等差数列第一课时教案

等差数列(第一课时) 教案
三、教学过程
（一）课题引入
请同学们观察课本36-37的四个实例引出的四个特殊数列，引导同学们发现其中的共同规律。

①从0开始数数，每隔5数一次，数到的数组成的数列为：
0,5,10,15,20…
特点：无穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5。

②较轻的4个举重级别：（我们可以发现举重级别级差是5）
48,53,58,63.
特点：有穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5。

③定期放水清理水库，自然放水每天水位降低2.5
10,8,5.5.
15,13,5.
18,5.
特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5.2
-。

④银行单利问题，单利及不把利息加入本金计算下一期的利息，也就是说每一年的算利息时本金都是1000，知识利息逐年累加而已.
10072,10144,10216,10288,10360.
特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于72。

它们共同的特点是？
从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。

我们把有这一特点的数列叫做等差数列。

（二）新课探究
1、数列的定义
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

①强调定义中的关健词有哪些.
（2）等差数列定义的数学表达式：
-1 (,2*)n n a a d d n n N -=≥∈是常数且
或者+1 (,*)n n
a a d d n N -=∈是常数
试一试：它们是等差数列吗？
① 1,1-,1,1-,1,1-… ② 4-,1-,2,5,8… ③ 每一项都是5的常数列
④每一项都是a 的常数列（其中a 是常数） （3）等差中顶定义
过渡：提问2，4，5是不是等差数列，如果不是，怎么样改才是等差数列？ 定义：由三个数a ，A ，b 组成的成等差数列可以看成是最简单的等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

且有：2
2b
a A
b a A +=
⇒+= 注：如果取等差数列{}n a 中任意相邻的三项n a ，1+n a ，2+n a 那么：
n n n a a a +=++212，()
*N n ∈
2、等差数列的通项公式
（1）等差数列的通项公式(求法一——迭代法)
如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，那么这个等差数列432,,a a a 如何表示？n a 呢？
根据等差数列的定义可得： d a a =-12 ，d a a =-23，d a a =-34，…
所以： d a a +=12，
()32112a a d a d d a d =+=++=+， ()431123a a d a d d a d =+=++=+， 猜想： 514a a d =+， ……
由此猜想:d n a a n )1(1-+=，
因此等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈
注：需要特别强调的是在求432,,a a a 的过程中采用了迭代法，由猜想归纳出
n a 的通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没
有说服力，完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们引入第二种方法（累加法）来证明等差数列的通项公式是d n a a n
)1(1-+=，*N n ∈
（2）等差数列的通项公式(求法二——迭加法)
根据等差数列的定义可得：
d a a =-12 d a a =-23 d a a =-23
…… ()1-n 个式子相加
12n n a a d ---=
1n n a a d --=
将以上1=n 个式子累加得等差数列的通项公式就是:
d n a a n )1(1-+=，*2N n n ∈≥且
当1=n 时也满足上述式子，所以： 等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈
3、等差数列的判定 （1）引入
由课本38页的例3，得出一种等差数列的判定方法，再强调定义和等差中项都可以用来判定等差数列，其中定义和例3的方法最常用.
例3：已知数列{}n a 的通项公式为q pn a n +=，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?
分析：可以利用等差数列的定义判定数列是否是等差数列，也就是计算
n n a a -+1是不是一个与n 无关的常数.
（2）归纳
等差数列的三种判定方法
（三）应用
1、等差数列的通项公式的应用
例1：(1) 求等差数列8,5,2…的第20项
分析：由已知条件可知首项1a 和公差d 以及项数n ，直接代入等差数列通项公式即可求的n a .
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是–401？
分析：要判断401-是不是数列的项，首先假设401-是等差数列的项，那么就相当于已知首项1a 和公差d 以及n a ，直接代入等差数列通项公式即可求的n . 注：在应用等差数列的通项公式()d n a a n 11-+=过程中,对n a ,1a ,n ,d 这四个基本量,知道其中三个量就可以通过列方程求余下的一个量,这是一种方程的思想，我们称作“知三求一”。

例2：某市出租车的计价标准为2.1元/km ，起步价为10元，即最初的km 4（不含4km ）计费10元.如果某人乘坐该市的出租出去往km 14处的目的地且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费?
分析：这道题需要个别注意的是“最初的km 4（不含4km ）” ，也就是说在3.9km 处的计费为10元，在4.1km 处的计费为11.2元，在4.0km 处的计费也为11.2元。

法一、那么在13.5km 处的计费应和13.5km 处的计费一样，为10+1.2+（13-4）*1.2=22元.在第14km 处的计费为10+1.2+（14-4）*1.2=23.2元.
法二、如果我们从第km 4处开始，每隔km 1记一次费，那么所记的数组成的数列是一个首项2.112.1101=+=a ，公差2.1=d 的一个等差数列，那么，当出租出行至km 14处时，11=n ，此时所要支付的车费为
()2.232.11112.1111=⨯-+=a 元.
注：在利用等差数列方法解决实际问题时，一定要分清楚首项、项数、公差、末项等关键问题.
例3：三维设计第20页考点一的例一（作为练习抄在黑板上让学生做） 已知数列{}n a 为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式. （1）;13 , 573==a a
分析：由73a a 和，根据通项公式可以列出两个有关首项1a 和公差d 的二元一次方程组，最后带入通项公式()d n a a n 11-+=即可.
（2）前三项为. -3 , 1-2 , a a a
分析：法一，根据等差数列的定义有d a a =-12和d a a =-23，即
2312a a a a -=-列出关于a 的一元一次方程，解出a 就可知道首项1a 和公差d .
法二，由等差中项同样可以列出关于a 的一元一次方程. 2、课堂练习
（1）等差数列的判定及通项的应用（课本39页的练习1、2、3)
练习1 有时间的话讲解一小题。

练习2 分析:由已知，如果每一排的座位数排成一个数列，那么所记的数组成的数列是一个首项511=a ，公差2=d 的一个等差数列，接下来代入通项公式就可求出n a 和01a .
练习3 等差数列{}n a 的首项为a 公差为d ，等差数列{}n b 的首项为b 公差为
e ，如果n n n c b a =+，且8 , 421==c c ，求数列{}n c 的通项公式.
分析：题目已知数列{}n c 的首项和第二项，同学们很容易想当然的认为{}n c ，在这边，需要强调求等差数列的通项公式时的前提是数列必须是等差数列.所以，需要从已知的第一个条件判断{}n c 是否是等差数列，这边我们需要用到定义法来判定.
练习4 三维设计21页右下方的习题7
分析：（1）直接用通项公式法判定{}n a 是等差数列. （2）举反例
（四）小结
1、等差数列的定义，定义的符号形式，等差数列的定义
2、等差数列的通项公式: d n a a n
)1(1-+=
公差1(,*)n n
a a d d n N +-=∈是常数；
3、知三求一：等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公
式()d n a a n 11-+=求余下的一个量； 4、等差数列的判定 （五）作业
一、作业点评（学生易错点）
1、课本33页习题2.1A 组第1题第（1）小题 ①1不是质数；
②{}n a 表示数列，有大括号；n a 是通项公式，有具体数时我们只能用数列的一般形式1a ，2a ，…，n a ，不能加大括号。

2、课本67页复习参考题A 组
①第2题第（2）小题：比较复杂的数列，它的通项公式怎么写
()
2
1
n 1
21-1n
n a n -+=+。