1 离散化方法(讲义)

∫ Rw( x)dx =∫ dx
0 0
L
L
° d 2T
2
° ) w( x) dx = 0 + ST (T
2. 加权余数法（9）
其中
3. 配置法（1）collocation method
如果在区域
0 ≤ x ≤ L 内选择 n 个等距离节点，
w( x) = d1w1 ( x ) + d 2 w2 ( x) + ⋅⋅⋅ + d n wn ( x )
° ∂ 2T ° ∂ 2T + in Ω ∂x 2 ∂y 2 ° − T ≠ 0 on Γ R1 = T 1 ° ∂T R2 = − q ≠ 0 on Γ 2 ∂n
6. 边界条件的加权余数法(2)
• 选择适当的权函数，使
6. 边界条件的加权余数法(3)
∫∫ ∂x
Ω
∂2w
2
+
° ∂2w ° ∂T wd Γ Td Ω = −∫Γ2 qwd Γ − ∫Γ1 ∂y 2 ∂n ∂w ° ∂w d Γ + T +∫ T ∫Γ1 ° ∂n d Γ Γ2 ∂n ° ∂T ° ∂w d Γ = −∫ wd Γ + ∫ T Γ ∂n Γ ∂n
i = 1, 2, 3
1. 离散化的一般概念(1)
考虑一个肋片的稳态传热问题
1. 离散化的一般概念(2)
如果导热系数随温度变化，则这是一个非线性问题。 为方便，改写为
d dT hP λ (T ) + (T∞ − T ) = 0 0 < x < L dx dx A x = 0 T = T0 dT x=L =0 dx
2. 加权余数法（4）
• 如果在 所有 可能的近似的温度分布中选 出一个，那么 我们 设想 一下 这个分布函 数的基本性质会有哪些? • 毫 无 疑 问，如果要 使这个分布 函数 接近 实 际 的温度分布， 那就要求这个分布尽 可能 满足控制方程，同 时还要尽可能 满 足边界条件。
T = T ( x)
• 最小二乘法是取余量本身作为加权函数，并使 余量R对自身的内积最小，依此来求得待求变 量。根据最小二乘法原理，要使得
4. 最小二乘法（2）
• 即构成以下最小化问题
2° ° ) ∂ T + S (T ° ) dx + ST (T 2 T ∂ x 0 ° =T °0 x=0 T ° dT =0 x = L dx
∂ ( ρφ ) + div( ρ uφ ) = div(Γgradφ ) + Sφ ∂t
∂ ∂ ∂ ∂ ( ρφ ) + ( ρ uφ ) + ( ρ vφ ) + ( ρ wφ ) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ = (Γ ) + (Γ ) + (Γ ) + Sφ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂ ∂ ∂ ∂φ in tensor form ( ρφ ) + ( ρ uiφ ) = (Γ ) + Sφ ∂t ∂xi ∂xi ∂xi
( x − xi −1 )( x − xi +1 ) ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) ( x − xi −1 )( x − xi ) ( xi +1 − xi −1 )( xi +1 − xi )
li +1 ( x) =
3
3. 配置法（2）
• 取权函数为
L
3. 配置法（3）
称为加权函数。这种方法称为加权余数法 （Weighted Residual Techniques）。 即使对于相同的近似函数，采用不同的加权函数就会得到 不同近似解。既然如此，我们就可以在近似函数和权函数 上进行合理的选择，去找那些容易得到的近似解。
x1 , x2 , ⋅ ⋅⋅ , xn 假设各个节点上对应的温度为
积分结果为
1 x = xi w( x) = ∑ wiδ i ( x ), δ i ( x) = i = 2,L , n − 1 i= 2 0 x ≠ xi
n −1
代入到加权余数的公式中
