圆周率π的近似计算方法

圆周率π的近似计算方法
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众所周知，圆周率π是平面上圆的周长与直径之比，它等于3.141 592 6…。

古代人把3作为它的近似值。

π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:"历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志."古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.
古人计算圆周率，一般是用割圆法（不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长）。

即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。

公元263年，刘徽通过提出著名的割圆术，得出π ＝3.14，通常称为"徽率"，他指出这是不足近似值。

割圆术用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π ＝3927/1250 ＝3.1416。

而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。

后来祖冲之通过割圆法求得圆周率3.1415926 ＜π ＜ 3.1415927 ，得到π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。

他算出的π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。

以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。

我们再回头看一下国外取得的成果。

1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出π= 3927/1250 = 3.1416。

1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出π 值，他的结果是：π＝3.14159265358979325 有十七位准确数字。

这是国外第一次打破祖冲之的记录。

在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。

他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。

其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法，这样从3、4出发，六次加成到约率，第七次出现25／8，就近与其紧邻的22／7加成，得47／15，依次类推，只要加成23次就得到密率。

16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算π 近似值，用6×216正边形，推算出精确到9位小数的π 值。

17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。

他从正方形开始将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来的，一直推导出了
有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位。

为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率π 被称为"鲁道夫数"。

但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。

17世纪出现的数学分析使π的计算历史也随之进入了一个新的阶段。

这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算π 。

在1593
年，韦达给出这一不寻常的公式是π的最早分析表达式。

甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。

它表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出π值。

接着有多种表达式出现。

如沃利斯
1650年给出：
一些计算圆周率的经典的常用公式：
梅钦公式
1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。

这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。

1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：
这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。

1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。

Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：
Bailey-Borwein-Plouffe算法
这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。

它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。

这为圆周率的分布式计算提供了可行性。

1997年，Fabrice Bellard 找到了一个比BBP快40％的公式
现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。

如果用Ludolph Van Ceulen 算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。

美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值："十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。

"
另外值得一提的是π的其他计算方法。

在1777年出版的《或然性算术实验》一书中，蒲丰提出了用实验方法计算π 。

这个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀，长度为d的细针，并在一张白纸上画上一组间距为l的平行线（方便起见，常取l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。

这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，于是就可以得到π 的近似值。

因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为p = 2l/πd。

利用这一公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。

在一次实验中，他选取l = d/2，然后投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为2212/704 = 3.142。

当实验中投的次数相当多时，就可以得到π 的更精确的值。

1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到π 的近似值为3.1596。

目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼。

在1901年，他重复这项实验，作了3408次投针，求得π 的近似值为3.1415929，这个结果是如此准确，以致于很多人怀疑其实验的真伪。

如美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰就对此提出过有力的质疑。

不过，蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的π 值。

蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。

计算π 的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。

在用概率方法计算π 值中还要提到的是：R·查特在1904年发现，两个随意写出的数中，互素的概率为6／π2。

1995年4月英国《自然》杂志刊登文章，介绍英国伯明翰市阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特·马修斯，如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率。

马修斯从100颗最亮的星星中随意选取一对又一对进行分析，计算它们位置之间的角距。

他检查了100万对因子，据此求得π 的值约为3.12772。

这个值与真值相对误差不超过5％。

通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π ，这充分显示了数学方法的奇异美。