二重积分习题课

.
解：y
图形 曲边扇形
o
y=x
2
π 4
1
arctan
1 4
D
x =2
r 2 cos
1
1
2
1
1
y x r sin cos 2x
即得答案.
.
.
.
证毕.
(4) 交换二次积分的积分顺序：
0
1 y
dy f ( x, y)dx
1
2
2
1 x
dx f ( x, y)dy
1
0
.
解： 1 y
o
1 D2
(2)根据什么选择积分次序？ 根据积分区域 D 的边界的特点： 原则：分块尽可能少，并且积分上、下限简单； 容易根据第一次积分结果计算第二次积分。
注意： (1)无论在什么坐标系下， 转化成二次积分计算时， 积分的下限要小于积分的上限。
(2)灵活运用二重积分的性质简化计算过程。 (3)善于利用被积函数在对称积分区域上的奇偶性
0 2
(x) 0
f
( x,
y)dy
若 f ( x, y) f ( x, y) 若 f ( x, y) f ( x, y)
f ( x, y)d
b
(x)
dx f ( x, y)dy
原式右边
a
( x )
证毕.
D
1(2)
设D是矩形域：– x , –1 y 1 .则 (2 sin y)d 8 .
4
sin cos
.
.
(4) 交换二次积分的积分顺序：
0
1 y
dy f ( x, y)dx
1
2
2
1 x
1 dx0 f ( x, y)dy
.
.
(5) lim ε 0
ln( x 2 y 2 )dxdy
ε 2 x2 y2 1
– .
2.选择
(1) 记 I1 | xy | dxdy , I 2 | xy | dxdy ,
xy 2dx
1 a5. 6
1(2)
设D是矩形域：– x
, –1 y 1 .则 (2 sin y)d
D
8
.
(3) 设
I
D
f ( x, y)dxdy , 其中域 D ( x, y)
1 x
y
x, 1
x
2
,
则在极坐标下的二次积分为
π
2
I
d 4
arctan 1
cos 1
f (r cos , r sin )rdr
第九章 二重积分
习题课
第六章 重积分
一 基本要求 1. 正确理解 二重积分 2. 了解二重积分的性质。 3. 熟练掌握二重积分的计算方法。
(1)直角坐标系下
(2) 极坐标系下
(4)问题与注意
5 会用二重积分计算曲面的面积、立体的体积；
以及平面薄片的质量；
二 典型例题 1. 积分换序
三 课堂练习 1. 填空
则
0
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d
D
D2
其中D2是D在右半平面的部分.
当 f (–x, y)= – f (x,y) 当 f (–x,y)= f (x,y)
(3)若D分别关于x 轴、y轴对称，而 f (x,y)关于x,y同时为偶函数，
则 f ( x, y)d 4 f ( x, y)d
2. 选择坐标系,确定积分限
2. 选择
3. 计算
一 基本要求 1. 二重积分的定义
存在定理： D是平面有界闭域， 函数 f ( x, y)在D上连续,
则 f ( x, y)在D上可积.
定义：
f ( x, y)在D上的二重积分为
n
I
D
f ( x, y)d
lim 0 i1
f ( i ,i )Δ i
D
解：
sin yd 0
D
（D关于x轴对称，siny是y的奇函数.）
证毕.
(3)
I
D
f ( x, y)dxdy , 其中域 D ( x, y)
1 x
y
x, 1
x
2
,
则在极坐标下的二次积分为
π
2
I 4
d cos
1
1
f (r cos , r sin )rdr
arctan
4
sin cos
x2 y2 1
|x|| y|1
则下列关系式成立的是：
(A) I1 I2 (B) I1 I2 (C) I1 < I2 (D) I1 > I2
答:（D）
(2)
记
I
|x|| y|1 1 cos 2
1 x
sin 2
y
dxdy
,
则 I 满足（A）.
2
1
(A) I 2 (B) 2 I 3 (C) 0 I
D
其中 D是由y 0, y x 2 , x 1所围成的闭区域.
求 f (x, y) ?
(2)
计算：I
1
y y
12dy 1 e x dx
y
1
y
1 dy y e x dx
4
2
2
(3) I
x 2 y 2 dxdy , 其中D是由曲线
D 4a 2 x 2 y 2
y a a 2 x 2 和直线 y x 围成的闭区域.
(2) D由直线
围成 .
解: (1) 利用对称性.
I x2 d x d y xyex2 y2 d x d y
D
D
y
1 2
D
(
x2
y
2
)
dxd
y
0
D
1
2 d
1
r
3
d
r
20
0
4
o 1x
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(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,
x
x+y =1
.
0
dy
1 y
f ( x, y)dx
换上下限.
1
2
0
2
dy
f ( x, y)dx 换序
1
1 y
2
0
dx
f ( x, y)dy 答案
1
1 x
证毕.
(5) lim ε 0
ln( x 2 y 2 )dxdy –
ε 2 x2 y2 1
解：
ln( x 2 y 2 )dxdy
简化计算。具体如下：
二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算
分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号
利用对称性 4. 利用重积分换元公式
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典型例题 1. 积分换序
例 1 计算
1
1
I dx
0
x2
xy dy
1 y3
此题必须换序。 因为原函数不能用初等函数表示 。
换序：I 1
y
dy
y
xdx
2 1.
0 1 y3
0
3
2. 选择合适的坐标系积分
例 2 计算 I a e x2 dx e dy a2 x2 y2
a
a2x2
.
解： 极坐标系
x r cos
y
r
sin
a
I dx
e dy a2 x2 x2 y2
a
a2x2
.
