第十一讲_三要素法、阶跃响应和二阶电路

t=0+时的电路图 (1/2+1/3+1/3)un1=5/2-3/3 i(0+) = (5-un1)/2 = 13/7 A t=∞时的电路图
u C (t ) 3 6e
t
0.084
0.084
t0
t0
i (t ) 1 (5 / 7) e
t

S 1
独立初始值的求解
2Ω 5V + 2 i(t) + 5V 3Ω + uC 3Ω 0.02F
R
在换路后的电 路中进行求解
u C (t ) 3 6e
i (0+) 13/7 uC(∞) 3 i(∞) 1 0
t
0.084
t0
uC(t) i(t)
t
uC(0+) - 3
i (t ) 1 (6 / 7) e
t
0.084
t0
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练 习 图 示 电 路 ， IS=10mA ， R1=20kΩ ， R2=5kΩ ， C=100μF 。开关 S 闭合之前电路已处于稳态，在 t=0 时 开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的uC(t)。 （换路前电路-电容开路） 解： 求独立初始值
u2 ( ) US2 6V
t= t=0_ t =0 ∞时等效电路图 时等效电路图 +时等效电路图
iL (0 ) 1A iL () 2A 已知R =6Ω，R =3Ω，L=1H 1 2 u2 (0 ) 3V u2 () 6V

求时间常数τ
s
R R2 3
L 1 s R 3
解 t=0-时的电路图 由换路定理
3 uC (0 ) 5 3V 3 2
t=0 t= ∞+
t=0-
uC (0 ) uC (0 ) 3V
i(∞) =5 /(2+3) = 1 A uC(∞) =3 i(∞) = 3 V 时间常数 τ＝RC＝[(2//3)+3]×0.02=0.084 s

t t0

t t0
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三要素计算步骤（归纳）
1)初始值f (0+) 步骤（1）画t=0-等效电路，计算uC(0-)和iL(0-)， 如何得到? （2）换路定理得 uC(0+) = uC(0-)， iL(0+) = iL(0-) （3）画t=0+等效电路，求其它电压、电流的初始值。 2)稳态值f (∞)
t

三要素

三要素公式一般形式
t
f ( t ) f () f (0 ) f () e
f(0+) f(∞) 初始值 稳态值 时间常数

t0
τ
RC电路 τ＝RC RL电路 τ＝L/R

三要素公式说明
f ( t ) f () f (0 ) f () e
2Ω i(t) 5V
+
3Ω
+
uC 3Ω 0.02F
原电路 方法 在 t<0 的电路中令 t=0-时的电路图 C开路 L短路

t<0
2Ω 5V
+
3Ω
+
3Ω
在t=0-的电路中求 uc(0-) = 电容的开路电压 iL(0-) = 电感的短路电流 uc(0+) = uc(0-) 由换路定则 iL(0+) = iL(0-)
完全解： 特解：
R C
uc (t ) = Ke + A
A=US K=uc(0+)-Us
t
-
t
由初始条件 又 uc(∞)=Us
K= uc(0+)- uc(∞)
uc (t ) uc (0 ) uc () e

uc ()
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三要素公式
uC ( t ) uC () uC (0 ) uC () e
2Ω i(t) 5V
3Ω
+
uC 3Ω 0.02F
t>0
2Ω
+
方法
C开路 在 t>0 的电路中令 L短路 t=∞时的电路图

3Ω + uC(∞)
i(∞) 3Ω
5V

在 t=∞ 电路中所求各量均 为稳态值 问题 稳态值和独立初始值的求解 都需将C开路或L短路，二者有何 不同？
t=∞
在换路后的电 路中进行求解

t

t0


适用范围：直流激励下一阶电路中任意处的电流 和电压； 三要素：f (0+)表示该响应（电压或电流）的初 始值，f(∞) 表示响应的稳态值，τ表示电路的时 间常数。 三要素法不仅可以求全响应，也可以求零输入响 应和零状态响应分量。 若初始时刻为t = t0，则三要素公式应改为
f ( t ) f ( ) f ( t 0 ) f ( ) e
uC(0-)

t=0在换路前的电 路中进行求解
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非独立初始值的求解
2Ω S 1 5V + 2 i(t) + 5V 3Ω + uC 3Ω 0.02F + _
2Ω i(t) 5V
3Ω
+
uC 3Ω 0.02F
t>0
2Ω
+
3Ω i(0+) 3Ω

