高三基础知识天天练2-4. 数学 数学doc人教版

第2模块 第4节

[知能演练]

一、选择题 1．函数y ＝2

x

的值域是

( )

A ．[0，＋∞)

B ．[1，＋∞)

C ．(－∞，＋∞)

D ．[2，＋∞)

解析：由于y ＝2x

中x ≥0，所以y ＝2x ≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．

答案：B

2．已知函数f (x )＝1＋22x －1

，若f (lg5－

13)＝k ，则f (lg51

3)＝

( )

A ．k B.1k C ．－k

D ．－1k

解析：容易判断函数f (x )为奇函数，又因为lg5－

13＝－lg513，所以f (lg51

3)＝－f (lg5－

1

3)＝－k .

答案：C

3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是

( )

A ．(－1，＋∞)

B ．(－∞，1)

C ．(－1,1)

D ．(0,2)

解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0

答案：C

4．函数y ＝2|log 2x |的图象大致是

( )

解析：y ＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧

1x (0

x (x >1)，故应选C.

答案：C 二、填空题

5．函数y ＝(1

5

)x －3x 在区间[－1,1]上的最大值等于________．

解析：由y ＝(15)x 是减函数，y ＝3x 是增函数，可知y ＝(1

5)x －3x 是减函数，故当x ＝－1

时函数有最大值14

3

.

答案：143

6．若函数y ＝lg(4－a ·2x )在(－∞，1]上有意义，则实数a 的取值范围是________． 解析：依题意有4－a ·2x >0在(－∞，1]上恒成立，即4>a ·2x ，a <42x ，g (x )＝42x 在(－∞，

1]上单调递减，所以g (x )＝4

2

x 的最小值等于g (1)＝2，因此实数a 的取值范围是a <2.

答案：(－∞，2) 三、解答题

7．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值． 解：由3－4x ＋x 2>0得x >3或x <1， ∴M ＝{x |x >3或x <1}，

f (x )＝－3×22x ＋2x ＋2＝－3(2x －16)2＋25

12.

∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x <2，

∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为25

12，f (x )没有最小值．

8．已知函数f (x )＝a a 2－1(a x －a －

x )(a >0，且a ≠1)．

(1)判断f (x )的单调性；

(2)验证性质f (－x )＝－f (x )，当x ∈(－1,1)时，并应用该性质求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的范围．

解：(1)设x 1

ax 1＋x 2>0.

若a >1，则ax 1

a 2－1

>0，

所以f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－1(ax 1－ax 2)(1＋1

ax 1＋x 2)<0，

即f (x 1)ax 2，a

a 2

－1

<0， f (x 1)－f (x 2)＝

a a 2

－1(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1＋x 2

)<0， 即f (x 1)

(a x －a －

x )，

则f (－x )＝a a 2－1(a －

x －a x )，

显然f (－x )＝－f (x )． f (1－m )＋f (1－m 2)<0，

即f (1－m )<－f (1－m 2)⇔f (1－m )

[高考·模拟·预测]

1．若0

( )

A ．3y <3x

B ．log x 3

C ．log 4x

D ．(14)x <(1

4

)y

解析：由指数函数的性质易知A 、D 错误，而log x 3＝1log 3x ，log y 3＝1

log 3y

，显然应有log x 3>log y 3，只有选项C 正确．

答案：C

2．若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.5

2 B ．

3 C.72

D ．4

解析：依题意：2x 1－

1＝52－x 1，log 2(x 2－1)＝52－x 2，

∴2x 1－1＝32－(x 1－1)，log 2(x 2－1)＝3

2－(x 2－1)．

又函数y 1＝2x 与y 2＝log 2x 互为反函数， ∴x 1－1＋x 2－1＝32，即x 1＋x 2＝32＋2＝7

2.故选C.

答案：C 3．已知a ＝5－1

2

，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．

解析：∵a ＝5－1

2

∈(0,1)，故a m >a n ⇒m

4．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，01.