认识不等式(公开课)
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《认识不等式》课件华东师大
实战演习不等式题目，巩固所学 知识。
总结与思考
1 不等式的重要性
不等式是数学中一种重要的关系表示方式。
2 不等式的应用范围
不等式广泛应用于物理、经济、工程、管理等各个领域。
3 自我思考与小结
检验自己对不等式的理解和应用，为今后掌握更多知识做准备。
一元一次不等式
学会列一元一次不等式，推导其 解的方法。
不等式运算的基本性质
1
减法法则
2
求解含绝对值不等式时需要用到的一种
常用的方法。
3
除法法则
4
掌握不等式的除法法则，正确解决含有 分数的不等式。
加法法则
学会进行不等式加减法，特别是分离绝 对值中的符号。
乘法法则
理解不等式中乘法的性质，避免常见的 错误和误解。
认识不等式
从基本概念到综合应用，一步一步深入了解不等式。让我们开始吧！
引言
认识与理解
掌握什么是不等式，了解不等式的性质和意义。
比较与排序
学习如何进行大小或关系的比较。探究比较中 的基本概念。
不等式的基本形式
数学符号
掌握常见数学符号，如何运用它 们表示不等式。
等式与不等式
区分等式和不等式，知晓其本质 区别。
不等式的解法
等效不等式
将不等式变形为等效解的区 间。
化归法
运用数学方法将不等式化为 简化形式，进而求解。
不等式的应用
几何中的应用
学会如何用不等式表示空间图形 中的规律和性质。
数列和数列的不等式
深入了解数列和数列的不等式， 运用于实际问题中。
综合应用
总结与思考
1 不等式的重要性
不等式是数学中一种重要的关系表示方式。
2 不等式的应用范围
不等式广泛应用于物理、经济、工程、管理等各个领域。
3 自我思考与小结
检验自己对不等式的理解和应用，为今后掌握更多知识做准备。
一元一次不等式
学会列一元一次不等式，推导其 解的方法。
不等式运算的基本性质
1
减法法则
2
求解含绝对值不等式时需要用到的一种
常用的方法。
3
除法法则
4
掌握不等式的除法法则，正确解决含有 分数的不等式。
加法法则
学会进行不等式加减法，特别是分离绝 对值中的符号。
乘法法则
理解不等式中乘法的性质，避免常见的 错误和误解。
认识不等式
从基本概念到综合应用，一步一步深入了解不等式。让我们开始吧！
引言
认识与理解
掌握什么是不等式，了解不等式的性质和意义。
比较与排序
学习如何进行大小或关系的比较。探究比较中 的基本概念。
不等式的基本形式
数学符号
掌握常见数学符号，如何运用它 们表示不等式。
等式与不等式
区分等式和不等式，知晓其本质 区别。
不等式的解法
等效不等式
将不等式变形为等效解的区 间。
化归法
运用数学方法将不等式化为 简化形式，进而求解。
不等式的应用
几何中的应用
学会如何用不等式表示空间图形 中的规律和性质。
数列和数列的不等式
深入了解数列和数列的不等式， 运用于实际问题中。
综合应用
《认识不等式》课件
逻辑推理
在逻辑推理中，不等式往往作为一种有效的推理工具，帮助人们从已知条件 推导出结论。
不等式在优化中的应用
生产计划
在生产计划中，利用不等式可以描述生产能力和资源限制条件，进而优化生产计 划。
运输优化
在运输优化问题中，不等式可以用来描述运输工具的承载能力和运输距离的限制 条件。
不等式在经济分析中的应用
供需平衡
在市场经济中，不等式可以描述市场的供需关系，帮助分析 市场均衡和价格波动。
投资组合优化
不等式可以用来描述投资组合的风险和收益之间的约束关系 ，帮助投资者优化投资组合。
不等式在日常生活中的应用
资源分配
在日常生活中，不等式可以用来描述资源的分配和优先级关系，例如时间分 配和任务优先级。
决策制定
《认识不等式》课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 不等式的定义和性质 • 不等式的解法 • 不等式的应用
01不等式的定义和性质 Nhomakorabea不等式的定义
代数定义
不等式是两个数（或式）之间的一个关系式，表示它们之间 的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”等符 号连接。
几何定义
在欧几里得几何中，不等式可以解释为一个点与原点之间的 距离长度的关系。
不等式可以作为决策制定的一种工具，帮助人们在多个方案中选择最优方案 。
THANKS
谢谢您的观看
无理不等式的解法
无理不等式的解法是先将无理不等式化成有理不等式组，再利用穿针引线法或者 数轴标根法等方法求解。
无理不等式常常可以化成两个或多个有理不等式组，需要根据实际情况进行分类 讨论。
03
不等式的应用
不等式在证明中的应用
在逻辑推理中，不等式往往作为一种有效的推理工具，帮助人们从已知条件 推导出结论。
不等式在优化中的应用
生产计划
在生产计划中，利用不等式可以描述生产能力和资源限制条件，进而优化生产计 划。
运输优化
在运输优化问题中，不等式可以用来描述运输工具的承载能力和运输距离的限制 条件。
不等式在经济分析中的应用
供需平衡
在市场经济中，不等式可以描述市场的供需关系，帮助分析 市场均衡和价格波动。
投资组合优化
不等式可以用来描述投资组合的风险和收益之间的约束关系 ，帮助投资者优化投资组合。
不等式在日常生活中的应用
资源分配
在日常生活中，不等式可以用来描述资源的分配和优先级关系，例如时间分 配和任务优先级。
决策制定
《认识不等式》课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 不等式的定义和性质 • 不等式的解法 • 不等式的应用
01不等式的定义和性质 Nhomakorabea不等式的定义
代数定义
不等式是两个数（或式）之间的一个关系式，表示它们之间 的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”等符 号连接。
几何定义
在欧几里得几何中，不等式可以解释为一个点与原点之间的 距离长度的关系。
不等式可以作为决策制定的一种工具，帮助人们在多个方案中选择最优方案 。
THANKS
谢谢您的观看
无理不等式的解法
无理不等式的解法是先将无理不等式化成有理不等式组，再利用穿针引线法或者 数轴标根法等方法求解。
无理不等式常常可以化成两个或多个有理不等式组，需要根据实际情况进行分类 讨论。
