参数方程的导数

2
x
1 2
2x x
2
2
y y
dy
dx
2
1 1 ( y)2
x dy dx x2
y
,
x
x y dy x dy y
dx x2 y2
dx x2 y2
,ຫໍສະໝຸດ Baidu
x y dy x dy y, (x y) dy x y,
dx dx
dx
dy x y . dx x y
例 7．求由方程 y5 2 y x 3x7 ＝0 所确定的隐函数 y
x
y
t ln(1 arc tant
t
2
)
，求dy dx
。
dy
1
解 ： dy dt 1 t 2 dx dx 1 2t
1 (1 t)2
。
dt
1 t2
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t )
在t
2
处的切线方程。
dy 解： dy dt a sin t sin t ，
的点处的切线方程。
解：利用直角坐标与极坐标间的关系，将所给极坐标方程 化为参数方程：
a
x
r()
cos
a sin
3 cos .
y r() sin a sin 3sin
o
x
dy
dy dx
d dx
a(3cos3sin sin 3cos) a(3cos3cos sin 3sin )
,
d
y2 b2
1
上一点 P( x,
y)
的
切线方程为
xx a2
yy b2
1
。
证明： 2x a2
2y b2
y 0 ，
y
b2x a2 y
，
∴
过点 P0 的切线斜率为k
y
xx
b2 x a2 y
，
y y
所求的切线方程为：
y
y
b2 x a2 y
(x
x)
.
续上
所求的切线方程为：
y
y
b2 x a2 y
(x
x)
.
a2 yy a2 y2 b2xx b2x2,
x y
(t) f (t)
,t I
，如果函数
x (t) ， y f (t) 在区间I 上均可导且(t) 0 ，
又 x (t) 存在反函数 t 1(x) ，则
dy dy dt f (t) 。 dx dx (t)
dt
证明：∵ x (t) 可导且(t) 0 ，
∴反函数t 1(x) 可导，
b2xx a2 yy b2x2 a2 y2,
xx a2
yy b2
x2 a2
y2 b2
,
∴切线方程为
xx a2
yy b2
1。
类似可证：
★
过椭圆 x2 a2
y2 b2
1上一点P(x, y)
的切线方程为
xx a2
yy b2
1
★ 过圆 x2 y2 a2 上一点P(x, y) 的切线方程为
e y 是 x 的复合函数，按复合函数的求导法则得
e y dy y x dy 0,
dx
dx
故 dy y . dx x e y
结果中的 y 仍是由方程e y xy e 0 所确定的x 的 隐函数。
例 6．求由方程
x2
y2
arctan
e
y x
所确定的隐函数的导数dy
。
dx
解： 1 ln(x2 y2) arctan y ,
续上
x
r() cos
a sin 3 cos .
y r() sin a sin 3sin
dy
dy dx
d dx
3cos3sin sin 3cos , 3cos3cos sin 3sin
d
k
dy dx
1 ，切点 M (a , a ) ，
2
22
4
∴切线方程为 y a 1 (x a ) ，即 x 2y a 0 。
2.2.5 参数方程所确定的函数的导数
一般地参数方程
x y
(t) f (t)
,t I
确定了y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数t 1(x) ，则 y 可看作x 的复合函数，即 y f [1(x)] ，它由 y f (t) ，t 1(x) 复合而成。
定理 4
设有参数方程
且 dt dx
1 dx
1. (t)
dt
则由参数方程所确定的函数 y f [1(x)] 的
导数为：
dy
dy dy dt dt f (t) . dx dt dx dx (t)
dt
注意：参数式函数的导数仍是一个用参数方程表示的函数
x (t) ,
dy
dx
f (t) (t)
,
t I.
例
1．设
例如：
能 x2 y 5 0 y x2 5
显 化
x2 y2 R2
y R2 x2 , x [R,R]
y R2 x2 , x [R,R]
不 能
xy exy .
显
化 y x sin y 1.
2、隐函数的求导法
例 5．求由方程ey xy e 0 所确定的隐函数y y(x) 的导数。 解：将方程两边对x 求导 ，并注意到 y 是 x 的函数，
在x
0 的导数dy dx
x0
。
解：5y4 dy ＋2 dy －1－21x6 ＝0， dx dx
(5y4 2) dy 1 21x6, dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
,
当 x 0 时，从原方程解得 y(0) 0 。
故 dy dx
x0
1 21 06 504 2
1 2
。
例
8．证明：过双曲线 x2 a2
22 2
2
例 4．（教材 P68 第 19 题） 在交点处的切线垂直。
证明：两条心形线 r a(1 cos) 与 r a(1 cos) 相交成直角。
证明步骤：
（1）求出两条心形线的交点：(a, ) ； 2
（2）利用直角坐标与极坐标间的关系，将两条心形线的 极坐标方程化为参数方程，并求导数；
（3）由导数的几何意义求出两条心形线在交点处的切线的 斜率k1 和 k2 ；
dx dx a(1 cost) 1 cost dt
当t 时，摆线上相应的点为M (a( 1), a) ，
2
2
摆线在点M
处的切线斜率为k dy dx
t
1，
2
故切线方程为 y a x a( 1) ，即 2
x y a(2 ) 0 。 2
例 3．求三叶玫瑰线r a sin 3 (a为正常数) 在对应 4
（4）证明 k1 k2 1 两切线垂直。
2.2.6 隐函数的导数
1、显函数与隐函数
（1）显函数
y f (x) 形式的函数称为显函数。 例如： y 3x2 2x 5 ； y ex sin x 等。
（2）隐函数
如果在方程 F (x, y) ＝0 中，当 x 取某区间内的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存在，那 么就说方程 F (x, y) ＝0 在该区间内确定了一个隐函数。