不等式证明的若干种方法毕业设计

不等式证明的若干种方法毕业设计

目录

1 前言 (6)

2 利用常用方法证明不等式 (7)

2.1 比较法 (7)

2.2综合法 (7)

2.3分析法 (8)

2.4换元法 (8)

2.5增量代换法 (8)

2.6反证法 (9)

2.7放缩法 (9)

2.8构造法 (10)

2.9数学归纳法 (10)

2.10判别式法。 (11)

2.11导数法 (11)

2.12利用幂级数展开式证明不等式 (12)

2.13向量法 (12)

2.14利用定积分性质证明不等式 (13)

3 利用函数的性质证明不等式 (14)

4 利用柯西不等式证明 (15)

5 利用均值不等式证明 (16)

6 利用施瓦茨不等式证明 (17)

7 利用中值定理法证明不等式 (18)

7.1 拉格朗日中值定理： (18)

7.2积分第一中值定理： (18)

8 利用詹森不等式证明 (19)

致谢 (20)

参考文献 (21)

1 前言

不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大，所以怎样区分题目类型，弄清每种证明方法所适用的题型围，是学生掌握不等式证明的关键所在。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本的不等式，灵活运用常用和特殊的证明方法。不等式是数学的基本容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志。

2 利用常用方法证明不等式

2.1 比较法

所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（围）确定a 与b 大小关系的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。即通过“0a b ->，0a b -=，

0a b -<(为作差法)或1a b >，1a b =，1a

b

<(为作商法)。

”来确定a ，b 大小关系的方法。

例 已知：0>a ，0>b ，求证：

ab b

a ≥+2

. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法

证明 02

)(2222

≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得

ab b

a ≥+2

. 故原不等式成立。

例 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明 因为 0>>b a ，所以

1>b

a

，0>-b a . 而 1>⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=-b

a a

b b a b a b a b a ，故 a b b a b a b a >．

故原不等式成立。

2.2综合法

综合法就是从已知式证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，

从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。 例 已知a b ≠且 ,a b R +∈ 求证： 3322a b a b ab +>+． 证： a b ≠ 所以222()020a b a ab b ->=>-+>

22a ab b ab =>-+>两边同时乘 a b + 得

22()()()a ab b a b ab a b -++>+即3322a b a b ab +>+．

故原不等式成立。 2.3分析法

从求证的不等式出发分析不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定使这个不等式成立的条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都以具备，那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。

例 求证： 37+<+．

证即：0+>+>

因为为了证明原不等式成立，只需证明22)78()69(+<+

即 1515+<+即<即 5456<

故原不等式成立。

2.4换元法

换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 例 －1≤21x -－x ≤2．

证明：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，故可设x = cos θ，其中0≤θ≤π．

则21x -－x =θ2cos 1-－cos θ= sin θ－cos θ=2sin(θ－4π)，∵－4

π

≤θ－

4π≤43π，∴－1≤2sin(θ－4

π

)≤2，即－1≤21x -－x ≤2．

故原不等式成立。

2.5增量代换法

在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a ＞b ＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简。

例 已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2

25

． 证明：∵a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =

21＋t ，b=2

1

－t ， (t ∈R) 则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋25)2＋(t －2

5

)2=

2t 2＋225≥2

25．

∴(a＋2)2＋(b ＋2)2≥2

25

．

故原不等式成立。

2.6反证法

反证法的原理是：否定之否定等于肯定。反证法的思路是“假设→矛盾→肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。

例 已知 332,(,)a b a b R +=∈ 求证 ： 2a b +≤． 证：假设2a b +>成立则3()8a b +>． 即 3322338

a b a b ab +++>332a b +=()2ab a b ∴+>．

2233()()2a b a ab b a b +-+=+=．