概率论与数理统计第八章
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2 2
否则,拒绝原假设.
α/2
χ2
拒绝域
1−
α/2
α ( n − 1)
2
χ 2 α (n − 1)
2
接受域
拒绝域
例2 某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下服从正态分布， 现对操作工艺进行了改变，从中抽取7炉铁水的试样测得
X = 4.36,
2 ( x − X ) = 0.2106, ∑ i i =1 7
问是否可以认为新工艺炼
σ/ n
α 2
α 2
− zα 2
拒绝域
zα 2
拒绝域
x − μ0 x − μ0 ¾4. 当 ≥ zα / 2时, 拒绝H 0 , < zα / 2时, 接受 H 0 . σ/ n σ/ n
接受域
例1 某车间用包装机包装糖果,当机器正常时, 袋装糖重X~N(0.5, 0.0152). 某日,为检验包装机 是否正常, 随机地抽取所包装的糖9袋, 称得净重为 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 由长期实践可知, 标准差较稳定. 试判断在显著性水平 α=0.05下机器是否正常? 解： ¾1.提出两个对立假设 H 0 : μ = μ0 = 0.5 和 H 1 : μ ≠ μ0 .
3. 两类错误及记号 假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中很 难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假设检验所 作出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类: (1) 当原假设H0为真, 统计量的观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误 (2) 当原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域, 而作 出了接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误
认为包装机工作不正常.
【练习】 某切割机在正常工作时, 切割每段金属 棒的平均长度X~N(10.5,0.152), 今从一批产品中随机 的抽取16段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 10.5 假定标准差没有变化, 试问该机工作是否正常? (α = 0.05) 解 ① 要检验假设 H 0 : μ = 10.5,
对于给定的α=0.05, 有
X − 200 P{| |< z α } = 1 − α = 0.95 5/4 2
显著性水平即 犯错误的概率
统计量U 的观测值
204.8 − 200 | |= 3.84 > 1.96 5/4
α 2
95%
α 2
−zα 2
拒绝域
zα 2
拒绝域
接受域
在一次抽样中小概率事件发生， 说明什么问题？ α 2 根源在于假设 H0:μ=200不合理！ 因此，拒绝原假设。
x = 0.5112
X − μ0 ¾2. 算出 的观测值 σ/ n
x − μ0
σ/ n
= 2.2
0.025
¾3.
对于给定的显著性水平α=0.05，0.025
接受域
[− zα / 2 , zα / 2 ] = [−1.96,1.96]
−1.96
1.96
拒绝域
拒绝域
接受域
¾4. 由于2.2>1.96, 故拒绝原假设H0.
第二节
正态总体的假设检验
σ2已知 σ2未知 t检验法 z检验法
对μ的 检验
一、单个总体 N(μ ,σ 2 ) 均值 μ 的检验 2 1. σ 已知，关于 μ 的检验（Z检验） Z检验法步骤 (1)提出原假设来自百度文库备择假设: H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0, X − μ0 (2)求 Z = 的值 σ/ n
21
练习 设某次考试的考生成绩X～N(μ,σ2),从中随机地抽 取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,样本标准差 为15分,问在显著性水平α=0.05下,是否可以认为这次考 试全体考生的平均成绩为70分? 解(1) H0:μ=70; H1:μ≠70,
X − μ0 66.5 − 70 = = −1.4. (2) T = S / n 15 / 36 (3)α=0.05,查表得 tα/2(n-1)= t0.025(35)=2.03,
第八章 假设检验
§8.1 §8.2 §8.3 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验
实际中的假设检验问题
¾产品自动生产线工作是否正常； ¾治疗某疾病的新药是否比旧药疗效更高； ¾厂商声称产品质量符合标准，是否可信； ¾学生考试成绩是否服从正态分布…
基本内容与要求 一、理解显著性假设检验的基本思想， 掌握假设检验的基本步骤. 二、掌握单个正态总体均值与方差的 假设检验.