° d T ° ) w( x )dx = 0 Rw( x) dx = ∫ 2 + ST (T ∫ 0 0 dx
°1, T ° 2 , ⋅⋅⋅ , T °n T
取任意内部节点附近的二次近似函数
° ( x ) = l ( x)T ° i −1 + l ( x )T ° i + l ( x)T ° i +1 T i −1 i i +1 li −1 ( x ) = li ( x) = ( x − xi )( x − xi +1 ) ( xi −1 − xi )( xi −1 − xi +1 )
2. 加权余数法（1）
对于一个 给定 的问题， 理论上存 在 着多种可供选 择的近似分布 函 数， 那么我们 如 何能 够找 到它 们 呢？简 化起见 ，以 等截 面 直 肋问题为例。
2. 加权余数法（2）
• 理论上存在着多种可供选择的近似分布 函数，那么我们如何能够找到它们呢？ • 如果我们有若干个可以选择的方法，哪 个方法是最有效的？ • 我们应该遵循什么原则来选择方法？
∫∫ Rwd Ω =∫
Ω
Γ2
R2 wd Γ − ∫ R1
Γ1
∂w dΓ ∂n
• 即
∫∫ ∂x
Ω
° ∂2T
2
+
° ° ∂T ∂ 2T ° − T ∂w d Γ wd Ω = ∫ − q wd Γ − ∫ T 2 Γ2 ∂n Γ1 ∂y ∂n
0. 控制方程的一般形式
Generalized equation
第一章 离散化方法 Method of Discretization
——从微分方程到代数方程组的途径
∂ ( ρφ ) + ∇g( ρ u φ ) = ∇g(Γ∇φ ) + Sφ ∂t in Cartesian coordinate in vector form
° d 2T
2
° i ) gl ( x )dx = 0 i = 2,..., n − 1 + ST (T i
4
5.伽辽金法Galerkin 法 （2）
• 按照习惯的做法，积分写成
° i ) gl ( x ) dx + ST (T i xi xi +1 2° 2° d T ° i ) gl ( x ) dx + d T + S (T ° i ) gl ( x ) dx = ∫ 2 + ST (T i 2 i T ∫ dx dx xi −1 xi
n −1
∫ Rgw dx = 0
i 0
xi+1
L
i = 2,..., n − 1
wi = li
根据插值函数的性质，可知上式等效于
• 很明显，使上式最小化的方法是求上式对每个 点的变量值一阶偏导数并令其等于0，这样可 以获得 n-2个联立的方程，再加上两个边界条 件，这个方程组就可以封闭。
xi−1
∫ dx
2. 加权余数法（6）
• 以上条件（1）是无法直接利用的。 （为什么？） • 后面两个条件可以用吗？ • 尽可能满足微分方程是什么意思？
2. 加权余数法（7）
° 是我们找到的近似解，则有 • 若T
2. 加权余数法（8）
• 如果能够通过选择的序列，使在区间上任何一点都有
° d 2T °) = R + ST (T dx 2 ° =T °0 x=0 T ° dT = RB x=L dx ° ( x) = c T ° ° ° 其中 T 0 0 ( x ) + c1T 1 ( x ) + c2 T 2 ( x ) + ⋅⋅⋅ R, RB分别 是控制方程和边界条件的残差。
° i −1 − 2T °i +T ° i +1 T ° i ) = 0 i = 2,3,L, n − 1 + ST (T 2 ( ∆ x )
如果是两端是第一类边界条件，则代数方程 组是封闭的。
代入近似函数的表达式，得到n-2个代数方程
4. 最小二乘法(1)Least squares
min
∫ ∂x
L
° ∂ 2T
2
∫ Rg Rdx = Min
0
L
s.t
4. 最小二乘法（3）
• 代入插值函数，积分结果变成
5. 伽辽金法 Galerkin （1）
• Galerkin 方法是将对应某个点上的插值函数 作为权函数
2