03
不等式的应用
不等式在证明中的应用
认识不等式公开课PPT课件
（1）x >a
（2） x ≤ a
（3）b ≤ x <a （b<a）
a
•
a
•
b
a
第11页/共15页
试一试
例2.一座小水电站的水库水位在12~20m(包括12m,20m)时,发 电机能正常工作,设水 库水位为x(m) (1)用不等式表示发电机正常工作的水位范围,并把它表 示在数轴上;
解：用不等式表示工作的水位范围是12 ≤ x≤ 20,在发电机正常数轴上表示如图：
x
4.要使代数式
5g
(甲)
X+3 X –有意义，x的值与3之间有什么关系？
3
第3页/共15页
(乙）
说一说 你能例举生活中的不等量关系用不等式来 刻画的例子吗？
第4页/共15页
练一练
1.在数学表达式： ① – 3 <0 ; ②3x+5 > 0; ③ x²– 6 ; ④x= – 2 ;
⑤y ≠ 0 ; ⑥ x+2 ≥ x中，不等式的个数是（ ）
怎样表示t 与6000之间的关系？
2.如图(甲)，天平左盘放三个乒乓球，右盘放5g砝码，天平倾斜。设每个乒乓球的
质量为x（g），怎样表示x与5之间的关系？
3.如图(乙),小明与小聪玩跷跷板,大家都不用力时,跷跷板左低右高.小明的身体质量为
p(kg),小聪的身体质量为q(kg),书包的质量为2kg, 怎样表示p 、q之间的关系?
c
（A）2; （B）3; （C）4; （D）5
2.请选择适当的不等号填空：（ “>” 、“≥、 ”“< ”、“≠ 、”“≤” ）
> （1） –3.14＿＿ –π
（2） √8 ＿＿ 3
5.1 认识不等式 校级公开课课件--
2． x 的 2 倍 与 3 的差 不大于 1， 列出的 不 等式是 （ A） A 2x-3≤1 B 2x-3≥1 C 2x-3＞1 D 2x-3＜1 3．a与2的和的一半是负数，用不等式表示为 （D ） 1 1 1 1 a 2 ＞0 B 2 a 2＜0 C (a 2) ＞0 D (a 2)＜0 A 2 2 2
或等于“, 表示”不大于”;” ≠”读作”不等于”,表示”大于或小于”
你行吗？填一填
1、选择适当的不等号填空
< > 2__3； 8 __-3 ； ≤ －a2 __0； ≠
a
≥
0； -1__0 ＜
x≠y,则-x
-y
＞ -5__-6；
＜ 11__15 ；
1ห้องสมุดไป่ตู้＜ 2 __ 3 2
；
2、实数a,b在数轴上的位置如图, > 则 a+b____0 > b-a____0 < ∣a∣____∣b∣
自主学习
小聪
p 2
q
小明
单位:千克
(4)如图,小聪与小明玩跷跷板.大家都不用力时,跷跷板左低、右高.
小聪的身体质量为p (kg),书包的质量为2kg,小明的身体质量为 q(kg),怎样表示p,q之间的关系? q<p+2
(5)要使代数式 x 3 X≠3 有意义,x的值与此3之间有什么关系?
x3
探求新知
观察由上述问题得到的关系式，它们与等式有什 么不同点？共同点？ (1)v≤40， (4)q＜p+2， 等式
不等式
(2)t≥6000， (3)3x＞5， (5)x≠3 用等号连接
用表示不等关系的符号连接
两边都是代数式
两边都是代数式
《认识不等式》课件
详细描述
一元二次不等式的解法相比一元一次不等式稍显复杂，但却是解决许多实际问题的重要工具，应用广 泛。
高次不等式的解法
总结词
高阶不等式，技巧性强
详细描述
高次不等式的解法需要一定的技巧和经验，是数学学习中较为进阶的内容。掌握高次不等式的解法能够更好地 解决复杂的不等式问题。
03
不等式的应用
最大值与最小值的求解
不等式的性质
传递性
01 如果a>b，b>c，那么a>c。
加法单调性
02 也就是不等式f(x+y)≤f(x)+f(y)
的简单性质。
乘法单调性
当正实数a,b>0时， f(ax)≤f(x)+f(a)当a>1时取 ‘=’。
03
正值不等式
04 正值不等式是指不等式的左边
是一个正数，右边是一个非正 数。
负值不等式
05
不等式的练习与巩固
基础练习题
总结词
强化基础、简单易懂、适合全体学生
详细描述
基础练习题主要包括基本的不等式概念和 简单的比较大小题目，旨在帮助全体学生 掌握不等式的基本知识和技能。
进阶练习题
总结词
提高解题速度、增加技巧性、适合中等以上 学生
详细描述
进阶练习题主要包括一些较为复杂的不等式 问题，需要学生运用一定的解题技巧来解决
科学研究
在科学研究中，不领域中。
02
不等式的解法
一元一次不等式的解法
总结词
简单快捷，基础方法
详细描述
一元一次不等式的解法是求解不等式的基本方法，通过简单的步骤和公式即可得 出结果，是学习不等式的基础。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法相比一元一次不等式稍显复杂，但却是解决许多实际问题的重要工具，应用广 泛。
高次不等式的解法
总结词
高阶不等式，技巧性强
详细描述
高次不等式的解法需要一定的技巧和经验，是数学学习中较为进阶的内容。掌握高次不等式的解法能够更好地 解决复杂的不等式问题。
03
不等式的应用
最大值与最小值的求解
不等式的性质
传递性
01 如果a>b，b>c，那么a>c。
加法单调性
02 也就是不等式f(x+y)≤f(x)+f(y)
的简单性质。
乘法单调性
当正实数a,b>0时， f(ax)≤f(x)+f(a)当a>1时取 ‘=’。
03
正值不等式
04 正值不等式是指不等式的左边
是一个正数，右边是一个非正 数。
负值不等式
05
不等式的练习与巩固
基础练习题
总结词
强化基础、简单易懂、适合全体学生
详细描述
基础练习题主要包括基本的不等式概念和 简单的比较大小题目，旨在帮助全体学生 掌握不等式的基本知识和技能。
进阶练习题
总结词
提高解题速度、增加技巧性、适合中等以上 学生
详细描述
进阶练习题主要包括一些较为复杂的不等式 问题，需要学生运用一定的解题技巧来解决
科学研究
在科学研究中，不领域中。
02
不等式的解法
一元一次不等式的解法
总结词
简单快捷，基础方法
详细描述
一元一次不等式的解法是求解不等式的基本方法，通过简单的步骤和公式即可得 出结果，是学习不等式的基础。
一元二次不等式的解法
认识不等式.1认识不等式(开课课件)
探究二：
生活中不等式的应用随处可见,请你说出下列标志表示的含义,并用 不等式表示:其中:宽度、高度、重量、速度分别用L、H、G、V表示.
