高中数学必修2立体几何优质课件：平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定
【扣识梃理】
1・二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所
组成的图形叫做二面角(如图).直线AB 叫做二面
角的棱，半平面。

和0叫做二面角的面.
记法：LAB—卩,在么，“内，分别取点P、。

时，可记作—Q ；当棱记为？时，可记作「I"或
P-1-0
(2)二面角的平面角:
①定义：在二面角a-1-p的棱I上任取一点O,如图所示，以点。

为垂足，在半平面a和“内分别作垂直于棱I的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的叫做
二面角的平面角
②直二面角：平面角是直角的二面角.
2.
面面垂直的定义
就说这两个平面互相垂直.
(2)画法:
1 A
记作：。

丄"
3.两平面垂直的判定
(1)定义: 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是
(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
(2)图形语言：如图.
(3)符号语言：AB丄“,ABQfl=B9 AB c a=^a丄几
【纟考軀型】
题型」面面垂直的判定
［例1］如图所示，已知ZBSC=90°, ZBSA = ZCSA =60°,又SA= SB=SC.
求证：平面ABC丄平面SBC.
［证明］法一：（利用定义证明）
V ZBSA = ZCSA=60°, SA=SB=SC, :.AASB和AASC是等边三角形,
则有SA=SB=SC=AB=AC9
令其值为a,则AABC和ASBC为共底边BC的等腰三角形.
取〃C 的中点如图所示，
连接 AD f SD,贝0AD 丄BC, SD 丄BC, A ZADS 为二面角A-BC-S 的平面角.
在 RtABSC 中，9：SB=SC=a 9 ：・SD 母妙=匹-返 在AADS 中，
VSD 2+AD 2=SA 2, /. ZADS=90°,即二面角A-BC-S 为直二面角，故平面
ABC 丄平面SBC.
r =T a
- 、2
在 RtAABD 中，AD=^a 9
法二：（利用判定定理）
•:SA=SB=SC,且ZBSA = ZCSA = 60°,
••・SA=AB=AC,
・•・点A在平面SBC上的射影为ASBC的外心. •••△SBC为直角三角形，
・•・点A在ASBC上的射影D为斜边BC的中点, :.AD 丄平面SBC.
又TAD U平面ABC,
・•・平面ABC丄平面SBC.
［类题通法］
证明面面垂直的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面, 则另一个也垂直于此平面.
［对点训练］
1.如图，三棱柱ABC-AtBi G中，侧棱垂直底面，ZACB =
90°, AC=BC=^AA^ D 是棱AAi 的中点.
(1)证明：平面BDCi丄平面BDC；
⑵平面BDC,分此棱柱为两部分, 求这两部
分体积的比.
题型二 二面角 解：(1)证明：由题设知〃C 丄CC1，丄AC, CC Y QAC=C 9所
以BC 丄平面4CCSi ・ 又DCiU 平面ACCiAp 所以DCi 丄BC ・ 由题设知Z4iDCi = Z4DC=45。

，所以ZCDCx = 90o
,即 DQ 丄DC •又DCHBC=C 9所以DC X ±平面BDC •又DC^平面 BDCj 故平面BDCi 丄平面BDC.
(2)设棱锥B-DACC 1的体积为Vp AC=1,由题意得 字X1X1=M
又三棱柱 ABC-A x B i C i 的体积 V=l,所以(V-Vj) : Vi = l : 1. 故平面BDCi 分此棱柱所得两部分体积的比为1 ： L
［例2］已知D, E分别是正三棱柱ABC-AiBiC.的侧棱AAi和BBi上的点，且A l D=2B l E=B l C l.^itD9 E, G 的平面与棱柱的下底面A01G所成的二面角的大小.
［解］如图所示，在平面440/内延长
DE和AiBi交于点F,则F是平面DEC.与平
面A01C1的公共点.于是CiF 为这两个平面
的交线.
题型二二面角
因而，所求二面角即为二面角D—CiF—Ay •:A L D〃B[E,且A i D=2B i E f
:・E,分别为DF和A/的中点.
VAjBi =BG =A1C1=B、F,
；・FC\丄AG.
又VCCj±平面A1B1G，FC1U平面A1BG，
ACCilFCi.
又VAjQ, CCi为平面AAiQC内的两条相交直线, :・FC\丄平面AAiQC.
VDQC 平面AA J C J C,
:.FC^DCy
• • ZDCjAi是二面角D—CyF—Ai的平面角. 由已知
A l D=A l C lf则ZDC J A J=45°.
故所求二面角的大小为45°.
［类题通法］
解决二面角问题的策略
清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明
所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”.
［对点训练］
2.如图所示，在AABC中，ABLBC, SA丄平面ABC, DE 垂直
平分SC,且分别交AC, SC于点D, E,又SA =AB, SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
B
C
B
解:•:E为SC中点，且SB=BC,
・・・BE丄SC.又DE丄SC,
BECDE=E, :.SC丄平面BDE,
.•・BD丄SC•又SA丄平面ABC f
可得SA丄BD, SCnSA=S,
・・・BD丄平面SAC,从而BD丄AC, BD丄DE,
・•・ZEDC为二面角E-BD-C的平面角.
设SA=AB=1.AABC 中，•:AB丄BC,；・SB=BC=\[i, AC=^3, ・・・SC=2.在RtZ\SAC 中，ZDCS=30°,
A ZEDC=60°t即二面角E-BD-C为60。