2 2、在正常生产情况下某种汽车零件的重量服从 N (54, σ ) 在某日生产的零件中随机抽取10件, 测得重量的平均值为 55克, 样本标准差s=0.76, 试问该日生产的零件平均重量 是否有显著差异? (α = 0.05)
作业
例1 某种元件的寿命X～N(μ,σ2)，其中μ,σ 均未知。 现测得16只元件的寿命如下：159,280,101,212,224,379, 179, 264, 222,362,168,250,149,260,485,170
问在显著性水平α=0.05下,是否可以认为元件的平均寿命 为225小时? 解：1. H 0 : μ = 225, H 1 : μ ≠ 225
α 2
−zα 2
拒绝域
zα 2
拒绝域
接受域
假设检验就是根据得到样本对所提出的假设 作出判断: 是接受, 还是拒绝.
二、假设检验的步骤：
¾1.提出两个对立假设 H 0 : μ = μ0 和 H 1 : μ ≠ μ0 . ¾2. 对于给定的显著性水平α，
即可确定接受域和拒绝域，
x − μ0
X − μ0 ¾3. 算出 的观测值 σ/ n
σ2已知 对μ的检验
z检验法
正态总体 X~N(μ,σ2) 假设检验
σ2未知
t检验法
对σ2的检验 χ2检验法
第一节
一、引例
假设检验
二、假设检验的步骤 三、一些基本概念
一、引例 例 某电池厂在旧工艺条件下电池寿命服从N (200, 52)， 现在为了提高电池的寿命进行工艺改革，假设工艺条件的 变化只可能影响均值而不影响方差,现从生产的一大批产品 中随机抽取16只，测得样本均值 x = 204.8( h) 问新旧产品的寿命是否一致？显著性水平α=0.05 解: 设新产品寿命X 服从正态分布N(μ,52)，μ未知 问：μ=200是否仍然成立？ 如何利用样本信息对假设μ=200或μ≠200做出推断呢?
α 2
α 2
H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0, (2)求 T =
− tα
拒绝域
2
tα
接受域
2
X − μ0 S/ n
拒绝域
的值
(3)由给定α,查tα/2(n-1),得拒绝域为|T|> tα/2(n-1); (4) 若|T|>tα/2(n-1),否定原假设; |T|≤tα/2(n-1), 则接受原假设.
α 2
α 2
− zα 2
拒绝域
zα 2
拒绝域
接受域
(3)由给定α,查zα/2,得拒绝域为|Z|> zα/2 (4)若|Z|>zα/2,否定原假设; |Z|≤zα/2,接受原假设.
2. σ 2为未知, 关于μ 的检验( T 检验)
设总体 X ~ N ( μ ,σ 2 ), 其中μ ,σ 2 未知, 显著性水平为 α .
241.5 − 225 = = 0.6685 2. X = 241.5, S = 98.726 98.726 / 4 S/ n
3. t0.025(15)=2.1315, 故接受域为[-2.1315,2.1315]
X − μ0
4. 0 .6685 ∈ [ − 2 .1315 , 2 .1315 ] , 因此接受原假设
1.96
拒绝域
④
而
x − μ0
σ/ n
故接受 H 0 , 认为该机工作正常 .
三、基本概念 1. 检验统计量 X − μ0 统计量 Z = 称为检验统计量 . σ/ n 2. 原假设与备择假设 假设检验问题通常叙述为: 在显著性水平 α 下,
检验假设 H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ ≠ μ 0 . H 0称为原假设或零假设 , H 1 称为备择假设 .
n = 16,
H1 : μ ≠ 10.5,
x = 10.48, α = 0.05,
②
x − μ 0 10.48 − 10.5 = σ/ n 0.15 / 16
= −0.533,
0.025
0.025
③ 拒绝区域为
x − μ0 ≥ z0.05 2 =1.96, −1.96 σ/ n 拒绝域 接受域
= 0.533 < z0.025 = 1.96,
2 χ 接受域为λ1< <λ2
(4)由于 χ =16.79 >14.449
2
故拒绝原假设.即认为方差不是0.1122.