课后延伸、精选训练
1、绝对值大于1且小于3的整数是（ ） A、2 B、－2 C、±2 D、不能确定 2、无论x取何值，下列不等式总成立的是（ ） A、x+1＞x+3 B（x-3)2≥0 C、3x＞1 D、3x+2＞x+1 3、写出不等式x-5>0的三个解______ 4、冬天到了，小华准备用自己平时节约的30元钱为乡下的爷 爷奶奶和自己买手套与袜子。已知一副手套5元钱，一双袜子 4元钱，,他先买了3双袜子。如果设他还能买x副手套,那么根 据题意,可得到不等式_______________. 课本P52 练习1，2，3
学科网
(5)|y|-8＜0
探究：
1、下列各数:0，－3，3，4,－0.5，－20 ,－0.4中, －3 是方程x+3=0的解； 0，3，4,－0.5,－0.4 是不等 式x+3＞0的解.
思考由上题你能发现不等式的解与方程的解有什么区别？ 不等式的解与一元一次方程的解是有区别的．不
等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程 的解则是一个具体的数值．
词语
①大 于
②比…大
①小 于
②比…小
不等号
＞
＜
自学检测练3
3、用不等式表示.
（1） x与y的积是正数 （2） t与6的和是非负数 （3） x、y两数的平方差不大于0 （4） a不小于1 （5） y的绝对值与-8的和为负数 解： (1) xy>0 (2)t+6≥0 (4)a≥1 (3) x2-y2≤0
问题1：李敏的提议对不对？是不是真的“浪费”呢？ 我们不妨一起来算一算 买27张票，要付款 买30张票，要付款 显然 120<135 5×27＝135（元） 4×30＝120（元）
认识不等式ppt课件
16
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探究新知
(1)x＞a
a
(2)x≤a
(3)b≤x＜a (b<a)
•
•b
a
17
17
探究新知
特别提醒
用数轴表示不等式的三步法
(1)画数轴.
(2)定界点(包括用实心圆圈，不包括用空心圆圈).
(3)定方向(大于时向右延伸，小于时向左延伸).
18
18
探究新知
例2
一座小水电站的水库水位在12～20m(包括12m，20m)时，发电机能
x＜1
0
1
x≥2表示大于或等于2的全体实数，在数轴上表示2右边
的所有点，包括2，如图：
x≥2
0
1
2
13
13
探究新知
根据前面题目的解答，可知：
∵所有的实数在数轴上都可以找到一点与之对应，
∴数轴既可以表示全体实数，也可以表示两个数的
不等关系.
x＜a：表示小于a的全体实数，在数轴上对应a左边的
所有点，不包括a在内，在数轴上表示如图所示：
3；③ x2＋ xy ＋ y2；④ x ≠5；⑤ y ≤0.其中不等式有
( B
)
25
随堂练习
演练
2. [情境题 生活应用]小明一家在自驾游时，发现某公路上对
行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度
为 v 千米/时，则 v 满足的条件是( C )
26
随堂练习
演练
3. 不等式 x ＞5在数轴上表示正确的是( A
①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19.
用不等式和数轴给出解释.