・
［证明］(1)TPD=°, DC=a, PC=\［2a9
:.PC2=PD2+DC2・
则PD丄DC.
同理可证PD丄AD•又9：ADQDC=D f且AD, DCC 平面ABCD9
•••PD 丄平面ABCD.
(2)由⑴知PD丄平面ABCD 又VAC U平面AB CD, :.PD丄AC・
•••四边形ABCD是正方形,
:.AC丄
XVBDAPD=D,且PD, BDU平面PBD, :.AC丄平面PBD.又VAC u平面B4C,
平面B4C丄平面PBD.
(3)由(l)Ml PD丄BC,
又TBC丄DC,且加，DC为平面加C内两条相交直线, •••BC丄平面PDC.
TPCU 平面PDC,
:.BCLPC.
则ZPCD为二面角P-BC-D的平面角.
在RtZkPDC 中，•:PD=DC=a,
・•・ ZPCD=45。

,
即二面角P-BC-D是45。

的二面角.
［类题通法］
本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化: 线线垂直亠线面垂直3面面垂直.
［对点训练］
3. AABC为正三角形，EC丄平面ABC, BD//CE,且CE
=CA=2BD9 M是E4的中点.求证:
E
(1)D E=DA；
⑵平面BDM丄平面ECA；
(3)平面DE4丄平面ECA.
证明=(1)设BD=a,作DF 〃BC 交CE 于F, 则CF=DB=a.因为CE 丄面ABC, 所以BC 丄CF, DF 丄EC, 所以£>£=〈血+"2=辰 又因为DB 丄面ABC t
所以 D4 =^DB 2+AB 2=\f5a, 所以 £>E=D4. (2) 取CA 的中点N,连接MN, BN,
则 MN 逅CE^DB.
所以四边形
MNBD 为平行四边形，所以MD 〃BN ・ E A
又因为EC丄面ABC,所以EC丄BN, EC丄MZ).
又DE=DA, M为E4中点，所以DM丄4£・
所以DM丄平面AEC,所以面BDM丄面ECA.
(3)由(2)知DM丄平面AEC,而DMu面DE4, 所以平面DE4丄平面ECA.
【探习反馈】
1 •在二面角一1・卩的棱I上任选一点O,若Z4OB是二面角M
的平面角，则必须具有的条件是（
A.40丄BO, AOCZa, BOU/J
B.AO丄人BOAJ
C・AB丄人AOCZa, BOU卩
D. AO丄I,丄人且AOU Q,BOUp
答案：D
2.对于直线加，兀和平面a, p,能得出a丄“的一组条件是
()
A・m丄it, m//a9 n//fl
B.zw丄aC\p=m9 nUp
C.m//n9〃丄〃,tnUa
D・m//n9 m_\_a9 n丄卩
解析：A与D中。

也可与0平行,B中不一定a±fi f故选C・答案：C
3・如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一
个面上，另一边在工件的另一个面上转动,
观察尺边是否和这个面密合就可以了，其
原理是____________________ .
解析：如图：因为OA丄OB, OA丄
0 OC, OBup, OCU0且OBCIOC=O, 根据线面
垂直的判定定理，可得OA丄
〃•又OAU©根据面面垂直的判定定
理，可得G丄几答案：面面垂直的判定定理
4.若P是AABC所在平面外一点，而APBC和△ABC都是边长为
2的正三角形，PA=&,那么二面角P-BC-A 的大小为•
解析：取BC的中点O,连接OA, OP,则ZPOA为二面角P-BC-A的平面角，OP=OA=M，PA=&,所以△POA为直角三角形，ZPOA= 90°.
答案：90°
5.在四面j^ABCD中，BD= \j2a9 AB=AD=CB=CD=AC
=a9求证：平面ABD丄平面BCD
证明：如图所示，•••△ABD与△BCD是全等的等腰三角形, •••取BD的中点连ftAE, CE,贝!丄BD, BD丄CE.
••• ZAEC为二面角A-BD-C的平面角•
在ZkABD
中,
AE= yjAB^-BE2D
U!
同理CE=
在AAEC 中，AE=CE=
由^AC2=AE2+CE2,
:.AE丄CE,即ZAEC=90°•••平面ABD丄平面BCD
9。