基于matlab的Lorenz系统的仿真研究

MATLAB
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程
期
末
作
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以下报告完成的是大作业第七题：
7. Simulink仿真在高等数学课程中的应用
21130223 宋沛儒
基于MATLAB/Simulink 对Lorenz 系统仿真研究
21130223 宋沛儒
1.引言
1963年Lorenz 通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子—Lorenz 吸引子[1] ，Lorenz 通过计算机模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。

Lorenz 揭示了一系列混沌运动的基本特征，成为后人研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。

Lorenz 系统方程如下：
(),
,.x a y x y cx y xz z xy bz =-⎧⎪
=--⎨⎪=-⎩
（1）
其中，a ，b ，c 为正的实常数。

本人利用了数学工具matlab ，对Lorenz 系统进行了仿真研究，加深了对其的认知。

2.matlab 求解Lorenz 系统
首先创建文件“Lorenz.m”定义Lorenz 方程，假设固定a=10，b=2.6667，c=30,程序如下：
function dx=Lorenz(t,x)
dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)]; end
然后利用ode45（Runge-Kutta 算法）命令求解Lorenz 方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1,程序如下：
>> clf
>> x0=[0.1,0.1,0.1];
>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);
>> subplot(2,2,1)
>> plot(x(:,1),x(:,3))
>> title('(a)')
>> subplot(2,2,2)
>> plot(x(:,2),x(:,3))
>> title('(b)')
>> subplot(2,2,3)
>> plot(x(:,1),x(:,2))
>> title('(c)')
>> subplot(2,2,4)
>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
>> title('(d)')
运行后，得如下波形：
图中,（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，（b）为其在y-z平面上的投影，（c）为其在x-y平面上的投影，（d）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。

四张图都类似于“8”字形。

3. Lorenz系统对初值的敏感性
此时因为固定参数a=10，b=2.6667，c=30时，为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很小的差异会引起系统的大变化。

例如在上例
中取初值x=z=0.1，y=0.11，绘制此时混沌吸引子在x-z 上的投影，并与x=y=z=0.1在同一张图比较。

（初值为x=y=z=0.1时投影用蓝色，初值为x=z=0.1，y=0.11时投影用红色）程序如下：
>> clf
>> x0=[0.1,0.1,0.1];
>> [t,x]=ode45('ex_lorenz',[0,100],x0); >> plot(x(:,1),x(:,3)) >> hold on
>> x0=[0.1,0.11,0.1];
>> [t,x]=ode45('ex_lorenz',[0,100],x0); >> plot(x(:,1),x(:,3),'r*')
得到图形如下：
可以看到初值y 仅变化0.01，图中红色与蓝色不重合出明显。

证明了Lorenz 系统的敏感性。

4.matlab 对Lorenz 系统的仿真
由文献[1]可知在上述方程组（1）中，令0===z y x
，当c >1时，系统有三个平衡点：)0,0,0(0S ， )1,)1(,)1((------c c b c b S ，)1,)1(,)1((---+c c b c b S 。

当c =1时，系统在原点失去稳定。

当c <1时，原点是唯一的平衡点并且是汇点。

利用matlab 的Simulink 功能，搭建Lorenz 系统模型，并探讨
参数对Lorenz系统的影响。

仿真模型如图：
在仿真模型中，取参数a=10，b=8/3，观察参数c取不同值时系统的运行状态。

根据文献[1]的分析，
当参数0<c<1时，只有一个稳定平衡点O（0,0,0）。

取初值为
x=y=z=2,参数c=0.5，仿真停止时间取为50，运行仿真。

得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：
50
100
150
00.511.522.53
可见，系统很快地趋向并稳定在O （0,0,0），验证了前面所述。

当c>1时，系统有三个平衡点：原点O(0,0,0)和S+，S-。

此时原点的特征值中有正值，因此原点为鞍点，是不稳定平衡点。

当1<c<13.926时，不稳定流形最终螺旋地趋于与之同侧的平衡点S+或S-；当c=13.926时，不稳定流形刚好无限趋于原点O ，即出现同宿轨；当c>13.926时，不稳定流形将绕到另一侧，最终趋于与之异侧的S+或S-。

可见，c 是一个同宿分岔点。

因此，取初值x=y=z=2，c=8，仿真
停止时间为50，运行仿真，得到x 、y 、z 的相图以及x-z ，y-z ，x-y 的图形依次如下所示：
0501001502002503003502
34567150200250300350400450
2
34567
0100200300400500600700
24681012
可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点S+或S-。

取初值x=y=z=2，c=18，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：
可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点S+或S-。

为了观察c=13.926的同宿分岔点现象，在c=13.926附近不断尝试，最终在c=15.39682328时观察到比较明显的过渡迹象。

取初值x=y=z=2，c=15.39682328，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：
500
1000
1500
2000
2500
3000
05101520253035404550
可以看到，虽然最终轨线趋向于与之同侧的平衡点S+或S-，但有着明显的过渡迹象。

可以推测，当c 取15.39682328到15.39682330间的某一个数值时，会出现同宿轨现象。

根据文献[1]，当c>24.74时，S+与S-变为不稳定的，也就是说系统进入“混沌区”。

此时三个平衡点O 、S+、S-都不稳定。

取初值
x=y=z=2，c=30，仿真停止时间为100，运行仿真，得到x 、y 、z 的相图以及x-z ，y-z ，x-y 的图形依次如下所示： 0500100015002000250030003500400045005000-2002040
60
80
1000500100015002000250030003500400045005000-40-20
20
40
60
80
100
0500100015002000250030003500400045005000
010
20
30
40
50
60
70
80
90
100
可以看到，上述图形中，轨线绕着S+若干圈后，又绕着S-若干圈，如此循环，符合文献[1]的描述。

为了观察由系统趋向于与之异侧的平衡点向系统的混沌状态的
过渡现象，在c=24.74附近反复不断尝试，最终发现当c=23.299时，可以观察到明显的过渡迹象。

因此，取初值x=y=z=2，c=23.299，仿真停止时间为100，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：
可以看到，在上图中，轨线看起来稳定在一条围绕与之异侧的平
衡点的轨道上。

仅从仿真运行的这段时间，无法判断系统是处于混沌
状态还是会趋向于与之异侧的平衡点，可以看出明显的过渡迹象。

5.结论
本文初步了解了Lorenz系统，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真结果，通
过使用matlab的simulink对Lorenz系统仿真，直观地观察到了Lorenz系统的运行轨迹，加深了对Lorenz方程和混沌现象的理解。

参考文献：
[1]刘崇新.非线性电路理论及应用[M].西安：西安交通大学出版,2007.201-208
[2]赖宏慧.基于matlab的Lorenz系统模拟实验仿真[J].科技信息.2010,17:18-19
[3]同济大学数学系.《高等数学》.第六版.高等教育出版社，2007.6。