° i −1 − 2T °i +T ° i +1 T ° i ) min ∑ + ST (T 2 (∆x) i =2
° 是一个很好的近似。 则说明 T
•
° →T R → 0, RB → 0, T 0 0
我们需要找到可以操作的办法，通过一个可以遵循的步骤来实现。 回 到 前面 的尽可能满足微分方程 这一条件。 由 于采 用 了近似 解，在整个区域 内 ，在 不同 的地 方 大 小是 不同 的。 因 此我们 可以对误差采用加权平均（Weighted Average）的方法，使得
d 2T + S (T ) = 0 0 < x < L dx 2 x = 0 T = T0 dT x=L =0 dx hP S (T ) = (T∞ − T ) λA
2. 加权余数法（3）
我们所面对的通用方程是一个二阶非线性微分方程，无法在 所涉及到的区域中，获得关于控制变量（即 温度）的分布函数 的精确解
因此，我们就转而求这个分布函数的近似解
° =T ° ( x) T
当然，我们希望求得近似函数能够达到我们需要的精度。
2
2. 加权余数法（5）
• 对于一个具体的问题，近似分布函数的形式 确定后，接下来的关键就是如何来确定这个 分布函数中的待定系数。我们所能够利用的 条件就是 • （1）分布函数应与实际分布尽量接近； • （2）分布函数尽可能满足控制微分方程； • （3）分布函数应尽可能满足边界条件。
1. 离散化的一般概念(4)
° 的策略 求近似解 T （1）整体近似解
整体近似解是在问题的整个区域中求出适用于全局的 近似分布
（2）局部近似解的组合
局部近似解就是将问题涉及的区域划分成若干个子区 域，然后在子区域上用比较简单的函数形式来逼近待 求变量的分布。
1
1. 离散化的一般概念(5)
问题求解的困难所在 • 前面一种方法的困难是没有一个可遵循的寻 求整体近似解的规则，因而只能凭经验来寻
L 2
° d 2T dx 2
° ) = 0 i = 2, 3, L, n − 1 + ST (T i
x = xi
根据权函数的性质，只能是
xi +1
xi−1
∫ Rδ ( x )dx = ∫ dx
i xi−1
xi+1
° d 2T
2
° ) δ ( x ) dx =0 i = 2,3,L , n − 1 + ST (T i
求可能的近似函数。 • 与前者相比，后wenku.baidu.com所需要的计算工作量可能会 很大，而且随着对计算精度要求的提高，计算 工作量还会相应的提高。
1. 离散化的一般概念(6)
离散化的含义
将问题的求解区域划分成若干个子区域，然后在子区 域上用一系列形式比较简单的函数形式来逼近待求变 量的分布。 离散化方法是求解复杂问题的主流方法 尽管基于离散化的求解方法所需要的计算量很大，但 在功能强大的计算机面前并不总会造成实质性的困 难，同时，我们对于精度的要求也并非是毫无限制 的，所以采用离散化形式的近似解法逐渐成为了传热 与流动的数值计算方法的主流。
d dT hP λ (T ) + (T∞ − T ) = 0 0 < x < L dx dx A x = 0 T = T0 dT x=L =0 dx hP S (T ) = (T∞ − T ) A
1. 离散化的一般概念(3)
问题的特点 （1）稳态问题—方程中没有时间项 （2）无对流项—属于扩散问题 （3）方程中有源项—有源问题 （4）方程是非线性的—非线性扩散问题 （5）边界条件是线性的 （6）没有解析解(精确解）
xi +1 xi −1
6. 边界条件的加权余数法(1)
• 以二维稳态导热问题为例，控制方程和边界条件为
∂ 2T ∂ 2T + = 0 in Ω ∂x 2 ∂y 2 T =T on Γ1 ∂T = q on Γ 2 ∂n
∫ dx
° d 2T
2
• 如果采用近似解法，可能
R=
• 在两个区间（单元）上积分，然后再把结果相加。 • 顺便指出，Galerkin 方法是有限元方法，特别是 非线性问题有限元法的理论基础之一。