2019-2020学年山东省泰安市肥城市高一下学期期中数学试卷 (解析版)

（2）次数位于 与 ≈14.6）
之间有多少名同学？所占的百分比是多少？（参考数据：3.82
19．在复平面内，复数 z1，z2，z3 对应的点分别为
．
（1）计算： ，并求 的模；
（2）求向量 在向量 上的投影向量，其中 O 为复平面的原点．
20．已知平面上三个向量
的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120°．
．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①b ，sinB
，
，
1，③c＝1，△ABC 的面积是 三
个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．若 ______，cos A 值．
C．8
D．16
【分析】求出 a 的表达式，然后利用复数的模得到关系式，转化求解通过基本不等式求 解函数的最值即可．
解：a∈C，关于 x 的方程
有实根，
可得 a＝x
，
|a|
4．当且仅当 x＝6 时
取等号．
则|a|的最小值是：4．
故选：B．
【点评】本题考查函数的最值的求法，复数的模的运算法则以及基本不等式的应用，是 中档题．
A．
B．
C．2
D．
4．2020 年 2 月 8 日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组 合隋文静/韩聪以总分 217.51 分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠 军．中国另一对组合彭程/金杨以 213.29 分摘得银牌．颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗 升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有 9 位评委进行评分，首先这 9 位评委给 出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从 9 个原始成绩中去掉一个最高分、一 个最低分，得到 7 个有效评分，7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 （）
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2019-2020 学年高一第二学期期中数学试卷
一、选择题（共 8 小题）
1．设 i 是虚数单位，复数 z1＝1+2i，z2＝1﹣3i，那么 z1+z2＝（ ）
A．2﹣i
B．2+i
C．﹣2﹣i
D．﹣2+i
2．
（）
A．
B．
C．
D．
3．若 （x，﹣1）， （﹣3，2），且 ∥ ，则 x 的值为（ ）
22．已知△ABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且
（1）求数量积，
，
，
；
（2）求△ABC 的面积．
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参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
（1）求证：
；
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（2）若|k
|＞1 （k∈R），求 k 的取值范围．
21．已知复数 ω
（i 是虚数单位）， 是 ω 的共轭复数．
（1）证明：ω2 ； （2）分别求 ω3 和 ω2+ω+1 的值； （3）求（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2 的值．
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解：如图所示的 Rt△ABC，其中角 B 为直角，则垂心 H 与 B 重合，
∵O 为△ABC 的外心，∴OA＝OC，即 O 为斜边 AC 的中点，
又∵M 为 BC 中点，∴
，
∵
M
为
BC
中
点
，
∴
．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，解题的关键是找到符 合题意的欧拉三角形，考查学生分析问题的能力和推理论证能力，属于中档题．
1．设 i 是虚数单位，复数 z1＝1+2i，z2＝1﹣3i，那么 z1+z2＝（ ）
A．2﹣i
B．2+i
C．﹣2﹣i
D．﹣2+i
【分析】利用复数的加法运算即可求解．
解：∵复数 z1＝1+2i，z2＝1﹣3i，
∴z1+z2＝2﹣i，
故选：A．
【点评】本题主要考查了复数的基本运算，是基础题．
2．
（）
A．
解： （3，4）， （2，﹣5）， （3，1），
则
（3+2+3，4﹣5+1）＝（8，0）．
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故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算公式应用问题，是基础题．
7．已知 a∈C，关于 x 的方程
有实根，则|a|的最小值是（ ）
A．2
B．4
．
15．某校田径队共有男运动员 45 人，女运动员 36 人．若采用分层抽样的方法在全体运动
员中抽取 18 人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为
．
16．如图，定圆 C 半径为 2，A 为圆 C 上的一个定点，B 为圆 C 上的动点，若点 A，B，C
不共线，且|
|
|对任意 t∈（0，+∞）恒成立，则
B．
C．
D．
【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可．
解：
故选：D． 【点评】本题考查了向量的加减运算，是基础题．
3．若 （x，﹣1）， （﹣3，2），且 ∥ ，则 x 的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
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【分析】若两个向量 ∥ ，则 a1b2﹣a2b1＝0，又由向量 （x，﹣1）， （﹣3，2）， 将两个向量的坐标代入可得到一个关于 x 的方程，解方程易得 x 值．
【点评】本题考查产品件数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题．
6．已知作用在坐标原点的三个力 （3，4）， （2，﹣5），
用在原点的合力
的坐Байду номын сангаас为（ ）
（3，1），则作
A．（8，0）
B．（8，8）
C．（﹣2，0）
【分析】根据平面向量的坐标运算公式，计算即可．
D．（﹣2，8）
（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A．
B．z2＝2i
C．z 的共轭复数为 1+i
D．z 的虚部为﹣1
11．如图，已知点 O 为正六边形 ABCDEF 中心，下列结论中正确的是（ ）
A． 与 是共线向量
B．
C．
D．
12．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
A．2
B．4
C．8
D．16
8．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且 重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则 被称为欧拉线定理．设点 O，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且 M 为 BC 中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