解:把所给各值表示在数轴上，如图所示：
0
认识不等式优质课一等奖课件
认识不等式优质课一 等奖课件
目录
• 不等式的定义与性质 • 不等式的解法 • 不等式的应用 • 不等式的历史与发展 • 练习与巩固
不等式的定义与性质
01
不等式的定 义
总结词
不等式是数学中表示两个量或两个量 之间关系的一种表达式，它由不等号 连接两个数学表达式构成。
详细描述
不等式是数学中表示两个量或两个量 之间关系的一种表达式，它由不等号 （<、>、≤、≥）连接两个数学表达 式构成，表示两个量的大小关系。
提升练习题
总结词：提升理解
详细描述：在基础题目之上，增加一些难度，设计一些涉及不等式变形、解法及应用的题目，提升学生对不等式的理解和应 用能力。
综合练习题
总结词：综合运用
详细描述：结合实际情境和多个知识点，设计一些综合性题目，考查学生综合运用不等式知识解决问 题的能力，促进学生思维能力的提升。
谢谢聆听
不等式的性 质
总结词
不等式具有传递性、加法性质、乘法性质等基本性质。
详细描述
不等式具有以下基本性质
传递 性
如果a>b且b>c，则a>c。
加法性 质
如果a>b，则a+c>b+c。
不等式的分 类
总结词
不等式可以分为严格不等式和近似不等式两类。
详细描述
根据不等式中表达式的精确度，不等式可以分为严格不等式和近似不等式两类。 严格不等式表示两个量之间精确的大小关系，而近似不等式则表示两个量之间 近似的大小关系。
不等式的解法
02
代数法解不等式
01
代数法是解不等式最常用的方法之一，通过移项、合并 同类项、化简等步骤，将不等式转化为标准形式，然后 求解。
目录
• 不等式的定义与性质 • 不等式的解法 • 不等式的应用 • 不等式的历史与发展 • 练习与巩固
不等式的定义与性质
01
不等式的定 义
总结词
不等式是数学中表示两个量或两个量 之间关系的一种表达式，它由不等号 连接两个数学表达式构成。
详细描述
不等式是数学中表示两个量或两个量 之间关系的一种表达式，它由不等号 （<、>、≤、≥）连接两个数学表达 式构成，表示两个量的大小关系。
提升练习题
总结词：提升理解
详细描述：在基础题目之上，增加一些难度，设计一些涉及不等式变形、解法及应用的题目，提升学生对不等式的理解和应 用能力。
综合练习题
总结词：综合运用
详细描述：结合实际情境和多个知识点，设计一些综合性题目，考查学生综合运用不等式知识解决问 题的能力，促进学生思维能力的提升。
谢谢聆听
不等式的性 质
总结词
不等式具有传递性、加法性质、乘法性质等基本性质。
详细描述
不等式具有以下基本性质
传递 性
如果a>b且b>c，则a>c。
加法性 质
如果a>b，则a+c>b+c。
不等式的分 类
总结词
不等式可以分为严格不等式和近似不等式两类。
详细描述
根据不等式中表达式的精确度，不等式可以分为严格不等式和近似不等式两类。 严格不等式表示两个量之间精确的大小关系，而近似不等式则表示两个量之间 近似的大小关系。
不等式的解法
02
代数法解不等式
01
代数法是解不等式最常用的方法之一，通过移项、合并 同类项、化简等步骤，将不等式转化为标准形式，然后 求解。
《不等式的基本性质》公开课课件
版权所有©贡为民
• 1. 某单位有青年职工若干人, 住若干间宿 舍. 如果每间住4人, 那么还有20人的住宿 无法安排; 如果每间住8人, 那么有一间宿 练习 舍不空也不满. 求该单位的职工人数和宿 舍间数.
版权所有©贡为民
• 2.某展览会入场票价为: 成人票每张5元, 小孩票每张3元。 某天上午入场人数为 109人, 其中一部分还购买了定价为5角的 说明书. 已知售出的入场券和说明书总收 入为539.5元, 且没有买说明书的人数在15 人和20 人之间 , 问成人有多少人 ? 问小孩 有多少人? 没有买说明书的有多少人?
③④ 同学回答
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是： ① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变； ② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变； ③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ； （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
例 1 根据不等式的基本性质，把下列不等 式化成 x＜ a 或 x＞ a 的形式： （ 1） x － 2＜ 3 （ 2） 6 x ＜ 5 x － 1
1 （ 3） x ＞ 5 2
（ 4） － 4 x ＞ 3
解 （1）根据不等式的性质1，两边都加上2得： x－2＋2＜3＋2 即 x ＜5 （2）根据不等式的性质1，两边都减去5 x 得： 6 x －5 x ＜（5 x －1）－5 x 即 x ＜－1
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数 时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定 范围的字母，应分情况讨论。
• [例1] 出租车的收费标准是: 不超过2千米 起步价5元, 往后每增加1千米车费加收2 元；不足1千米的路程, 按1千米收费. 某 列不等式解应用题 人乘出租车从甲地到乙地 , 共付车费35元. 如果他从甲地先步行800米, 然后乘车到 乙地, 仍然需要付35元. 问从甲乙两地的 中点乘车到乙地, 需付车费多少元?
• 1. 某单位有青年职工若干人, 住若干间宿 舍. 如果每间住4人, 那么还有20人的住宿 无法安排; 如果每间住8人, 那么有一间宿 练习 舍不空也不满. 求该单位的职工人数和宿 舍间数.
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• 2.某展览会入场票价为: 成人票每张5元, 小孩票每张3元。 某天上午入场人数为 109人, 其中一部分还购买了定价为5角的 说明书. 已知售出的入场券和说明书总收 入为539.5元, 且没有买说明书的人数在15 人和20 人之间 , 问成人有多少人 ? 问小孩 有多少人? 没有买说明书的有多少人?
③④ 同学回答
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是： ① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变； ② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变； ③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ； （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
例 1 根据不等式的基本性质，把下列不等 式化成 x＜ a 或 x＞ a 的形式： （ 1） x － 2＜ 3 （ 2） 6 x ＜ 5 x － 1
1 （ 3） x ＞ 5 2
（ 4） － 4 x ＞ 3
解 （1）根据不等式的性质1，两边都加上2得： x－2＋2＜3＋2 即 x ＜5 （2）根据不等式的性质1，两边都减去5 x 得： 6 x －5 x ＜（5 x －1）－5 x 即 x ＜－1
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数 时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定 范围的字母，应分情况讨论。
• [例1] 出租车的收费标准是: 不超过2千米 起步价5元, 往后每增加1千米车费加收2 元；不足1千米的路程, 按1千米收费. 某 列不等式解应用题 人乘出租车从甲地到乙地 , 共付车费35元. 如果他从甲地先步行800米, 然后乘车到 乙地, 仍然需要付35元. 问从甲乙两地的 中点乘车到乙地, 需付车费多少元?
