最新人教版八年级数学下册第一章二次根式的知识点汇总
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二次根式的知识点汇总
知识点一: 二次根式的概念
形如
(
)的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是
为二次根式的前提条件,如
,
,
等是二次根式,
而
,
等都不是二次根式。
例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1
x 、x (x>0)、0、42、-2、
1
x y
+、x y +(x ≥0,y•≥0). 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.
知识点二:取值范围
1、 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a ≧0时,
有意义,是二次根式,所以
要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2、 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a ﹤0时,没有意义。
例2.当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义?
例3.当x 是多少时,23x ++1
1
x +在实数范围内有意义? 知识点三:二次根式
(
)的非负性
(
)表示a 的算术平方根,也就是说,
(
)是一个非负数,即
0()。
注:因为二次根式()表示a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,
所以非负数(
)的算术平方根是非负数,即
0(
),这个性质也就是非负数的算术平方
根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;
若
,则a=0,b=0;若
,则a=0,b=0。
例4(1)已知y=2x -+2x -+5,求
x
y
的值.(2)若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值 知识点四:二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:二次根式的性质公式
(
)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过
来应用:若,则,如:,.
例1 计算 1.(
32)2 2.(35)2 3.(56)2 4.(72
)2
例2在实数范围内分解下列因式:
(1)x 2-3 (2)x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五:二次根式的性质
文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简
时,一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或0,则等于a 本身,
即;若a 是负数,则等于a 的相反数-a,即;
2、中的a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简
(19 (22(4)- (325 (42(3)-
例2 填空:当a≥0时,2a=_____;当a<0时,2a=_______,•并根据这一性质回答下列问题.
(1)若2a =a,则a 可以是什么数?(2)若2a =-a,则a是什么数?(3)2a>a ,则a 是什么数?
例3当x>2,化简2
(2)
x--2
(12)x
-.
知识点六:与的异同点
1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表
示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但
与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而
2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的乘除
1、乘法a·b=ab(a≥0,b≥0)反过来:ab=a·b(a≥0,b≥0)
2
a
b=
a
b(a≥0,b>0)反过来,
a
b=
a
b(a≥0,b>0)
(思考:b的取值与a相同吗?为什么?不相同,因为b在分母,所以不能为0)例1.计算
()45×7(2)
1
3
×9(3)9×27(4)
1
2
×6
例化简
()916
⨯(2)1681
⨯(3)22
9x y(4)54
例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:
()(4)(9)49
-⨯-=-⨯-
(2
12
4
25
25
12
25
25
12
25
25123
例4.计算:(1
12
3
(2
31
28
(3
11
416
(4
64
8
例5.化简:
(1)3
64
(2)
2
2
64
9
b
a
(3)
2
9
64
x
y
(4)
2
5
169
x
y
例6.已知99
66
x x
x x
--
=
--
,且x为偶数,求(1+x)
2
2
54
1
x x
x
-+
-
的值.
3、最简二次根式应满足的条件:
(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式;
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
(熟记20以内数的平方;因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或2的倍数),若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式)
例1.把下列二次根式化为最简二次根式(1)
5
3
12
; (2) 2442
x y x y
+; (3) 23
8x y
4、化简最简二次根式的方法:
(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式,即分解因式;
(2) 化去根号内的分母(或分母中的根号),即分母有理化;
(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:开到根号外的时候要带绝
对值,注意符号问题)
5.有理化因式:一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与;②与;
③与;④与.
说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化.
13、同类二次根式:被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如8与18
知识点八:二次根式的加减
1、二次根式的加减法:先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。(合并方法为:将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。
例1.计算(1)8+18(2)16x+64x
分析:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并.
解:(1)8+18=22+32=(2+3)2=52
(216x64x x x=(4+8x x
例2.计算
(1)481
3
122)4820+(125