渗流模型的计算机模拟设计

图2－6 Al膜的随机电阻模拟[6]

所示，可以将Al膜用随机电阻模拟，每个晶格用一个电阻代表，当电流通过时，只要存在一个通路就会有电流通过，可以将金属定向移动后留下空缺的过程认为是电阻的失效，随着电迁移的增加，电阻不断失效，当到一定程度后，突

图 2-1 V 图模型

2.3.2 LV 图简介

为了更好的模拟实际的情况,对于模型进行了大量的改进,即加入了权重的概念。Laguerre-Voronoi 图（LV 图）就是一种施加权重的V 图。LV 图具体定义：设在N 维空间上有由n 个球组成的集合G ，G ＝{c 1,c 2,…,c n },设r i ,p i =（k 1i ,k 2i , …,k N i ）,分别是球c i 的半径和球心坐标,定义空间一点p 到球c i 的距离d L (p,c i )为d L (p,c i )2=d(p,p i )2 –r i 2 ,于是可将满足R L （G,c i ）＝{P ∈R N | d(p,p i )< d(p,p j ),|j ≠i}的空间区域R L （G,c 2）称为球c i 的Laguerre-Voronoi 区域(LV 区域), 这样，N 维空间被划分为N 个区域和R L （G,c 1）,R L （G,c 2）,…,R L （G,c n ）相应的边界，如此构成了LV 图，或称power 图。

图2-2 二维下的LV和LD图

中，给出了胞数为4096个胞的LV图形。

图2－3 实验所用的LV图（胞数为4096）伪随机数的产生

随机数生成的方法

图3－4 2D下不同规模的逾渗值

的增大呈现减小的趋势，这也很好理解，在较小规模下p值分布更加不均匀可能添加一个座就发生逾渗也可能要添加很多，稳定性不好。举例来说，像一个2×2的正方形格子组成的系统，要发生逾渗时，至少要有两个座被占据，而当三个座被占据时一定发生逾渗，两个被占据时逾渗值是0.5而三个座被占据时逾渗值是0.75，p的分布较广。

图3－4是本文将这些均值和方差用图画出来，得到一个更直观的理解。其中红线联接的是均值，蓝色的虚线是平均值 方差的范围。横坐标表示规模，纵轴表示逾渗值。

表3－2 不同规模3D下的逾渗值p的平均值和方差

N 平均值方差

1024 0．2113 0．0291

2048 0．2018 0．1945

图3－5 3 D下的逾渗值分布

图3－7 2D逾渗值计算的时间复杂度图3－8 3D逾渗值计算的时间复杂度

图4－1 R.ziff作出的4种Rl（p）图形[8]

图4－2 一次试验的Rl（p）图形

在图4－3中，本文给出了胞数是1024时的Rl（n）的图形，可以看到这时

图4－3 胞数是1024下的Rl（n）图形

在图4－4中给出了Rl（p）的图形，可以看出经过转换之后得到了一个更加平滑的图形，利用该图形的特性，峰值所对应的横坐标就是该规模下的逾渗值，本文利用matlab自带的max函数就可以找到对应的最大值的横坐标的位置。经计算这个规模下的逾渗值是0.5004(5)。

需要指出的是，这种转换并非是容易做到的，这里存在一个问题，看式（2）可知，在p较小且n较大时总有p n或者（1－p）N－n会非常非常小，以致于超过了

图4－4 在胞数是1024下的Rl （p ）图形

max max 1(,1,),1(,,)11(,1,),N n p B N n p n n n p B N n p n p B N n p n n N n p -+⎧->⎪-⎪=⎨+-⎪+<⎪-⎩

（4－3） 所以此时所有的B （N,n,p ）都变成一个有限大小的数值，最后本文得到的Rl （p ）值实际上是一个相对的数值，应该得到的是Rl （p ）除以B （N,nmax,p ）的数值。本文对于Rl （p ）的真实值并不关心，重要的是在整体都减小B （N,nmax,p ）倍时并不影响图形的形状以及峰值的位置，本文始终关心的是峰值对应的横坐标，这才是全文的核心所在。

在图4－5中本文给出了2D 下胞数分别为1024，2048，4096，8192，16384下画

图4－5 不同规模下的Rl(p)图形

下面本文给出3D的Rl（p）图形，二者很相似，但在原理上有一点区别：就是2D是记录的当x方向第一次发生逾渗时的座的占据百分数以及两个方向都发生逾渗时的座占据概率分别存入两个数组中，并以此来画出Rl（n）和Rl（p）的图形，而3D下是基于本文记录了在x，y轴向上均发生逾渗时的座占据概率以及在三个方向上都发生逾渗的概率来画出Rl（p）的图形。这事实上是两种不

图4－6 3D下不同规模的Rl(p)图形

图4－7 3D1024规模下的Rl（p）图图4－8 3D2048规模下的Rl（p）图

图4－9 3D4096规模下的Rl（p）图图4－10 3D8192规模下的Rl（p）图图4－11 3D16384规模下的Rl（p）图

图4-12 2D下Rl h（p）图形4.5 逾渗值方差的计算

图4－13 正则规则下2D逾渗信息

较稳定，上下浮动不大，这可能是由于计算次数少所造成的有限规模，在与Ziff 的信中，他也提到要彻底消除这种影响要计算10^8以上，而3D下的逾渗值有减小的趋势，随着LV图生成的程序包的优化，可以统计更多规模下的逾渗值，3D的逾渗值应是逐渐减小然后更加平稳的接近某一个值，而这就是在胞数为无穷大下的逾渗值。

图4－15 2D下（胞数为16384）最大集团大小曲线

就是本文这个模型的最大集团。事实上整个2D的模拟过程几乎就是薄膜生长的过程，模型中首先是形成小的集团，然后集团不断长大，在逾渗值附近时，会有大量集团联并成一个大的集团。正如同薄膜生长的过程一样，首先是晶核形成，成束的小晶核形成，随后是岛生长，最后是岛汇集合并形成固态的薄层并延伸铺满衬底表面，也就是形成连续膜的过程。