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对于 D 由正弦定理可得 csinA＝asinC，b＝csinA+asinC＝2csinA 不一定成立．
解：对于 A，由正弦定理
，可得 asinB＝bsinA，故成立；
对于 B，由于 sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB，根据正弦定理可得 a＝bcosC+ccosB， 故成立； 对于 C，由余弦定理可得 a2+b2﹣c2＝2abcosC，故成立； 对于 D，由正弦定理可得 csinA＝asinC，可得：b＝csinA+asinC＝2csinA 不一定成立． 综上可得：只有 ABC 成立． 故选：ABC． 【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力，属于基础题．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．30
B．40
C．60
D．80
6．已知作用在坐标原点的三个力 （3，4）， （2，﹣5），
用在原点的合力
的坐标为（ ）
（3，1），则作
A．（8，0）
B．（8，8）
C．（﹣2，0）
D．（﹣2，8）
7．已知 a∈C，关于 x 的方程
有实根，则|a|的最小值是（ ）
B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°
D．a＝7，b＝5，A＝80°
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知 （1，2）， （﹣2，1），则
＝
．
的坐标为
，（ ）•（ ）
14．数据：18，26，27，28，30，32，34，40 的 75%分位数为
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
5．某工厂抽取 100 件产品测其重量（单位：kg）．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数 据的分组依据依次为[40，40，5），[40，5，41），[41，41，5），[41，5，42），据此 绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41）内的产品件数为（ ）
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列关系式中，一定成立的有 （）
A．asinB＝bsinA
B．a＝bcosC+ccosB
，求 a 的
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．为了了解某校初三年级 500 名学生的体质情况，随机抽查了 10 名学生，测试 1min 仰 卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下：
30 35 42 33 34 36 34 37 29 40
（1）这 10 名学生的平均成绩 是多少？标准差 s 是多少？
8．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且 重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则 被称为欧拉线定理．设点 O，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且 M 为 BC 中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运 算法则进行计算即可得解．
C．a2+b2﹣c2＝2abcosC
D．b＝csinA+asinC
【分析】对于 A 由正弦定理可得 asinB＝bsinA．即可判断是否成立；
对于 B 由于 sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB，根据正弦定理可得 a＝bcosC+ccosB， 即可判断是否成立；
对于 C 由余弦定理可得：a2+b2﹣c2＝2abcosC；即可判断是否成立；
A．30
B．40
C．60
D．80
【分析】由频率分布直方图得重量在[40，41）内的频率为 0.4．由此能求出重量在[40， 41）内的产品件数．
解：由频率分布直方图得：
重量在[40，41）内的频率为：（0.1+0.7）×0.5＝0.4．
∴重量在[40，41）内的产品件数为 0.4×100＝40．
故选：B．
5．某工厂抽取 100 件产品测其重量（单位：kg）．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数 7 / 21
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据的分组依据依次为[40，40，5），[40，5，41），[41，41，5），[41，5，42），据此 绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41）内的产品件数为（ ）
9．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列关系式中，一定成立的有 （）
A．asinB＝bsinA
B．a＝bcosC+ccosB
C．a2+b2﹣c2＝2abcosC
D．b＝csinA+asinC
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
10．下面是关于复数
解：∵向量 （x，﹣1）， （﹣3，2），且 ∥ ，
2x﹣3＝0
x
故选：B．
【点评】本题考查两个向量平行的充要条件的坐标形式，要记住两个向量平行的坐标形 式的充要条件，注意数字的运算，本题是一个基础题．
4．2020 年 2 月 8 日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组 合隋文静/韩聪以总分 217.51 分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠 军．中国另一对组合彭程/金杨以 213.29 分摘得银牌．颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗 升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有 9 位评委进行评分，首先这 9 位评委给 出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从 9 个原始成绩中去掉一个最高分、一 个最低分，得到 7 个有效评分，7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 （）
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
【分析】根据题意，由平均数、方差、中位数、极差的统计意义分析可得答案．
解：根据题意，从 9 个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到 7 个有效评分，
其中位数是不变的；
故选：A．
【点评】本题考查平均数、方差、中位数、极差的统计意义，注意平均数、方差、中位 数、极差的定义．