高中数学必修2立体几何优质课件：平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定

【扣识梃理】

1・二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所

组成的图形叫做二面角(如图).直线AB 叫做二面

角的棱，半平面。和0叫做二面角的面.

记法：LAB—卩,在么，“内，分别取点P、。时，可记作—Q ；当棱记为？时，可记作「I"或

P-1-0

(2)二面角的平面角:

①定义：在二面角a-1-p的棱I上任取一点O,如图所示，以点。为垂足，在半平面a和“内分别作垂直于棱I的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的叫做

二面角的平面角

②直二面角：平面角是直角的二面角.

2.

面面垂直的定义

就说这两个平面互相垂直.

(2)画法:

1 A

记作：。丄"

3.两平面垂直的判定

(1)定义: 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是

(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

(2)图形语言：如图.

(3)符号语言：AB丄“,ABQfl=B9 AB c a=^a丄几

【纟考軀型】

题型」面面垂直的判定

［例1］如图所示，已知ZBSC=90°, ZBSA = ZCSA =60°,又SA= SB=SC.

求证：平面ABC丄平面SBC.

［证明］法一：（利用定义证明）

V ZBSA = ZCSA=60°, SA=SB=SC, :.AASB和AASC是等边三角形,

则有SA=SB=SC=AB=AC9

令其值为a,则AABC和ASBC为共底边BC的等腰三角形.

取〃C 的中点如图所示，

连接 AD f SD,贝0AD 丄BC, SD 丄BC, A ZADS 为二面角A-BC-S 的平面角.

在 RtABSC 中，9：SB=SC=a 9 ：・SD 母妙=匹-返 在AADS 中，

VSD 2+AD 2=SA 2, /. ZADS=90°,即二面角A-BC-S 为直二面角，故平面

ABC 丄平面SBC.

r =T a

- 、2

在 RtAABD 中，AD=^a 9

法二：（利用判定定理）

•:SA=SB=SC,且ZBSA = ZCSA = 60°,

••・SA=AB=AC,

・•・点A在平面SBC上的射影为ASBC的外心. •••△SBC为直角三角形，

・•・点A在ASBC上的射影D为斜边BC的中点, :.AD 丄平面SBC.

又TAD U平面ABC,

・•・平面ABC丄平面SBC.

［类题通法］

证明面面垂直的方法

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面, 则另一个也垂直于此平面.

［对点训练］

1.如图，三棱柱ABC-AtBi G中，侧棱垂直底面，ZACB =

90°, AC=BC=^AA^ D 是棱AAi 的中点.

(1)证明：平面BDCi丄平面BDC；

⑵平面BDC,分此棱柱为两部分, 求这两部

分体积的比.

题型二 二面角 解：(1)证明：由题设知〃C 丄CC1，丄AC, CC Y QAC=C 9所

以BC 丄平面4CCSi ・ 又DCiU 平面ACCiAp 所以DCi 丄BC ・ 由题设知Z4iDCi = Z4DC=45。，所以ZCDCx = 90o

,即 DQ 丄DC •又DCHBC=C 9所以DC X ±平面BDC •又DC^平面 BDCj 故平面BDCi 丄平面BDC.

(2)设棱锥B-DACC 1的体积为Vp AC=1,由题意得 字X1X1=M

又三棱柱 ABC-A x B i C i 的体积 V=l,所以(V-Vj) : Vi = l : 1. 故平面BDCi 分此棱柱所得两部分体积的比为1 ： L

［例2］已知D, E分别是正三棱柱ABC-AiBiC.的侧棱AAi和BBi上的点，且A l D=2B l E=B l C l.^itD9 E, G 的平面与棱柱的下底面A01G所成的二面角的大小.

［解］如图所示，在平面440/内延长

DE和AiBi交于点F,则F是平面DEC.与平

面A01C1的公共点.于是CiF 为这两个平面

的交线.

题型二二面角

因而，所求二面角即为二面角D—CiF—Ay •:A L D〃B[E,且A i D=2B i E f

:・E,分别为DF和A/的中点.

VAjBi =BG =A1C1=B、F,

；・FC\丄AG.

又VCCj±平面A1B1G，FC1U平面A1BG，

ACCilFCi.

又VAjQ, CCi为平面AAiQC内的两条相交直线, :・FC\丄平面AAiQC.

VDQC 平面AA J C J C,

:.FC^DCy

• • ZDCjAi是二面角D—CyF—Ai的平面角. 由已知

A l D=A l C lf则ZDC J A J=45°.

故所求二面角的大小为45°.

［类题通法］

解决二面角问题的策略

清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明

所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”.