等差数列第一课时教案

等差数列(第一课时) 教案

三、教学过程

（一）课题引入

请同学们观察课本36-37的四个实例引出的四个特殊数列，引导同学们发现其中的共同规律。

①从0开始数数，每隔5数一次，数到的数组成的数列为：

0,5,10,15,20…

特点：无穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5。

②较轻的4个举重级别：（我们可以发现举重级别级差是5）

48,53,58,63.

特点：有穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5。

③定期放水清理水库，自然放水每天水位降低2.5

10,8,5.5.

15,13,5.

18,5.

特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5.2

-。

④银行单利问题，单利及不把利息加入本金计算下一期的利息，也就是说每一年的算利息时本金都是1000，知识利息逐年累加而已.

10072,10144,10216,10288,10360.

特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于72。

它们共同的特点是？

从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。

我们把有这一特点的数列叫做等差数列。

（二）新课探究

1、数列的定义

（1）等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

①强调定义中的关健词有哪些.

（2）等差数列定义的数学表达式：

-1 (,2*)n n a a d d n n N -=≥∈是常数且

或者+1 (,*)n n

a a d d n N -=∈是常数

试一试：它们是等差数列吗？

① 1,1-,1,1-,1,1-… ② 4-,1-,2,5,8… ③ 每一项都是5的常数列

④每一项都是a 的常数列（其中a 是常数） （3）等差中顶定义

过渡：提问2，4，5是不是等差数列，如果不是，怎么样改才是等差数列？ 定义：由三个数a ，A ，b 组成的成等差数列可以看成是最简单的等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

且有：2

2b

a A

b a A +=

⇒+= 注：如果取等差数列{}n a 中任意相邻的三项n a ，1+n a ，2+n a 那么：

n n n a a a +=++212，()

*N n ∈

2、等差数列的通项公式

（1）等差数列的通项公式(求法一——迭代法)

如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，那么这个等差数列432,,a a a 如何表示？n a 呢？

根据等差数列的定义可得： d a a =-12 ，d a a =-23，d a a =-34，…

所以： d a a +=12，

()32112a a d a d d a d =+=++=+， ()431123a a d a d d a d =+=++=+， 猜想： 514a a d =+， ……

由此猜想:d n a a n )1(1-+=，

因此等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈

注：需要特别强调的是在求432,,a a a 的过程中采用了迭代法，由猜想归纳出

n a 的通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没

有说服力，完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们引入第二种方法（累加法）来证明等差数列的通项公式是d n a a n

)1(1-+=，*N n ∈

（2）等差数列的通项公式(求法二——迭加法)

根据等差数列的定义可得：

d a a =-12 d a a =-23 d a a =-23

…… ()1-n 个式子相加

12n n a a d ---=

1n n a a d --=

将以上1=n 个式子累加得等差数列的通项公式就是:

d n a a n )1(1-+=，*2N n n ∈≥且

当1=n 时也满足上述式子，所以： 等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈

3、等差数列的判定 （1）引入

由课本38页的例3，得出一种等差数列的判定方法，再强调定义和等差中项都可以用来判定等差数列，其中定义和例3的方法最常用.

例3：已知数列{}n a 的通项公式为q pn a n +=，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?

分析：可以利用等差数列的定义判定数列是否是等差数列，也就是计算

n n a a -+1是不是一个与n 无关的常数.

（2）归纳

等差数列的三种判定方法

（三）应用

1、等差数列的通项公式的应用

例1：(1) 求等差数列8,5,2…的第20项

分析：由已知条件可知首项1a 和公差d 以及项数n ，直接代入等差数列通项公式即可求的n a .

(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是–401？

分析：要判断401-是不是数列的项，首先假设401-是等差数列的项，那么就相当于已知首项1a 和公差d 以及n a ，直接代入等差数列通项公式即可求的n . 注：在应用等差数列的通项公式()d n a a n 11-+=过程中,对n a ,1a ,n ,d 这四个基本量,知道其中三个量就可以通过列方程求余下的一个量,这是一种方程的思想，我们称作“知三求一”。