1、某机器在正常工作时,生产钢管的平均长度为5m, 标准差是0.24m,今从一批产品中随机抽取36根钢管， 测其平均值为4.96 m。假定钢管长度服从正态分布, 标准差没有变化,问该机工作是否正常? (α = 0.05)
分析： 如果原假设μ=200成立，则 总体 X ～N (200, 52) 样本均值 X ~ N ( 200, 25 / 16)
0.025 0.025
X − 200 ~ N (0,1) 统计量 U = 5/4
−z0.025
z0.025
样本均值的观测值 x = 204.8( h)
204 . 8 − 200 统计量U 的观测值 | |= 3.84 5/4
求检验问题 H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ ≠ μ 0 的拒绝域 . X − μ0 2 因为 σ 未知, 不能利用 来确定拒绝域 . σ/ n
因为 S 2 是 σ 2 的无偏估计 , 故用 S 来取代 σ ,
X − μ0 即采用 t = 来作为检验统计量 . S/ n
t 检验法步骤 (1)提出原假设和备择假设:
出的铁水含量的方差仍为0.1122 ?(α=0.05) 解:(1)H0: σ2 = 0.1122; H1: σ2 ≠ 0.1122
(2) 统计量: χ 2 =
(n − 1) S 2
σ2
~ χ 2 (n − 1) 的观测值为16.79
⎧λ1 = χ 2 α (n − 1) = χ 2 0.975 (6) = 1.237, 1− ⎪ 2 (3)查表得 ⎨ 2 2 λ = χ ( n − 1) = χ ⎪ 2 0.025 (6) = 14.449 α 2 ⎩
σ2 ⎧ λ 1 = χ 2 α ( n − 1) 1− (3)由给定α,查 ⎪ 2 ⎨ 2 = λ χ ⎪ 2 α ( n − 1) 2 ⎩ 2 χ 得接受域为λ1< <λ2
χ2 =
(n − 1) S 2
~ χ 2 (n − 1)
(4)将样本观测值代入 χ , 若λ1< χ <λ2,接受原假设;
所以接受域为[- 2.03,2.03]. (4) 由于-1.4∈ [- 2.03,2.03]. 故接受原假设. 即可以认为考生平均成绩为70.
第三节
正态总体方差的检验
2
方差σ2的(双边)假设检验：
( χ 检验）
(1)提出原假设和备择假设: H0: σ2 = σ02; H1: σ2 ≠ σ02 (2)选择包含σ2的分布已知函数:
否则,拒绝原假设.
α/2
χ2
拒绝域
1−
α/2
α ( n − 1)
2
χ 2 α (n − 1)
2
接受域
拒绝域
例2 某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下服从正态分布， 现对操作工艺进行了改变，从中抽取7炉铁水的试样测得
X = 4.36,
2 ( x − X ) = 0.2106, ∑ i i =1 7
问是否可以认为新工艺炼
σ/ n
α 2
α 2
− zα 2
拒绝域
zα 2
拒绝域
x − μ0 x − μ0 ¾4. 当 ≥ zα / 2时, 拒绝H 0 , < zα / 2时, 接受 H 0 . σ/ n σ/ n
接受域
例1 某车间用包装机包装糖果,当机器正常时, 袋装糖重X~N(0.5, 0.0152). 某日,为检验包装机 是否正常, 随机地抽取所包装的糖9袋, 称得净重为 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 由长期实践可知, 标准差较稳定. 试判断在显著性水平 α=0.05下机器是否正常? 解： ¾1.提出两个对立假设 H 0 : μ = μ0 = 0.5 和 H 1 : μ ≠ μ0 .
3. 两类错误及记号 假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中很 难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假设检验所 作出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类: (1) 当原假设H0为真, 统计量的观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误 (2) 当原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域, 而作 出了接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误
认为包装机工作不正常.
【练习】 某切割机在正常工作时, 切割每段金属 棒的平均长度X~N(10.5,0.152), 今从一批产品中随机 的抽取16段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 10.5 假定标准差没有变化, 试问该机工作是否正常? (α = 0.05) 解 ① 要检验假设 H 0 : μ = 10.5,
对于给定的α=0.05, 有
X − 200 P{| |< z α } = 1 − α = 0.95 5/4 2
显著性水平即 犯错误的概率
统计量U 的观测值
204.8 − 200 | |= 3.84 > 1.96 5/4
α 2
95%
α 2
−zα 2
拒绝域
zα 2
拒绝域
接受域
在一次抽样中小概率事件发生， 说明什么问题？ α 2 根源在于假设 H0:μ=200不合理！ 因此，拒绝原假设。
x = 0.5112
X − μ0 ¾2. 算出 的观测值 σ/ n
x − μ0
σ/ n
= 2.2
0.025
¾3.
