数集T及满足对称、相容的有 限维分布函数族F
则必存在概率空间(, F,P)及定义在其上 的随机过程{X(t)，t T }，它的有限维 分布函数族就是F
F Ft1, ,tn ( x1, x2 , , xn ), t1, t2 , , tn T , n 1
其中Ft1, ,tn ( x1, x2 , , xn ) 是n维随机变量
(X(t1), X (t2), , X (tn))的联合分布函数
• 例：X(t)=tV,-∞<t< ∞,其中V为随机变量。 P(V=1)=0.6,P(V=-1)=0.4,
• 均值函数
mX (t) EX (t) , t T
若对tT ,EX2(t)存在，则称该过程为二阶矩过程。
• 方差函数
DX (t) E[( X (t) EX (t))2 ] , t T
• 协方差函数
BX (s, t) E[( X (s) EX (s))( X (t) EX (t))] s, t T
• X(t)=acos(ωt+Θ)， t∈（- ∞,∞)，其中a，ω是 常数，Θ是随机变量。则{X(t)，t∈ （- ∞,∞)} 是随机过程
2.1 随机过程的一般概念
• 定义2.1 设(, F,P)为概率空间，T是参数集。 若对任意 t T ，有随机变量X(t, e)与之对应， 则称随机变量族{X(t, e)， t T }是(, F,P)上 的随机过程，简记为 {X(t)，t T }或{Xt，t T }。
• X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空间或
相空间，记为I。
2.1 随机过程的基本概念
• 从数学上看，随机过程{X(t, e)， t T }是定义 在T上的二元函数。
• 对固定的t，X(t, e) 是(, F,P)上的随机变量；
• 对固定的e，X(t, e) 是定义在T上的普通函数， 称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。
解 mX (t) EX (t) E[Y cos(t) Z sin(t)] cos(t)EY sin(t)EZ 0
BX (s, t) E[(X (s) EX (s))(X (t) EX (t))] E[X (s)X (t)] EX (s)EX (t) E[X (s)X (t)]
E[(cos(s) cos(t)Y 2 cos(s) sin(t)YZ)
• 求F1.5 (x), F2 (x), F1.5,2 (x1,x2),
2.2 随机过程的分布律和数字特征
• 有限维分布函数族的性质
(1)对称性
Ft1, ,tn ( x1, x2 , , xn ) Fti1 , ,tin ( xi1 , xi2 , , xin )
其中 ti1 , ti2 ,是, tin 的t1,任t2 ,意 ,排tn 列
• 有限维特征函数族
gt1,L ,tn (1,2 ,L ,n ), t1, t2 ,L , tn T , n 1
分布函数族F
其中gt1,L ,tn (1,2 ,L
,n )
E
exp
i
n
k
X
(tk
)
Baidu Nhomakorabea
k 1
2.2 随机过程的分布和数字特征
定义2.3 设{X(t)，t T }是随机过程，定义
2.2 随机过程的分布律和数字特征
• 相关函数 RX (s, t) E[X (s)X (t)] , s, t T
☆显然有关系式
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T
随机过程数字特征之间的关系
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T
EE[[((sYYincc(oosss()(csso))s(ZZt)sYsiniZn((ss)s)))i(nY(Y(ccsoo)sss(2.i(2nt)随t()机t过Z)Z程Zs的2isn分)i(n]布(律t)和t))数])字] 特征
ccEEccoo[s[soosss(s(siissniicnic((nnn(((o(os((s(sss)s)ss))(ssc(ss)c)cc))cs)iocsocnccoo)o)soso(ocosssc(s(sso((s(os(t((t(s))ttts)tt(E)))stt(E))DEE))iYtE(nYtE()Y(()YZYY((YYZY(Y2Y22Zt)22Z))Z))sD)s)icscincnZcioconos(ossos(isss((n(iss(isn(s(n)s(s()ss)s()sss)is)snts))issisi)nn)ss(ni)iEnsii((n(snnti(Y(in)((ttntZE))()tt(YtZt)E)2Z))YtZE)tE2(E))Z]Y))E((E(]Y)ZZY((Z)ZZ2Z)))22))
• 按参数T和状态空间I分类 （1）T和I都是离散的 （2）T是连续的，I是离散的 （3）T是离散的，I是连续的 （4）T和I都是连续的
2.1 随机过程的基本概念
• 按Xt 的概率特性分类 正交增量过程 独立增量过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
2.2 随机过程的分布和数字特征
• 随机过程{X(t)，t T }的有限维分布函 数族
随机过程的 概念与基本类型
随机过程的例子
• 以X(t)表示某电话交换台在时间段[0,t]内接到 的呼叫次数，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随机过程；
• 以X(t)表示某地区第t天的最高气温，则{X(t)， t=0,1,…} 是随机过程；
• 以X(t)表示某固定点处在时刻t的海面相对于 平均海平面的高度，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随 机过程；
当s t时, EX2(t) RX [t,t]
DX
(t)
2 X
(t)
BX
(t,
t)
RX
(t,
t)
mX2
(t)
最主要的数字特征
