称假币问题实验报告

称假币问题实验报告

——信息论第一次作业

学校：西安电子科技大学

班别：1307011班

姓名：***

学号：***********

一、问题重述

盒中有n个外形相同的硬币，知道其中有一个重量不同的硬币，但不知是比真币轻，还是比真币重。现用一无砝码天枰对现有硬币进行称重来鉴别假币，无砝码天枰的称重有3种结果，平衡，向左倾，向右倾。当n=12;n=39;n=n时，如何称重使实验次数最少，鉴别出假币并判断出轻或重？

二、问题分析

根据熵的可加性，一个复合事件的平均不确定性可以通过多次试验逐步解除。如果我们使实验所获得的信息量最大，那么所需要的总试验次数就最少。

（1）每一次使用天平，可以得到三种可能，左偏，右偏，平衡，而且这三种可能是概率相等的，所以每一次使用天平的结果都携带log3的信息量。

（2）要从N个硬币中找到那个不一样，可以有2N种概率相同的可能，每个硬币都可能偏轻或者偏重，这个事件所携带的信息量是log2N。

所以可以得到最少可以使用log2N/log3次天平就可以凑够信息量，指出哪一个是不一样的。

三、问题解决

【问题一】ｎ＝１２

设12个硬币的编号分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.三次称重安排如下表：

设3种称重结果分别表示为：0：平衡，1：左重，-1：右重。得到如下鉴别结果：

参见上面表格，可用矩阵表示3次称重的安排，矩阵上面标明12次硬币的序号，矩阵

的3行分别表示3次连续称重时硬币的放置状态，1表示放到左盘，-1表示放到右盘，0表示放到旁边（不参与称重）。

1234567891011121111-1-1-1-10

01000-11110-1-1-101-1011-10-11-10⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝

⎭ 比较上面的表格和矩阵，发现：如果检测结果与上面矩阵的某列符合，则对应序号的硬币为

假币，且重量较重；如果检查结果与不包含在上述矩阵的列中，则１、－１互换，得到假币对应序号，但重量较轻。

【问题二】ｎ＝３９

查阅资料得到，n 次称量最多可以在个球中找到不同的球，并判断它的轻重。 （1）编码：

知道了球数，就能算出需要称量几次；

以这个次数作为长度，使用0、1、2排列组合进行编码，如001021、212022等等，再去掉全0、全1和全2，可知一共有个编码；

如果在一个编码中，第一处相邻数字不同的情况是01、12或20，则我们称它为正序码，如1120021；

否则为逆序码，如2221012；

在长度为n 的编码中，正序码和逆序码的数量相等，均为个。 （2）赋值：

如果把一个正序码中的0换成1，1换成2，2换成0，则它仍然是正序码；

根据这个原理，我们把所有正序码按3个3个进行分组，如12001、20112、01220这3个就是一组；

把正序码一组一组地分配给小球，每球一个，直到分完；

然后把每个正序码的0换成2，2换成0，它就变成了一个逆序码，如12001变成10221； 这样，每个小球就有了两个编码，一个正序，一个逆序，而且所有球都不重复。 （3）称重：

第一轮，我们把所有正序码第一位为0的小球放在天平左侧，为2的小球放在右侧，其它的放在旁边；

如果天平左倾，记为0；右倾，记为2；平衡，记为1；

然后是第二轮，把第二位为0的小球放在左侧，为2的放在右侧，同样记下称量结果； 每一轮都按这个顺序进行，一共要称n 次，最终结果是个n 位的编码； 如果编码等于某个小球的正序码，则这个小球比其它球重； 如果编码等于某个小球的逆序码，则这个小球比其它球轻。

【问题三】ｎ＝ｎ

方法与问题二同

四、算法演示

以ｎ＝１２为例

（１）编号

（２）称重

正序码第一位为０的硬币放在天枰的左侧，第一位为２的放在右侧，第一位为１的放在旁边

结果与事先挑选的硬币一致

五、编写代码

#include

#include

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

set sett;

int k,num,n,m;

int vsi[10005],weight[10005],fflag,s2i[10005],heavy_or_light; char s[10005][1005],rcd[10005];

int p=1,integ,leicheng=1;

void ten2three(int a,char *s)

{

num=0;

for(int i=0;i

s[i]='0';

while(1)

{

s[num++]=a%3+'0';

a/=3;

if(a<=1)

{

s[num]=a+'0';

break;

}

}

}

int judge1(int a)

{

char sss[3][10005];

int integ[3];

ten2three(a,sss[0]);

integ[0]=atoi(sss[0]);

for(int i=0;i

{

if(sss[0][i]=='0')

sss[1][i]='1';

else if(sss[0][i]=='1')

sss[1][i]='2';

else if(sss[0][i]=='2')

sss[1][i]='0';

}

integ[1]=atoi(sss[1]);

for(int i=0;i

{

if(sss[1][i]=='0')

sss[2][i]='1';

else if(sss[1][i]=='1')

sss[2][i]='2';

else if(sss[1][i]=='2')

sss[2][i]='0';

}

integ[2]=atoi(sss[2]);

int ok=1;

for(int i=0;i<=2;i++)

if(vsi[integ[i]])

{

ok=0;

break;

}