高中立体几何测试题及答案(理科)

立体几何测试题

1．如图，直二面角D —AB —E 中， 四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；

（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小的余弦值；

2．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且1,60AA AD DAB =︒=∠，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点. （1）求证：直线MF//平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；

（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小.

3、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ． （1） 证明：BD ⊥平面PAC ；

（2） （2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；

4、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11

2

AC BC AA ==

，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.

5. 如图，P ABCD -是正四棱锥,1111ABCD A B C D -是正方体，其中

2,6

AB PA ==．

（Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；

（Ⅱ）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小； （Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离．

6. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD =

DE = 2a ，AB = a ，F 为CD 的中点. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；

（Ⅱ）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD 和面BCE 所成二面角的大小.

7. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=o ，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上

的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。 （I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （III ）求二面角1A A B C --的大小

8. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （I ）求证：A 1C //平面AB 1D ； （II ）求二面角B —AB 1—D 的大小； （III ）求点c 到平面AB 1D 的距离.

参考答案

1、解：（Ⅰ）⊥BF Θ平面ACE. .AE BF ⊥∴

∵二面角D —AB —E 为直二面角，且AB CB ⊥， ⊥∴CB 平面ABE.

.AE CB ⊥∴ .BCE AE 平面⊥∴ （Ⅱ）连结BD 交AC 于C ，连结FG ，

∵正方形ABCD 边长为2，∴BG ⊥AC ，BG=2，

⊥BF Θ平面ACE ，

由三垂线定理的逆定理得FG ⊥AC.

BGF ∠∴是二面角B —AC —E 的平面角 由（Ⅰ）AE ⊥平面BCE ， 又EB AE =Θ， ∴在等腰直角三角形AEB 中，BE=2. 又Θ直角,6,22=+=∆BE BC EC BCE 中

33

26

22=

⨯=⋅=

EC BE BC BF ， 23

63

3,sin ,cos 2

BF BFG BGF BGF BG ∴∆∠===∴∠=

直角中， ∴二面角B —AC —E 大小的余弦值等于

3

. 2、解（Ⅰ）延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连结AN.因为

F 是BB 1的中点，

所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF//AN.

.,ABCD AN ABCD MF 平面平面又⊂⊄Θ .//ABCD MF 平面∴

（Ⅱ）证明：连BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1

可知：⊥A A 1平面ABCD,

又∵BD ⊂平面ABCD ，.1BD A A ⊥∴

Θ四边形ABCD 为菱形，.BD AC ⊥∴

,,,1111A ACC A A AC A A A AC 平面又⊂=⋂Θ .11A ACC BD 平面⊥∴

在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，所以四边形DANB 为平行

四边形.

故NA ∥BD ，⊥∴NA 平面ACC 1A 1. 1AFC NA 平面又⊂Θ

平面平面⊥∴1AFC ACC 1A 1.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知BD ⊥ACC 1A 1，又AC 1⊂ ACC 1A 1， ∴BD ⊥AC 1，∵BD//NA ，∴AC 1⊥NA. 又由BD ⊥AC 可知NA ⊥AC ，

∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在Rt △C 1AC 中，3

1

tan 11==CA C C AC C ， 故∠C 1AC=30°.

∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°

3.

4.【答案】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=

同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=

得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =，则12a

C O =

，1112230C D a C O C DO ︒=⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