mX (t) E[X (t)]
均值函数
RX (s,t) E[X (s)X (t)] 自相关函数
2.2 随机过程的分布律和数字特征
例 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，Y, Z相 互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2。求 {X(t), t>0}的均值函数和协方差函数。
(2)相容性
Ft1, ,tm (x1, x2 , , xm ) Ft1, ,tm , ,tn (x1, x2 , , xm ,, ,)
m<n
定理 ：2.2 随机过程的分布律和数字特征 （柯尔莫哥洛夫，Kolmogorov)
设已给参数集T及满足对称、相容的有 限维分布函数族F
则必存在概率空间(, F,P)及定义在其上 的随机过程{X(t)，t T }，它的有限维 分布函数族就是F
F Ft1, ,tn ( x1, x2 , , xn ), t1, t2 , , tn T , n 1
其中Ft1, ,tn ( x1, x2 , , xn ) 是n维随机变量
(X(t1), X (t2), , X (tn))的联合分布函数
• 例：X(t)=tV,-∞<t< ∞,其中V为随机变量。 P(V=1)=0.6,P(V=-1)=0.4,
• 均值函数
mX (t) EX (t) , t T
若对tT ,EX2(t)存在，则称该过程为二阶矩过程。
• 方差函数
DX (t) E[( X (t) EX (t))2 ] , t T
• 协方差函数
BX (s, t) E[( X (s) EX (s))( X (t) EX (t))] s, t T
• X(t)=acos(ωt+Θ)， t∈（- ∞,∞)，其中a，ω是 常数，Θ是随机变量。则{X(t)，t∈ （- ∞,∞)} 是随机过程
2.1 随机过程的一般概念
• 定义2.1 设(, F,P)为概率空间，T是参数集。 若对任意 t T ，有随机变量X(t, e)与之对应， 则称随机变量族{X(t, e)， t T }是(, F,P)上 的随机过程，简记为 {X(t)，t T }或{Xt，t T }。
• X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空间或
相空间，记为I。
2.1 随机过程的基本概念
• 从数学上看，随机过程{X(t, e)， t T }是定义 在T上的二元函数。
• 对固定的t，X(t, e) 是(, F,P)上的随机变量；
• 对固定的e，X(t, e) 是定义在T上的普通函数， 称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。
解 mX (t) EX (t) E[Y cos(t) Z sin(t)] cos(t)EY sin(t)EZ 0
BX (s, t) E[(X (s) EX (s))(X (t) EX (t))] E[X (s)X (t)] EX (s)EX (t) E[X (s)X (t)]
E[(cos(s) cos(t)Y 2 cos(s) sin(t)YZ)
• 求F1.5 (x), F2 (x), F1.5,2 (x1,x2),
2.2 随机过程的分布律和数字特征
• 有限维分布函数族的性质
(1)对称性
Ft1, ,tn ( x1, x2 , , xn ) Fti1 , ,tin ( xi1 , xi2 , , xin )
其中 ti1 , ti2 ,是, tin 的t1,任t2 ,意 ,排tn 列
• 有限维特征函数族
gt1,L ,tn (1,2 ,L ,n ), t1, t2 ,L , tn T , n 1
分布函数族F
其中gt1,L ,tn (1,2 ,L
,n )
E
exp
i
n
k
X
(tk
)
Baidu Nhomakorabea
k 1
2.2 随机过程的分布和数字特征
定义2.3 设{X(t)，t T }是随机过程，定义
2.2 随机过程的分布律和数字特征
• 相关函数 RX (s, t) E[X (s)X (t)] , s, t T
☆显然有关系式
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T
随机过程数字特征之间的关系
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T
EE[[((sYYincc(oosss()(csso))s(ZZt)sYsiniZn((ss)s)))i(nY(Y(ccsoo)sss(2.i(2nt)随t()机t过Z)Z程Zs的2isn分)i(n]布(律t)和t))数])字] 特征
ccEEccoo[s[soosss(s(siissniicnic((nnn(((o(os((s(sss)s)ss))(ssc(ss)c)cc))cs)iocsocnccoo)o)soso(ocosssc(s(sso((s(os(t((t(s))ttts)tt(E)))stt(E))DEE))iYtE(nYtE()Y(()YZYY((YYZY(Y2Y22Zt)22Z))Z))sD)s)icscincnZcioconos(ossos(isss((n(iss(isn(s(n)s(s()ss)s()sss)is)snts))issisi)nn)ss(ni)iEnsii((n(snnti(Y(in)((ttntZE))()tt(YtZt)E)2Z))YtZE)tE2(E))Z]Y))E((E(]Y)ZZY((Z)ZZ2Z)))22))
• 按参数T和状态空间I分类 （1）T和I都是离散的 （2）T是连续的，I是离散的 （3）T是离散的，I是连续的 （4）T和I都是连续的
2.1 随机过程的基本概念
• 按Xt 的概率特性分类 正交增量过程 独立增量过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
2.2 随机过程的分布和数字特征
• 随机过程{X(t)，t T }的有限维分布函 数族