《认识不等式》课件
《认识不等式》课件xx年xx月xx日•不等式的定义和性质•不等式的解法•不等式的应用•不等式的扩展知识目•不等式的实际应用•总结与展望录01不等式的定义和性质在数学中，我们把用不等号连接两个代数式的式子叫做不等式。
例如，x+1>2就是一个不等式。
代数式比较大小不等式可以用于比较实数的大小，例如，2x>3y表示2x比3y大。
实数大小比较不等式的定义不等式的性质传递性加法性质Array如果a>b，那么a+c>b+c。
如果a>b，b>c，那么a>c。
乘法性质乘方性质如果a>b，c>0，那么ac>bc。
如果a>b，那么a^c>b^c。
1不等式的简化23不等式中的括号可以按照去括号的法则去掉，例如，(x+1)>2可以化简为x+1>2。
去括号不等式中的同类项可以合并，例如，2x+3y>5y可以化简为2x>2y。
合并同类项不等式中的公因数可以提取出来，例如，3x+4x>8y可以化简为7x>8y。
提取公因数02不等式的解法线性不等式指形如ax+b>c的不等式，其中a、b、c为常数，且a不为0。
解法将不等式化为标准形式，然后使用线性代数的方法求解。
线性不等式的解法非线性不等式指不满足线性关系的不等式，如x^2+y^2>1。
解法通常需要使用微积分、级数或其他数学工具来求解。
非线性不等式的解法不等式组指由多个不等式组成的集合。
策略需要通过观察和推理，选择合适的顺序和方法逐步解不等式组。
解不等式组的策略特殊解法指针对特定类型不等式的特定解法，如穿根法、口诀法等。
应用适用于某些复杂不等式或特定场景，可简化计算和提高解题效率。
特殊解法03不等式的应用不等式可以用于求解最大值和最小值问题，不等式求解的关键是理解不等式的解和利用不等式性质进行变形。
总结词不等式用于求解最大值和最小值问题时，需要先明确变量的取值范围及其对应的函数，通过不等式的性质对函数进行变形，进而找到最大值和最小值。
七年级数学公开课教案“认识不等式”
认识不等式教材分析不等式在现实世界中无处不在，如：倾斜的天平，年龄的大小，个子的高矮，身体的轻重，速度的快慢，路程的远近，怎样设计方案划算等等都表现为不等的关系。
本节是不等式这章的第一节，它是后面学习不等式的基础。
教学目标1.了解不等式和一元一次不等式的概念，会列不等式.2.理解不等式的解的意义，并能举出不等式的几个解或验解.3.从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程.4.引导学生在与他人的交流中，提倡勇于发表自己的不同的见解。
在活动中人人都获得成功的体验。
教学重点理解不等式及解的意义，根据生活实际问题中的数量关系列出符合题意的不等式．教学难点不等式解的理解，对实际问题的数量关系进行比较分析，列出不等式。
教学流程一．情景引入师：前面我们学习了方程，都表示数量之间的相等关系。
在日常生活中我们还会遇到这样的情况：1．我到水果摊上称了2斤橘子，摊主称了几只橘子说：“你看秤，高高的．”这个“高高的”，是什么意思？2．同学们坐过跷跷板吗？3．罗程比我胖。
阮堰比我高。
师：这些情况反应的是什么关系？你能举个类似的例吗？生：举例。
师：说的好，这就是我们今天要学习的内容（板书课题——认识不等式）二．新知探究师：请同学们看看下面这个问题。
世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张票可少收1元．某班有27名少先队员去世纪公园进行活动．当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。
但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗?那么，究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的“浪费”呢?我们不妨一起来探索吧。
我们先来看一段表演。
1．表演：（两位学生上台模拟场景表演）领队王小华上台，紧跟其后的是少先队员李敏o王：今天天气真好。
我和班上一共27名同学来到这世纪公园，进行少先队活动。
我来买27张门票。
李：哦，小华，售票处在那里!王：那，我们来看看怎么买票。
认识不等式公开课课件
物理学中的应用
不等式在物理学中起着重要的 作用，如运动学和力学中的方 程和关系。
注意事项
1 注意不等号方向
在解题过程中，要仔细注意不等号的方向和限制条件。
2 注意绝对值
绝对值在不等式中的运用需要特别注意，可能会改变不等式的解集。
3 注意定义域
当变量有约束条件时，要确定变量的定义域，以避免解集不准确。
例题通过图像和方程等方来自，解决二元一次不等式的实 际问题。
多元不等式
1 解法
使用代数和图像方法解决多个变量的不等式 问题。
2 例题
解决多元不等式在几何、经济学和物理学中 的实际应用。
不等式的应用
数学建模
不等式在数学建模中被广泛应 用，如优化问题和约束条件。
经济学中的应用
不等式在经济学中有重要的应 用，如供求关系和价格分配。
互联网上有许多关于不等式的学习资源和视频教程。 备注：本PPT仅供参考，请结合实际情况进行学习。
认识不等式公开课ppt课 件
了解不等式的基本概念和性质，学习如何解决一元一次、二元一次和多元不 等式问题，并了解不等式在数学、经济学和物理学中的实际应用。
什么是不等式
不等式是数学中的一种关系表达式，描述了两个数之间的大小关系。通过举 例说明，让我们更好地理解不等式的定义。
不等式的性质
加减法原理
可以对不等式两边同时加减相同的值而不改变大小关系。
总结
不等式的定义和性质
了解不等式的基本概念和运 算规则。
不等式的解法
学习一元一次、二元一次和 多元不等式的解题方法。
不等式的应用
探索不等式在数学、经济学 和物理学中的实际应用。
参考资料
教材
课程教材中的相关章节，提供了更多的不等式问题和例题。
认识不等式PPT市公开课一等奖省优质课获奖课件
5g
3x>5
第4页
以下问题中数量关系能用等式表示吗? 若不能,应该用怎样式子来表示: (4)如图,小聪与小明玩跷跷板,大家都不用力时, 跷跷板左低、右高,小聪身体质量为p(kg),书 包质量为2kg,小明身体质量为q(kg),怎样表示 p,q之间关系?
q<2+p
第5页
以下问题中数量关系能用等式表示吗?若 不能,应该用怎样式子来表示:
以下问题中数量关系能用等式表示吗? 若不能,应该用怎样式子来表示:
(1)如图,是公路上对汽车
限速标志,表示汽车在
该路段行驶速度不得超
超 速
过40km/h,用v(km/h)表
40
？
示汽车速度,怎样表示v 与40之间关系?
