不定方程解法大全

不定方程解法大全

国家公务员考试的《行测职业能力测验》包括五大部分内容：言语理解与表达、数量关系、判断推理、常识判断和资料分析，主要考察考生是否具有从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力。

不定方程是公务员考试行测试卷当中最为常见的一种题型，也是考生在备考过程中重点关注的内容。所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数，例如一个方程两个未知数、两个方程三个未知数等等。这样的方程我们直接解是解不出来的，需要借助一些其他的方法来选出正确答案，常见的解决不定方程的方法包括：尾数法、奇偶性、质合性、整除特性、代入排除等方法，

(一)尾数法

绝大多数题目描述的量是整数，可以通过这些数的尾数的特点选出正确选项。

例1 .超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?

A.3

B.4

C.7

D.13

【解析】选D。设有x个大包装盒，y个小包装盒，则12x+5y=99，其中5y的尾数应为5或0，但是12x为偶数，99为奇数，所以5y必为奇数，这样就确定了5y的尾数一定为5，那么12x就是尾数为4的数，所以x可能为2或7，对应的y等于15或3，根据“共用了十多个盒子刚好装完”，排除x=7，y=3。即x=2，y=15，15—2=13。

总结：可用尾数法的不定方程问题的题型特点：当未知数的系数中出现了5的倍数，比如20x、35y、105z时，可能会用到尾数法。因为如果是10的倍数，其尾数必然是0，如果是5的倍数，其尾数必然是5或0，这样尾数就容易确定，范围比较小。

(二)奇偶性和质合性

奇偶性和质合性的运用也是在题干中描述的量是整数的前提下。

例2.某儿童艺术培训中心有5名钢琴老师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学员数量都是质数，后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?

A.36

B.37

C.39

D.41

【解析】选D。设每名钢琴老师和每名拉丁舞教师分别带x、y名学生。则5x+6y=76，其中x、y均是质数，而76为偶数，6y也是偶数，故5x是偶数，故x=2，解得y=11，所以4×2+3×11=41,选D。

总结：如果题干中涉及“质数”这个词，说明本题考察质合数的知识点，而质合数一般会和奇偶数结合在一起，而涉及这两个知识点就要想到2，因为2是唯一的一个偶质数。

(三)整除特性

数的整除特性在行测中应用得最为广泛，尤其是在不定方程中。

例3.某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多几人买了水饺?

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选C。设买盖饭、水饺、面条的人数分别为x、y、z，则可以列出两个方程：x+y+z=6,15x+7y+9z=60，将第二个方程变形为7y=60-15x-9z=3(20-5x-3z)，故7y可以被3整数，即y可以被3整除，选择C。

总结：当未知数的系数中出现了几个数同时是某一个数的倍数时，就要考虑用整除特性来解。

(四)代入排除

例4.某汽车厂商生产甲、乙、丙三种车型，其中乙车型产量的3倍与丙型产量的6倍之和等于甲型产量的4倍，甲型产量与乙型产量的2倍之和等于丙型产量的7倍。则甲、乙、丙三型产量之比为?

A.5:4:3

B.4:3:2

C.4:2:1

D.3:2:1

【解析】选D。3乙+6丙=4甲;甲+2乙=7丙‚，根据选项特点：甲乙之比均不同，故消掉丙得甲乙的关系：33乙=22甲，所以甲:乙=3:2。故D