对于给定的显著性水平α=0.05，0.025
接受域
[− zα / 2 , zα / 2 ] = [−1.96,1.96]
−1.96
1.96
拒绝域
拒绝域
接受域
¾4. 由于2.2>1.96, 故拒绝原假设H0.
第二节
正态总体的假设检验
σ2已知 σ2未知 t检验法 z检验法
对μ的 检验
一、单个总体 N(μ ,σ 2 ) 均值 μ 的检验 2 1. σ 已知，关于 μ 的检验（Z检验） Z检验法步骤 (1)提出原假设来自百度文库备择假设: H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0, X − μ0 (2)求 Z = 的值 σ/ n
21
练习 设某次考试的考生成绩X～N(μ,σ2),从中随机地抽 取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,样本标准差 为15分,问在显著性水平α=0.05下,是否可以认为这次考 试全体考生的平均成绩为70分? 解(1) H0:μ=70; H1:μ≠70,
X − μ0 66.5 − 70 = = −1.4. (2) T = S / n 15 / 36 (3)α=0.05,查表得 tα/2(n-1)= t0.025(35)=2.03,
第八章 假设检验
§8.1 §8.2 §8.3 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验
实际中的假设检验问题
¾产品自动生产线工作是否正常； ¾治疗某疾病的新药是否比旧药疗效更高； ¾厂商声称产品质量符合标准，是否可信； ¾学生考试成绩是否服从正态分布…
基本内容与要求 一、理解显著性假设检验的基本思想， 掌握假设检验的基本步骤. 二、掌握单个正态总体均值与方差的 假设检验.
2 2、在正常生产情况下某种汽车零件的重量服从 N (54, σ ) 在某日生产的零件中随机抽取10件, 测得重量的平均值为 55克, 样本标准差s=0.76, 试问该日生产的零件平均重量 是否有显著差异? (α = 0.05)
作业
例1 某种元件的寿命X～N(μ,σ2)，其中μ,σ 均未知。 现测得16只元件的寿命如下：159,280,101,212,224,379, 179, 264, 222,362,168,250,149,260,485,170
问在显著性水平α=0.05下,是否可以认为元件的平均寿命 为225小时? 解：1. H 0 : μ = 225, H 1 : μ ≠ 225
α 2
−zα 2
拒绝域
zα 2
拒绝域
接受域
假设检验就是根据得到样本对所提出的假设 作出判断: 是接受, 还是拒绝.
二、假设检验的步骤：
¾1.提出两个对立假设 H 0 : μ = μ0 和 H 1 : μ ≠ μ0 . ¾2. 对于给定的显著性水平α，
即可确定接受域和拒绝域，
x − μ0
X − μ0 ¾3. 算出 的观测值 σ/ n
σ2已知 对μ的检验
z检验法
正态总体 X~N(μ,σ2) 假设检验
σ2未知
t检验法
对σ2的检验 χ2检验法
第一节
一、引例
假设检验
二、假设检验的步骤 三、一些基本概念
一、引例 例 某电池厂在旧工艺条件下电池寿命服从N (200, 52)， 现在为了提高电池的寿命进行工艺改革，假设工艺条件的 变化只可能影响均值而不影响方差,现从生产的一大批产品 中随机抽取16只，测得样本均值 x = 204.8( h) 问新旧产品的寿命是否一致？显著性水平α=0.05 解: 设新产品寿命X 服从正态分布N(μ,52)，μ未知 问：μ=200是否仍然成立？ 如何利用样本信息对假设μ=200或μ≠200做出推断呢?
α 2
α 2
H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0, (2)求 T =
− tα
拒绝域
2
tα
接受域
2
X − μ0 S/ n
拒绝域
的值
(3)由给定α,查tα/2(n-1),得拒绝域为|T|> tα/2(n-1); (4) 若|T|>tα/2(n-1),否定原假设; |T|≤tα/2(n-1), 则接受原假设.
