四年级 数学最短路线问题

第四讲最短路线

【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？

分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了。

所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如下图，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题。

解：如下图．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线。

【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？

分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法。

答案：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如下图，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短。

为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：

（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以

AB′=AE+EB′=AE+EB

（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得

AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）

上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．

所以折线AEB最短。

拓展训练

如下图，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短。

答案：工人们从A出发先到河边码头，再到公路的仓库，然后回到A处，恰好走一个三角形，现在要求三角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什么位置能使这个三角形的三边之和为最小，利用轴对称原理作图。

过A分别作河岸、公路的对称点A′、A″，如下图，连结A′A″，交河岸于M，交公路于N，则三角形AMN各边之和等于直线A′A″的长度，所以仓库建在N处，码头建在M处，使工人们所行的路程最短。

【例3】如图是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程。

分析：因为是在长方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为平面上的最短路线问题．将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如下图，在展开图中，AB间的最短路线是连结这两点的直线段，但要注意，蚂蚁可沿几条路线到达B点，需对它们进行比较。

答案：蚂蚁从A点出发，到B点，有三条路线可以选择：

（1）从A点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个平面展开在同一平面上，这时A、B间的最短路线就是连线AB，如图13—9（1），AB是直角三角形ABC的斜边，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25

（2）从A点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（2），同理

AB2=22+（1+4）2=29

（3）从A点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（3），得

AB2=（2+4）2+12=37

比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图13—9（1）爬行的路线最短，最短路程为5分米。

【例4】如下图，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A 点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？

分析：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如下图，由于B点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点B关于直线CD的对称点B′，这就可以用B′代替B，从而找出最短路线。

答案：如下图，将圆柱体侧面展成平面图形．作点B关于直线CD的对称点B′，连结AB′，AB′是A、B′两点间的最短距离，与桶口边交于O点，则OB′=OB，AB′=AO+OB，那么A、B 之间的最短距离就是AO+OB，所以小甲虫在桶外爬到O点后，再向桶内的B点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线。

延长AC到E，使CE＝B′D，因为△AEB′是直角三角形，AB′是斜边，EB′=CD=7厘米，

AE=14+10=24（厘米），根据勾股定理：

AB′2=AE2+EB′2=242+72=625

所以AB′=25（厘米）

即小甲虫爬行的最短路程是25厘米．

【例5】一个邮递员投送信件的街道如图，图上数字表示各段街道的千米数．他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．问走什么样的路线最合理，全程要走多少千米？

分析：最合理的路线就是选择最短路线．图中有很多路线，到底走哪一条路线最短呢？自然是能不重复走遍所有街道，最后回到邮局．因此这个问题就变成能否一笔画出这个图形，最后回到起点的“一笔画”问题．所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复．

我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点，把与奇数条线相连接的点叫做奇点．图中A、B、G、I都是偶点，其余的点均为奇点．

根据一笔画原理，可以判断出上图不是一笔画图形，因为这个图形奇点的个数超过两个．显然这个图形不能一笔画出，但我们可以将这个图形转化成一笔画图形．此题要求邮递员从邮局出发，最后回到邮局．按一笔画的原理，只有图形中的点全部是偶点时，才能从起点出发，最后又回到起点．图中共有10个奇点，显然邮递员要不重复走遍所有的街道是不可能的．为使邮递员从邮局出发，最后仍回到邮局，必须使10个奇点都变为偶点，这就需要在每两个奇点之间添加一条线，使全部的奇点变为偶点．在实际问题中，就是邮递员在哪些街道上要重复走，由于各段街道的路程不同，究竟邮递员在哪些街道重复走，能使投邮路线最合理．当然必是重复走的路程最短，总路程才能最短．要达到这一点，连线时必须做到以下两点：

（1）连线不能出现重迭；

（2）在每一个首尾相接的封闭图上，连线的长度总和不能超过总封闭图的长的一半．

按照上面两点，这个题最佳连线如下图所示虚线。

答案：根据下图，将10个奇点全变为偶点，且相应的投递路线为：