2π
d
a er2 rdr π (1 ea2 ) .
其中D2是D在下半平面的部分.
y (x0)
因为域D关于x轴对称， ∴取定x=x0时，相应的D的
边界上的点必互为对称点。 ∴纵坐标满足：
D1
o a x0 b
D2
x
(x0 ) y (x0 ) .
D可表示为
a
x
b
–(x0) 定积分性质
(x) y (x)
(x)
( x)
f
( x,
y)dy
0
0
(1)若积分区域D关于x 轴 对称，而 f (x,y)是 y 的奇(偶)函数，
则
0
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d
D
D1
其中D1是D在上半平面的部分.
当 f (x, –y)= – f (x,y) 当 f (x, –y)= f (x,y)
*证明
(2)若积分区域D关于y 轴对称，而 f (x,y)是x的奇(偶)函数，
三 课堂练习 1.填空
y a
D2
D1
–a o
ax
(1)计算 I xy 2d 其中D分别为:
D
I= 0
（积分域D关于y轴对称，xy2是x的奇函数）
y a
D1 o
ax
π
I = 2 xy 2d 2 2 d a r 4 cos sin 2 dr 2 a5 .
0
0
15
D1
D2
（ D关于x轴对称，xy2是y的偶函数）
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
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(1)
(为子域 i(i 1,2, ... ,n)中直径的最大者)
几何意义： 当 f (x,y) 0时，(1)式表示：
以 z = f (x,y)为曲顶, x0y平面上的域D为底的曲顶柱体的体积。
特殊情况： 若在域 D上 f (x,y) 1
则 d = 域 D 的面积.. . . D
2. 二重积分的性质
.
.
–a
.
y
. .
r 2a cos （ 选什么系？） （ 选极坐标系）
D
o
a
2a x
I =
π
2 d
0
2a cosθ r cosθ r 2 sin 2 θ rdr
0
π a5. 8
y (a,a)
(选什么系?) (直角系) (先对 哪个变量积分?) (先对x)
D
o
a
2a x
I =
a
dy
0
2a y y
利用对称性 , 得
xyex2 y2 dxd y
D1
xyex2 y2 dxd y
D2
1 x2 d x
x
dy 00
1
1
y
yx
o D2
D1
1
x
1 y x
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例6. 计算二重积分
其中D 是由曲
线
所围成的平面域 .
解: I 5D x dxdy 3D y dxdy
I y a 2 x 2 d 0.
D
例 4 I e d |x||y| D : | x | a ,| y | a .
D
设 D1是D在第一象限的部分. 由对称性，
I 4 e x yd 4 a e xdx a e ydy
0
0
D1
. .
4(1 ea )2 .
.
例5. 计算二重积分 I (x2 xyex2 y2 ) dxdy , 其中: D (1) D为圆域
除了一般性质， 特别要了解比较定理、估值定理、中值定理这三个性质。
设 f(x,y), g(x,y) 在有界闭域 D 上可积 : 比较定理: 若在域 D上， f (x,y) g(x,y),
则 f ( x, y)d g( x, y)d
D
D
估值定理: 设 M, m为 f (x,y) 在 D上的最大值和最小值，s 是
D 的面积， 则 ms f ( x, y)d Ms
D
中值定理: 设 f (x,y) 在有界闭域 D 上连续，则点( , )D,
使 f ( x, y)d f ( ,) s
D
3. 二重积分的计算
计算方法： 化二重积分为二次积分.
问题： (1)根据什么选择坐标系？ 根据被积函数和积分区域的特点。
1
区域D面积 : s =2
-1 o
1
-1
ห้องสมุดไป่ตู้
2 I 2. 3
.
解答(3)
.
谢 谢 使 用
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习题课
(1)若积分区域D关于x轴对称，而 f (x,y)是y的奇(偶)函数，
则
0
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d
D
D1
当 f (x, –y)= – f (x,y) 当 f (x, –y)= f (x,y)
其中D1是D在上半平面的部分.
证明
：
设 D = D1 + D2
D
D3
当 f (–x,y)= f (x,y) 且f (. x. ,–y)= f (x,y)
其中D3是D在第一象限的部分.
.
举例如下
例 3 y a 2 x 2 d
D
y y2 2x
因积分区域 D 关于 x 轴对称；
被积函数 f ( x, y) y a 2 x 2
是 y 的奇函数 ,
oD
x
x =1
积分区域 (x 1)2 ( y 2)2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
形心坐标
5xA3 yA
[5 (1) 3 2]A 9
x
1 A
D
x
d xd y
y
1 A
D
y
d xd y
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例7. 计算二重积分
(1) I D sgn( y x2 )dxdy, D : 1 x 1，0 y 1
(2) I ( x2 y2 2xy 2) dxdy, 其中D 为圆域 D
在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1
dx
1
x2
dy
0
2 3
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ε 2 x2 y2 1
2π
1
1
2 d ln r r dr 4π ln r r dr
0
ε
ε
分步
4π
( ε
2
ln ε
1 ε
2
)
π
(ε 0)
2
44
洛必达法则
证毕.
. .
解答(2) 用二重积分估值定理
f
( x,
y)
1
cos 2
1 x sin 2
y
1 f (x, y) 1 3
区域D图形:
(D) 1 I 0
3
2
(3) 设 D : x 2 y 2 a 2 (a 0) ,当 a __B___ 时，有：
D
(A) 1
a 2 x 2 y 2 dxdy π
(B) 3 3
2
(C) 3 3
4
(D) 3 1
2
3.计算
(1) 设 f ( x, y)连续，且 f ( x, y) xy f (u, v)dudv ，