初中数学分类讨论思想例题分析完整版

初中数学分类讨论思想

例题分析

Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

分类讨论思想例题分析 [线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。

例1已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为_3：2_或_3：4____。

练习：已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，且线段AB=7cm ，点M 为线段AB 的中点，线段BC=3cm ，点N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长.

解析：(1)点C 在线段AB 上： (2)点C 在线段AB 的延长线上 例2下列说法正确的是（ ）

A 、两条线段相交有且只有一个交点。

B 、如果线段AB=A

C 那么点A 是BC 的中点。

C 、两条射线不平行就相交。

D 、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。

[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。

例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的大小。（20°或50°）

[练习] 已知o AOB 60∠=,过O 作一条射线OC ，射线OE 平分AOC ∠，射线OD 平分BOC ∠，求DOE ∠的大小。

（1）射线OC 在AOB ∠内 （2）射线OC 在AOB ∠外

这两种情况下，都有o o AOB 60DOE=3022

∠∠== 小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同虽然AOC ∠的大小不确定，但是所求的DOE ∠与AOC ∠的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。

[三角形中分类讨论思想的应用]

一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。

1、三角形的形状不定需要分类讨论

例4、 在△ABC 中，∠B＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则

∠BCA 的度数为_____________。

解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨

论。如图1，当△ABC 的高在形内时，由

AD BD DC 2=·， 得△ABD∽△CAD，进而可

以证明△ABC 为直角三角形。由 ∠B＝25°。

可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝

65°。 如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC

为钝角三角形。由

A B C1 C2

AD BD DC 2=·，得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25°

∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°

2、等腰三角形的分类讨论：

a 、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。

例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于

_________。

[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,122

1,921y x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.921,1221y x x x 解得⎩⎨⎧==,9,6y x 或⎩⎨⎧==.5,8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。

b 、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。

例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）

A. 30°

B. 75°

C. 105°

D. 30°或75°

[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。

2、在ΔABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为

50°，则底角∠B=____________。

3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论

例7、 已知x ，y 为直角三角形两边的长，满足

x y y 224560-+-+=，则第三边的长为_____________。

解析：由x y y 224560-+-+=，可得x 240-=且y y 2560-+=

分别解这两个方程，可得满足条件的解x y 1122==⎧⎨⎩，或x y 2223==⎧⎨⎩

由于x ，y 是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。

当两直角边长分别为2，2时，斜边长为

222222+=； 当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为5；

当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为13。

综上，第三边的长为22或5或13。

4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。

例8、如图所示，在ABC △中，64AB AC P ==，，是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A P Q 、、为顶点的三角形和以A B C 、、为顶点的三角形相似，则AQ 的长为（ ）

(A)3

(B)3或43 (C)3或34 (D)43 析解：由于以A

A B C 、、为顶点的三角形有一个公共角（A ∠P 的直线PQ 应有两种作法：一是过点P 作PQ ∥BC ，这样根据相似三角形的性质可得

AQ AP AB AC =，即264

AQ =，解得3AQ =；二是过点P 作APQ ABC ∠=∠，交边AB 于点Q ，这时APQ ABC ，于是有AQ AP AC AB =，即246AQ =，解得43

AQ =. 所以AQ 的长为3或43

，故应选(B)。 四、本节小结

分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。

C

B