v≤40
第2页
以下问题中数量关系能用等式表示吗?若 不能,应该用怎样式子来表示:
(3) x≤1表示怎样数全体？
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
第11页
以下表示怎样不等式？
0 123
a
b
a
b
a
x>3 x≥a b<x<a b<x ≤ a
第12页
走进生活
例2：水电站水库水位在12-20m(包含12m，20m)时，发
电机能正常工作，设水库水位为x（m）
（1）用不等式表示发电机正常工作水位范围，12≤ x≤ 20。
在数轴上表示为 x1 x2
x3
x4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
(单位：m)
（2）当水位在以下位置时,发电机能正常工作吗？①
X1=8, ②X2=10, ③X3=15, ④X4=19请用不等式和数轴 给解出：解把释①。X1=8, ②X2=10, ③X3=15, ④X4=19表示在数
《认识不等式》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (1)
区分新知
1、判断以下式子哪些是不等式 ? (1)2>0 (2)a2 +1＞0 (3)3x2 +2x (4)x＜2x +1 (5)x =2x -5 (6)a +b≠c
2、选择适当的不等号填空
(1) 2__＜__3
(5) 若x≠y,则-x__≠__-y
(2) - 8 _＞___-3
(6)实数a,b在数轴上的位置如图,
这节课你学了哪些内容 ?你有何收获或感受 ? 还有哪些需要老师和同学们帮你解决的问题吗 ? 你还有什么新的见解 ?
1、用不等式表示： 〔1〕a的b与平方和大于3 〔2〕x与y差的平方不小于2 〔3〕m与2的差是非负数
挑战自我
2、在数轴上表示下列不等式：
（1）x 3
（2）0 x 2 （3）x3且x0
示a左边的所有点 ,包括a在内
〔3〕b ＜ x ＜ a 〔b<a〕
b
a
b ＜ x ＜ a 〔b＜a)表示大于b而小于a的全体实数
2、在数轴上表示不等式 ,你认为需要确定什么 ?
〔1〕确定空心圈或实心点 〔2〕确定方向
试一试
1、 在数轴上表示下列不等式：（1） x＞－3 （2）x ≥3 （3）-2≤ x ＜4
___________
列出方程后 ,还必须找出符合方程的未知数的值．
能使方程左右两边的值相等 的未知数的值叫方程的解.
例１: 判断以下t的值是不是
方程2t +1 =7 -t的解：
〔1〕 t = -2 〔2〕 t＝1 (3) t =2
3、小强、小杰、张明参加投篮比赛 ,每人投20次.小强投进10个
球 ,小杰比张明多投进2个 ,三人平均每人投进14个球.问小杰和小
认识不等式公开课课件
组合优化、风险管理等问题。
工程中的不等式
02
在工程领域中，不等式被用来解决各种物理问题和优化问题，
如机械设计、建筑设计、交通运输等问题。
社会科学中的不等式
03
在社会科学中，不等式被用来解决各种社会问题和经济问题，
如人口统计、市场分析、社会福利等问题。
THANKS
感谢观看
随着数学的发展，不等式在各个领域的应用越来 越广泛，如微积分、线性代数、概率论等领域。
3
现代数学中的不等式
在现代数学中，不等式已经成为一个独立的分支 ，有许多重要的不等式和不等式定理被发现和研 究。
不等式与其他数学知识的联系
不等式与函数
函数的不等式问题是不等式的一 个重要应用领域，如函数的单调 性、最值等问题都涉及到不等式
及在假设检验中确定临界值。
物理问题中的不等式应用
01 02
力学中的不等式
在分析力学系统的稳定性时，常常用到不等式。例如，在分析弹性杆的 稳定性时，通过建立力和长度之间的大小关系，可以推导出杆的临界承 载力。
热力学中的不等式
热力学中的基本不等式（如Gibbs-Duhem不等式）在研究物质的热性 质和相变过程中有重要应用。
市场竞争中的不等式
在市场竞争分析中，常常用到各种类型的不等式来描述竞争者之间 的优劣势关系，以及市场占有率的变化趋势。
04
不等式的扩展知识
不等式的历史发展
1 2
古代数学中的不等式
在古代，数学家们已经开始研究不等式的问题， 如古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中讨论 了面积和体积的不等式。
近代数学中的不等式
的应用。
不等式与几何
几何学中常常涉及到面积、体积、 长度等量的比较，这些问题的解决 常常需要用到不等式。
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解：设每人每天必须完成x本杂志才能超额 完成300本杂志的装订任务
依题知：5 ×10 × 2＋30x>300
解得：x>20/3
因为x是整数，所以每人每天必须完成7本以 上才能超额完成任务
2。检验一个数是不是不等式的解，应代入 不等式中检验
3。注意：不等式的解与一元一次方程的解 是有区别的．不等式的解是不确定的，是 一个范围，而一元一次方程的解则是一个 具体的数值．
拓展提高
绵阳二中10人到学校图书馆参加装订杂志的劳动，开始 两天，每人每天完成5本杂志，问以后3天，每人每天必 须完成几本杂志，才能超额完成300本杂志的装订任务？ 试列出不等式，找出符合题意的一些解。
155cm
156cm
学习目标：
1、了解不等式的概念 2、了解不等式的解的概念 3、能够利用不等式表示不等 关系的量
讲授新课
一 不等式的概念
问题引导 问题1 如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一 质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球 的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？
▪
二 不等式的解
合作探究
问题1 公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少 收1元。某班有27人去世纪公园进行活动。当班长王小华准备 好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华， 提议买30张票。但有同学不明白，明明我们只有27个人，买30 张票，岂不是“浪费”吗？
那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？ 谈谈你们的看法。
120<5x成立吗? 不成立 不成立 不成立 不成立 成立 成立 成立
成立 成立
由上表可见,当x=__2_5_,_2_6_,2_7_,_2_8_,_2_9_，时, 不等式120<5x成立.也就是说,少于30人时, 至少要有__25__人进公园,买30张票反而合算.