α 2
α 2
− zα 2
拒绝域
zα 2
拒绝域
接受域
(3)由给定α,查zα/2,得拒绝域为|Z|> zα/2 (4)若|Z|>zα/2,否定原假设; |Z|≤zα/2,接受原假设.
2. σ 2为未知, 关于μ 的检验( T 检验)
设总体 X ~ N ( μ ,σ 2 ), 其中μ ,σ 2 未知, 显著性水平为 α .
241.5 − 225 = = 0.6685 2. X = 241.5, S = 98.726 98.726 / 4 S/ n
3. t0.025(15)=2.1315, 故接受域为[-2.1315,2.1315]
X − μ0
4. 0 .6685 ∈ [ − 2 .1315 , 2 .1315 ] , 因此接受原假设
1.96
拒绝域
④
而
x − μ0
σ/ n
故接受 H 0 , 认为该机工作正常 .
三、基本概念 1. 检验统计量 X − μ0 统计量 Z = 称为检验统计量 . σ/ n 2. 原假设与备择假设 假设检验问题通常叙述为: 在显著性水平 α 下,
检验假设 H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ ≠ μ 0 . H 0称为原假设或零假设 , H 1 称为备择假设 .
n = 16,
H1 : μ ≠ 10.5,
x = 10.48, α = 0.05,
②
x − μ 0 10.48 − 10.5 = σ/ n 0.15 / 16
= −0.533,
0.025
0.025
③ 拒绝区域为
x − μ0 ≥ z0.05 2 =1.96, −1.96 σ/ n 拒绝域 接受域
= 0.533 < z0.025 = 1.96,
2 χ 接受域为λ1< <λ2
(4)由于 χ =16.79 >14.449
2
故拒绝原假设.即认为方差不是0.1122.
1、某机器在正常工作时,生产钢管的平均长度为5m, 标准差是0.24m,今从一批产品中随机抽取36根钢管， 测其平均值为4.96 m。假定钢管长度服从正态分布, 标准差没有变化,问该机工作是否正常? (α = 0.05)
分析： 如果原假设μ=200成立，则 总体 X ～N (200, 52) 样本均值 X ~ N ( 200, 25 / 16)
0.025 0.025
X − 200 ~ N (0,1) 统计量 U = 5/4
−z0.025
z0.025
样本均值的观测值 x = 204.8( h)
204 . 8 − 200 统计量U 的观测值 | |= 3.84 5/4
求检验问题 H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ ≠ μ 0 的拒绝域 . X − μ0 2 因为 σ 未知, 不能利用 来确定拒绝域 . σ/ n
因为 S 2 是 σ 2 的无偏估计 , 故用 S 来取代 σ ,
X − μ0 即采用 t = 来作为检验统计量 . S/ n
t 检验法步骤 (1)提出原假设和备择假设:
出的铁水含量的方差仍为0.1122 ?(α=0.05) 解:(1)H0: σ2 = 0.1122; H1: σ2 ≠ 0.1122
(2) 统计量: χ 2 =
(n − 1) S 2
σ2
~ χ 2 (n − 1) 的观测值为16.79
⎧λ1 = χ 2 α (n − 1) = χ 2 0.975 (6) = 1.237, 1− ⎪ 2 (3)查表得 ⎨ 2 2 λ = χ ( n − 1) = χ ⎪ 2 0.025 (6) = 14.449 α 2 ⎩
σ2 ⎧ λ 1 = χ 2 α ( n − 1) 1− (3)由给定α,查 ⎪ 2 ⎨ 2 = λ χ ⎪ 2 α ( n − 1) 2 ⎩ 2 χ 得接受域为λ1< <λ2
χ2 =
(n − 1) S 2
~ χ 2 (n − 1)
(4)将样本观测值代入 χ , 若λ1< χ <λ2,接受原假设;
所以接受域为[- 2.03,2.03]. (4) 由于-1.4∈ [- 2.03,2.03]. 故接受原假设. 即可以认为考生平均成绩为70.
第三节
正态总体方差的检验
2
方差σ2的(双边)假设检验：
( χ 检验）
(1)提出原假设和备择假设: H0: σ2 = σ02; H1: σ2 ≠ σ02 (2)选择包含σ2的分布已知函数: