曲线的凹凸性与函数图象描绘

o
x1
x1 x2 2
x2 x
o x1
x2 x
定义 设f ( x)在区间 I 上连续, 如果x1, x2 I , 恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称f ( x) 在 I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧) ;
如果恒有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) , 那末称 f ( x)
2
曲线的拐点及其求法
1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
y
C
B
A
o
x
定理 2’ 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
定理 2’ 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
2
2
在 I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧)．
曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
Hale Waihona Puke Baidu
A
oa
bx
y 0 f ( x) 递增
A
oa
bx
y 0 f ( x) 递减
定理1 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的 ; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的 .
2
x2
)

1[ 2
f
( x1 )
f
( x2 )]
结论（2）可类似得证. 教材上用langrange定理证明!
例7 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
0

0

f ( x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (2 3 ,1127)
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
例12 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1

x
2 3
,
y


4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
小结
1.曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定.
2.改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法.
放映结束 感谢各位的批评指导！
例3 当x
y时，e x
ey
x y
e 2 .
2
证：设f ( x) e x
f ( x) 0 f ( x)是凹的。
f ( x1 x2 )
f ( x1 )
f
(
x2
)

e
x1
2
x2
e x1
e x2
2
2
2
即当x
y时，e x
ey
x y
e 2 .
谢 谢！
让我们共同进步
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
证 f ( x) 二阶可导, f ( x) 存在且连续, 又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x) [ f ( x)]在x0两边变号, f ( x)在x0取得极值, 由可导函数取得极值的条件, f ( x) 0.
2、拐点的求法
二阶导数等于零的点和二阶导数不存在 的点，可能是拐点．
方法1: (1)
求f ( x)；
(2) 求f ( x) 0及f ( x)不存在的点xi；
(3) 检查xi两近旁f ( x)的符号：
相同,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点; 相反,点( x0 , f ( x0 ))是拐点.
(2在x2 , x0之间)
二式两边相加，得
f ( x1 ) f ( x2 )
2
f
( x0 )
1[ 2
f
(1 )(x1

x0 )2

f
(2 )(x2

x0 )2 ]
由 f ( x) 0 f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( x0 ),
即
f
(
x1
分别取x为x1, x2 ,得
(在x, x0之间)
f ( x1 )
f ( x0 )
f ( x0 )( x1
x0 )
1 2!
f (1 )( x1

x0 )2
(1在x1 , x0之间)
f (x2)
f ( x0 )
f
(
x0
)(
x2

x0
)

1 2!
f (2 )( x2 x0 )2
(在x, x0之间)
定理1 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的 ; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的 .
第五节 曲线的凹凸性
y
C
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
B
y
y f (x)
A
o
x
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
y
f ( x1 ) f ( x2 )
y f (x) 2
f ( x1 x2 ) 2
y
y f (x)
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
不 妨 设x1

x2 , 令x0

x1
2
x2
,
分别在[ x1 , x0 ]与[ x2 , x0 ]上
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
1 2!
f ( )( x x0 )2
定理1 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的 ; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的 .
分析
证 仅证结论（1）. 任取x1, x2 [a, b], 且x1 x2 ,
不 妨 设x1

x2 , 令x0

x1
2
x2
,
把函数f ( x)在点x0展开为一阶泰勒公式，得
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
1 2!
f ( )( x x0 )2
(在x, x0之间)
证 仅证结论（1）. 任取x1, x2 [a, b], 且x1 x2 ,
不 妨 设x1

x2 , 令x0

x1
2
x2
,
把函数f ( x)在点x0展开为一阶泰勒公式，得
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
1 2!
f ( )( x x0 )2
例10 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及凹、凸的区间.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y 0,
得
x1

0,
x2

2. 3
3
x (,0) 0 (0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)