归纳总结
不等式120<5x中含有未知数x，能使不等式成立的未知 数的值，叫做不等式的解（solution of inequality）。
一般情况一元一次方程只有一个解,而不等式有无 数个解.
例题：
我 是 翻 译 家！
你能把下列语言用不等式表示吗？并写出满足条件 的两个数。
（1）a是负数
（2）b是非负数
（3）x的一半不小于﹣1（4）y与4的和大于0.5
解: (1)a<0 如a= – 3、–4
(2)b ≥ 0 如b=0、2 (3) 1 x≥ –1 如x＝ –1、2
如上例中，x＝25，26，27，…等都是120<5x的解， 而x＝24，23，22，21则都不是不等式的解。
聪明的一休
判断下列各数，哪些是不等式x+2＞4的解
⑴ -1； ⑷ 0； ⑺ 3；√
⑵ -3；
⑶ -2.5；
⑸ 1；
⑹ 2；
⑻ 3.5； √ ⑼ 4； √
检验一个数是不是不等式的解，应代入 不等式中检验．
2
(4) y+是 “ 等于或小于
”，
通常用 符号 “
≤
” 表示。
例如，x 不大于10 可以表示为 x≤10（读作：“x小于或等于10”）。
类似地，“不小于”指的是“等于或大于”。 通常用符号“≥”表示。（读作：“大于或等于”）。
练一练:
用不等式表示: (1)x的3倍大于5; (3)x的2倍大于x; (5)a是正数;
4.用适当的符号表示下列关系： (1)直角三角形斜边c 比它的两直角边a 、
b都长。 (2) x与17的和比它的5倍小。
m11
(3) x的3倍与8的和比x的5倍大。 (4) 地球上海洋面积s1大于陆地面积s2。 (5) 铅球的质量m1比篮球的质量m2大。
小结：
1。生活中处处存在不等关系，我们可以用 不等式来解决生活中的实际问题
解(1)3x>5 (3)2x>x (5)a>0
(2)y与2的差小于–1; (4)y的1/2与3的差是负数; (6)b不是正数;
(2)y –2< –1 (4)1/2y –3<0 (6)b≤0
运用拓展
1、用“＜”或“＞”号填空：
(1) －7__＜__－5；
(2) (－3)4_＝___34；
(3) -3.14 ＞____-π； （4）7+（-1）__＞__ 4+(-1) (7) 6×3__＞__4×3； (8) 6×(－3)_＜___4×(－3)
总结归纳
像156>155，155<156，x>50，s>60x，s<100x 这样， 我们把用不等号“>”或“<”表示不等关系的式子叫作不等 式.
找一找
▪ 判断下列各式中哪些是不等式，哪些不是？
⑴ x+1=2
⑵ 5x-3＞1 ⑶ x-6
⑷ 11x-4≤6
⑸ 7＞4 ⑹2x-y≥0
（7）3x-1=2x+3 （8）5m≠0 （9）3+2≠3-2
如果不浪费，也就是说买30张票合算， 那么应该有___1_20_＜__5_x_.
那么x取哪些数值时，上述式子成立？
填一填
x
5x
21 105
22 110
23 115
24 120
25 125
26 130
27 135
28 130
29 130
比较120与5x的大小 120>5x 120>5x 120>5x 120=5x 120<5x 120<5x 120<5x 120<5x 120<5x
2、用适当的符号表示下列关系：
(1) a是负数；a＜0
(3) a与b的和小于5； a＋b＜5
(2) a是非负数；a≥0 (4) x与2的差大于－1；
x－2＞－1
(5) x的4倍不大于7； 4x≤7
(6) y的一半不小于3． 1 y ≥3
2
小测
3、用适当的符号表示下列关系： x+17＜5x
(2) x的3倍与8的和比x的5倍大。 3x+8＞5x
我们不妨一起来算一算
买27张票，要付款 买30张票，要付款
显然
120<135
5×27＝135（元） 4×30＝120（元）
这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面 上看是“浪费”了3张票，而实际上节省了。
如果设有x人要去纪念馆，当人 数少于30时，需要付款_5_x___ 元。买30张票时，需要付款 4×3_0_=_12_0_元。
第八章 一元一次不等式
8.1 认识不等式
导入新课
问题引入 现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系. 对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示
它们呢？
例如，小明的身高为155cm，小聪的身高为156cm， 则我们可以用不等号“>”或“<”来表示他们的身高之间 的关系.
如：156 > 155或155 < 156.
我们很容易知道圆球 的质量大于砝码的质量， 即x > 50.
问题2 一辆轿车在一条规定车速应高于60km/h，且低于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公 路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？
根据路程与速度、时 间之间的关系可得：
s>60x，且s<100x.
不等式的解是不确定的,一般不等式的解有无数个,而一元一次方 程的解则是一个具体的数值.
练一练
下列各数中哪些是不等式3x+2>8的解?哪些不是? –2, 1, 2, -1, 0.5, 3, 10
答:3和10是不等式3x+2>8的解,其它不是.
