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并行机调度问题
） （The Makespan without Preemptions
1. 常用符号的意义 2. LPT准则
2.1LPT及应用举例 2.2LPT的证明 3. CP准则 3.1寻找Critial Path的方法 3.2 CP准则 4. LNS准则
1.常用符号的意义
1.1pij：工件j在机器i上的加工的时间，如果加工时间与机器 无关，即工件在每台机器上的加工时间都一样，则 下标i可省略，用pj表示工件j的加工时间。
备时间为Cmax(LPT)-pn，且满 足下面的不等式：
Cmax(LPT)pn
p n1
j1 j
m
（2）
从0时刻开始加工进程，经Cmax(LPT)-pn 后 ，所有 的机器仍处于忙碌状态，无空闲机器，（否则第n工 件已被 放置在空闲机器上加工）,
2. LPT准则
2.2LPT的证明
（2） 所以pj ≥ Cmax(LPT)-pn 成立，又n≥m+1， n-1≥m
将前m个加工时间最长的工件先加工，一旦有机 器完成加工空闲，将剩余工件中加工时间最长的 进行加工。 Cmax（LPT）表示按LPT准则加工后，工件的最大完工时间。
2. LPT准则
2.1LPT及应用举例 下面是LPT准则的应用例子: 例1：在4台机器上加工9个工件，工件的加工时间如下:
表1 工件加工时间
Parall Machine Model
(The makespan without Preemption)
简介
并行机调度问题可以分为很多类，比如： The Makespan without Preemption The Makespan with Preemption; The Total Completion Time without Preemtions The Total Completion Time with Preemtions 。 重点讲述The Makespan without Preemption的几 条准则:LPT、CP、LNS、LFJ。
按LPT准则加工的顺序如下:
2. LPT准则
2.1LPT及应用举例
7
4
4
7
4
6
5
6
5
图4 按LPT加工的顺序图
2. LPT准则
2.1LPT及应用举例 很明显，按LPT准则决定的加工次序不是最优的方案。 在这个例子中The Optimal Processing Time（OPT）的 最优加工时间应为12。 如下图所示:
式的关系，即： Cmax(LPT) 4 1 Cmax(OPT) 3 3m
在按LPT 准则加工的工件中，满足Cmax(LPT)的t不唯 一，由最小自然数原理，（在一个非空自然数集合T中， 必存在一个数t0，使得对任意t∈T，t≥ t0 ），在所有
2. LPT准则
2.2LPT的证明
（2）考虑到Cmax(LPT)的定义，则第n个工件在加工前的准
Cmax(OPT)
Cmax(OPT)
所以
4
1
1
(1
1) m
2.2LPT的证明
（2）即：
Cm ax(LPT) n m j1pj (1m 1)pn （3）
可证明，Cmax(OPT)满足如下不等式：
Cmax(OPT)
p n
j1 j
m
（4）
2. LPT准则
2.2LPT的证明
（2） Cmax(LPT)
p n
j1 j
m
(1m 1)pn
注意：工件已按加工时间降序排列，即：p1 ≥p2 ≥… ≥pn
证明：分两种情况讨论 （1）当工件数n与机器数m的关系为：n≤m 显然，按LPT加工即为OPT加工。 Cmax（LPT）=Cmax(OPT)=p1
2. LPT准则
2.2LPT的证明
（2）当工件数t与机器数m的关系为：t>m;即t≥m+1 用反证法进行证明。设t个工件在m台机器上按LPT 准则进行加工，Cmax(LPT)与Cmax(OPT)不满足（1）
1.4prec
图1 prec示意图
图2 入树intree）
图3 出树outtree）
2. LPT准则
2.1LPT及应用举例
考虑问题：Pm||Cmax，即将n个工件放在m台相同的机器上加 工，如何安排加工次序，才能使Cmax最小。假定工件已按加 工时间降序排列，即：p1 ≥p2 ≥… ≥pn。 LPT准则：The Longest Processing Time first Rule
Cmax（OPT）按最优顺序加工，工件的最大完工时间。
2. LPT准则
2.1LPT及应用举例
7
5
7
5
6
6
4
4
4
图5 OPT加工的顺序图
2. LPT准则
2.2LPT的证明 在Pm||Cmax情况下，Cmax(LPT)与Cmax(OPT)如下关系：
Cmax(LPT) 4 1
（1）
Cmax(OPT) 3 3m
1.2Cmax:Cmax={C1， C2…Cn}，其中Cj(j=1,2…n)为第j个工件 完成的时间。
1.3Pm:有m台相同的机器进并行加工，工件j可在其中任何一 台机器上进行加工，并且工件加工一次便可完成。
1.常用符号的意义
1.4prec：在单机调度和并行机调度中出现的限制条件，要 求多个工件要顺序加工，比如：1、4、5这三个 工件要按145的顺序，只有1加工完后，4才能加 工；只有4加工完后，5才能加工。如果每个工件 最多有一个后继，称该限制为入树（intree）, 如果每个工件 最多有一个前驱，称该限制为 出树（outtree）,
n1 j 1
pj
表示n-1个不小于Cmax(LPT)-pn 的数相加。
将（2）式进行变换:
2. LPT准则
2.2LPT的证明
（2）
Cmax(LPT)
p n1
j1 j
m
pn

p n1
j1 j
m
m 1pn(1m 1)pn

Fra Baidu bibliotekp n
j1 j
m
(1m1)pn
2. LPT准则
Cmax(OPT)
Cmax(OPT)

p n
j1 j
m

(1
1) m
pn
Cmax(OPT) Cmax(OPT)
1
(1
1 m
)
pn
C max (O PT )
2. LPT准则
2.2LPT的证明
（2）因为
Cmax(LPT) 4 1 Cmax(OPT) 3 3m
Cmax(LPT) 1 (1m1)pn