2015、2016级高数一期末A试题及解答

2015级本科高等数学（一）期末试题解答与评分标准A

（理工类多学时）

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．函数

x

x

sin 在0=x 处间断，其类型应是（ B ）. A. 可去间断点，属于第一类； B. 跳跃间断点，属于第一类； C. 无穷间断点，属于第二类； D. 跳跃间断点，属于第二类. 2．极限0

lim 1(0,0)b x

x x a b a →⎛⎫

+

>> ⎪⎝⎭

的值为（ D ）. A. 1； B. ln b a ； C. b

e a

； D. b

a e .

3．当0x →时，与函数2

()(1cos )ln(13)f x x x =-+是同阶无穷小的是（ D ）. A ．3x ； B ．5x ； C ．2x ； D ．4

x .

4．已知x

xe 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx '=⎰

（ A ）. A ．2x

x e C +； B ．x

xe C +； C ．2x

x e ； D ．x

xe . 5．曲线2cos a ρθ=所围成的图形的面积是( D ) .

A.

2

2

1(2cos )2

a d πθθ⎰

； B. 21(2cos )2a d ππθθ-⎰；

C.

22

1(2cos )2

a d πθθ⎰

； D. 22012(2cos )2a d π

θθ⎰.

6．设2

()()

lim

1()x a

f x f a x a →-=--，则在点a 处下列选项正确的是( B ) .

A. ()f x 的导数存在，且()0f a '≠；

B. )(x f 取得极大值；

C. )(x f 取得极小值；

D. ()f x 的导数不存在． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．已知232cos x t t y t

⎧=+⎨=⎩，则

2

t dy

dx π=

=1

32

π-

+ .

8．设0

()(1)x f x t t dt =

+⎰

，则()f x 的单调减少区间是(1,0)- .

（注：答案是否包括区间端点都对）

9．如果点12（，）

为曲线3

2

()f x ax bx =-的拐点，则a b +=4- . 10．2

2sin ()d 1cos x x x x

π

π-+=

+⎰2π4. 11．设函数()f x 连续，20

()()d ,x x xf t t ϕ=

⎰

若(1)1,(1)5,ϕϕ'==则(1)f =2.

12．作直线运动的质点在任意位置x 处所受的力为()1x

F x e

-=-，则质点从点1

0x =沿

x 轴运动到点21x =处，力()F x 所做的功为1

e

.

三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 13. 求极限2

30

(1)lim

sin x t x e dt x

→-⎰

.

解：原式=

2

3

(1)lim x t x e dt x →-⎰2

2

01

lim 3x x e x →-= （4分） 220lim 3x x x →==1

3

（4分）

14. 已知()cos 2x

f x e

x -=，求0()x df x =.

解：()(cos 22sin 2)x f x e x x -'=-+ （4分）

(0)1f '=-

0()x df x dx ==- （4分）

15. 求不定积分

2ln cos d .cos x

x x ⎰

解：原式=2tan ln cos tan x x xdx ⋅+⎰

（4分）

=2

tan ln cos (sec 1)x x x dx ⋅+-⎰

=tan lncos tan x x x x C ⋅+-+ （4分）

16. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥+<+=0

110

11)(x x

x e x f x

， 求

⎰

-2

d )1(x x f ．

解：

⎰⎰⎰

⎰--+==-01

1

1

1

20

d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f

⎰⎰

+++=-100

11d 1d x x e x x （4分） 1

00

1)1ln(d )11(x x e

e x x +++-=⎰- (2分) 2ln )

1ln(101

++-=-x

e

)1ln()1ln(11e e +=++=- （2分）

17. 求反常积分

21

22

dx x x +∞

-∞

++⎰

.

解：原式=arctan(1)x +∞+-∞

（4分）

()22

π

π

=

--π= （4分） 18. 由3

,2,0y x x y ===所围成的图形，计算该图形的面积以及绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 解：2

2

340

2

1()40

4A f x dx x dx x =

===⎰

⎰

（4分）

28

8

2

2

3

2832y V x dy y dy ππππ=⋅⋅-=-⎰⎰

53839664

32320555

y πππππ=-=-= （4分）

或者22

40

064

225

y V xydx x dx πππ=

==

⎰

⎰ 四、解答题（ 6分）

19. 设函数)(x f y =由方程062

2

3

=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值. 解：（方法一）由062

2

3

=+++y x xy y 得

2

223220dy dy dy y y xy xy x dx dx dx ++++=，解得 2

2

2322y

xy x y xy dx dy +++-=，