思考：
通过以上学习能说出一般情况下一元一次方程的解与 不等式解的异同吗？
依题知：5 ×10 × 2＋30x>300
解得：x>20/3
因为x是整数，所以每人每天必须完成7本以 上才能超额完成任务
2。检验一个数是不是不等式的解，应代入 不等式中检验
3。注意：不等式的解与一元一次方程的解 是有区别的．不等式的解是不确定的，是 一个范围，而一元一次方程的解则是一个 具体的数值．
拓展提高
绵阳二中10人到学校图书馆参加装订杂志的劳动，开始 两天，每人每天完成5本杂志，问以后3天，每人每天必 须完成几本杂志，才能超额完成300本杂志的装订任务？ 试列出不等式，找出符合题意的一些解。
155cm
156cm
学习目标：
1、了解不等式的概念 2、了解不等式的解的概念 3、能够利用不等式表示不等 关系的量
讲授新课
一 不等式的概念
问题引导 问题1 如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一 质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球 的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？
▪
二 不等式的解
合作探究
问题1 公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少 收1元。某班有27人去世纪公园进行活动。当班长王小华准备 好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华， 提议买30张票。但有同学不明白，明明我们只有27个人，买30 张票，岂不是“浪费”吗？
那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？ 谈谈你们的看法。
120<5x成立吗? 不成立 不成立 不成立 不成立 成立 成立 成立
成立 成立
由上表可见,当x=__2_5_,_2_6_,2_7_,_2_8_,_2_9_，时, 不等式120<5x成立.也就是说,少于30人时, 至少要有__25__人进公园,买30张票反而合算.
归纳总结
不等式120<5x中含有未知数x，能使不等式成立的未知 数的值，叫做不等式的解（solution of inequality）。
一般情况一元一次方程只有一个解,而不等式有无 数个解.
例题：
我 是 翻 译 家！
你能把下列语言用不等式表示吗？并写出满足条件 的两个数。
（1）a是负数
（2）b是非负数
（3）x的一半不小于﹣1（4）y与4的和大于0.5
解: (1)a<0 如a= – 3、–4
(2)b ≥ 0 如b=0、2 (3) 1 x≥ –1 如x＝ –1、2
如上例中，x＝25，26，27，…等都是120<5x的解， 而x＝24，23，22，21则都不是不等式的解。
聪明的一休
判断下列各数，哪些是不等式x+2＞4的解
⑴ -1； ⑷ 0； ⑺ 3；√
⑵ -3；
⑶ -2.5；
⑸ 1；
⑹ 2；
⑻ 3.5； √ ⑼ 4； √
检验一个数是不是不等式的解，应代入 不等式中检验．
2
(4) y+是 “ 等于或小于
”，
通常用 符号 “
≤
” 表示。
例如，x 不大于10 可以表示为 x≤10（读作：“x小于或等于10”）。
类似地，“不小于”指的是“等于或大于”。 通常用符号“≥”表示。（读作：“大于或等于”）。
练一练:
用不等式表示: (1)x的3倍大于5; (3)x的2倍大于x; (5)a是正数;
4.用适当的符号表示下列关系： (1)直角三角形斜边c 比它的两直角边a 、
b都长。 (2) x与17的和比它的5倍小。
m11
(3) x的3倍与8的和比x的5倍大。 (4) 地球上海洋面积s1大于陆地面积s2。 (5) 铅球的质量m1比篮球的质量m2大。
小结：
1。生活中处处存在不等关系，我们可以用 不等式来解决生活中的实际问题
解(1)3x>5 (3)2x>x (5)a>0
(2)y与2的差小于–1; (4)y的1/2与3的差是负数; (6)b不是正数;
(2)y –2< –1 (4)1/2y –3<0 (6)b≤0
运用拓展
1、用“＜”或“＞”号填空：
(1) －7__＜__－5；
(2) (－3)4_＝___34；
(3) -3.14 ＞____-π； （4）7+（-1）__＞__ 4+(-1) (7) 6×3__＞__4×3； (8) 6×(－3)_＜___4×(－3)
总结归纳
像156>155，155<156，x>50，s>60x，s<100x 这样， 我们把用不等号“>”或“<”表示不等关系的式子叫作不等 式.
找一找
▪ 判断下列各式中哪些是不等式，哪些不是？
⑴ x+1=2
⑵ 5x-3＞1 ⑶ x-6
⑷ 11x-4≤6
⑸ 7＞4 ⑹2x-y≥0
（7）3x-1=2x+3 （8）5m≠0 （9）3+2≠3-2
如果不浪费，也就是说买30张票合算， 那么应该有___1_20_＜__5_x_.
那么x取哪些数值时，上述式子成立？
填一填
x
5x
21 105
22 110
23 115
24 120
25 125
26 130
27 135
28 130
29 130
比较120与5x的大小 120>5x 120>5x 120>5x 120=5x 120<5x 120<5x 120<5x 120<5x 120<5x
2、用适当的符号表示下列关系：
(1) a是负数；a＜0
(3) a与b的和小于5； a＋b＜5
(2) a是非负数；a≥0 (4) x与2的差大于－1；
x－2＞－1
(5) x的4倍不大于7； 4x≤7
(6) y的一半不小于3． 1 y ≥3
2
小测
3、用适当的符号表示下列关系： x+17＜5x
(2) x的3倍与8的和比x的5倍大。 3x+8＞5x
我们不妨一起来算一算
买27张票，要付款 买30张票，要付款
显然
120<135
5×27＝135（元） 4×30＝120（元）
这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面 上看是“浪费”了3张票，而实际上节省了。
如果设有x人要去纪念馆，当人 数少于30时，需要付款_5_x___ 元。买30张票时，需要付款 4×3_0_=_12_0_元。
第八章 一元一次不等式
8.1 认识不等式
导入新课
问题引入 现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系. 对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示
它们呢？
例如，小明的身高为155cm，小聪的身高为156cm， 则我们可以用不等号“>”或“<”来表示他们的身高之间 的关系.
如：156 > 155或155 < 156.
我们很容易知道圆球 的质量大于砝码的质量， 即x > 50.
问题2 一辆轿车在一条规定车速应高于60km/h，且低于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公 路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？
根据路程与速度、时 间之间的关系可得：
s>60x，且s<100x.
不等式的解是不确定的,一般不等式的解有无数个,而一元一次方 程的解则是一个具体的数值.
练一练
下列各数中哪些是不等式3x+2>8的解?哪些不是? –2, 1, 2, -1, 0.5, 3, 10
答:3和10是不等式3x+2>8的解,其它不是.
思考：
通过以上学习能说出一般情况下一元一次方程的解与 不等式解的异同吗？