方法
在 t>0 的电路中
t
τ= L/R
t 0
uL (t ) [uL (0 ) uL ()]e uL () 6 e t (V )


t
i ( t ) [i (0 ) i ( )]e i ( ) e t ( A)

t
t0
t0
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例4 如图所示电路，US =5V，IS =2A，R1 =1Ω， R2 =R3 = 4Ω，C=0.5F，在t<0时开关S位于“1”，电路 已处于稳态。t = 0时开关S由“1”闭合到“2”，经过2s 后，开关S又由“2”闭合到“3”。求t≥0时的电压uC(t)。
例5 如图( a)所示电路，在t<0时开关K是断开的，电路 处于稳态。t=0时开关K闭合。求t≥0时的电流i(t)。
i1 uC
2Ω
i2 2Ω i
K
2Ω
2Ω i1
i2 2Ω
2H
2Ω
1F
iL
2H
1Ω
12V
1F
iL
1Ω
12V
(a)
(b)
(c)
解 分析 开关K闭合后电路变为两个一阶电路，先 利用三要素法分别求出两个一阶电路的电流i1(t)和 i2(t)，然后利用KCL求得i(t)= i1(t)+i2(t)。

R1 + Us1 -
R2 L
+ u2 iL
+ Us2 -
写iL和u2
iL 2 1 2 e 3t 2 e 3t A
u 2 6 3 6e 3t 6 3e 3t V
t0
t0
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例3 如图(a)所示电路，IS = 3A，US = 18V， R1 = 3Ω， R2 = 6Ω，L=2H，在t < 0时电路已处于稳态，当t = 0时 开关S闭合，求t≥0时的iL(t)、uL(t)和i (t)。 解： 求独立初始值 iL(0+) = iL(0-) = US / R1 = 6A iL (0 )
求稳态值 uL(∞) = 0， i(∞) = 0 iL(∞) = 18/3 + 3 = 9A i1
求时间常数τ
R= 3//6 = 2Ω τ = 2/2 = 1s 以三要素公式写表达式
iL (t ) [iL(0 ) iL ()]e iL() (6 9)et 9 9 3et ( A)

求非独立初始值
画t=0+等效电路如图(b)
18 1 1 u L (0 ) 6 3 3 3 6
得uL(0+) = 6V， i(0+) = uL(0+) /6=1A
IS = 3A，US = 18V uL(0+) = 6V， i(0+) =1A， iL(0+) =6A

例1 图示电路，t=0时开关由“1”切换到“2”，已知开 关动作前电路处于稳定状态，求t≥0的uC(t)、 i(t)，并 画出相应的 变化曲线。
2Ω 3Ω i(t) + 5V + uC 3Ω 0.02F 2Ω 1 3Ω + + 0.02F + + 3V u ( ∞)) C R uu 3Ω CC (0 u C 0.02F + S 1 5V + 2 + 5V 5V + (+ t) ii(0 (i∞
5ห้องสมุดไป่ตู้
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时间常数的求解
2Ω S 1 5V + 2 i(t) + 5V 3Ω + uC 3Ω 0.02F +
2Ω i(t) 5V
_
3Ω
+
uC 3Ω 0.02F
t>0
2Ω 3Ω 3Ω
方法 在 t>0 的电路中，求从动 方法 态元件C或L两端看进去的 戴维南或诺顿等效电路的 等效电阻R 根据不同电路求解相应 的时间常数 RC电路 τ＝RC RL电路 τ＝L/R
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机电工程与自动化学院
《电 工 与 电 路 基 础》
第十一讲
第四章
三要素法、阶跃响应和二阶电路
4.5 三要素法
如图所示电路，电容电压初始值为uC（0+），开 关在t=0时合上，则电容电压的微分方程为：
K + uR + uC
+ Us -
duC 1 U uC s dt RC
(3)当t>2s时，开关S闭合至“3”，由换路定律有 uC(2+)= uC(2-)=1.47V uC(∞) = (R2//R3)Is = 2×2 = 4(V) τ2= (R2//R3)C =1（s） uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ，t ≥2s
幻灯片 62
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如何得到?
换路后 t→∞时，电路进入直流稳态。 步骤：（1）换路后，电容开路，电感短路，画出 稳态等效电阻电路。 （2）稳态值f (∞) 。
3) 时间常数τ
对于一阶RC电路， τ= RC； 对于一阶RL电路， τ= L /R； R是换路后从动态元件C或L看进去的戴维南等效内阻。
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uC (0 ) uC (0 ) I S R1 10 10 3 20 103 200V

求稳态值 （换路后电路-电容开路）
s + ( ∞) u uc c c(0-) R
uC ( ) I S
R1 R2 R1 R2
3
IS
R1
C
20 5 103 10 10 20 5 40V
5V

3V
+
C 用数值为uC(0+)的电压源置换 L 用数值为iL(0+)的电流源置换 t=0+时的电路图 在 t=0+ 电路中所求解的各量 均为非独立的初始值
t=0+
在换路后的电 路中进行求解

稳态值的求解
2Ω S 1 5V + 2 i(t) + 5V 3Ω + uC 3Ω 0.02F + _
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幻灯片 47
已知IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF
s
uC () = 40V uC (0+ ) = 200V

IS
R1
求时间常数τ
C +
R
20 5 R1 R2 4k R1 R2 20 5
3 6
uc R2
RC 4 10 100 10 0.4s
解 (1)首先求出uC(0- )。S接于1，电路直流稳态。
uC (0 ) R2 4 US 5 4V R1 R2 1 4
已知US =5V，IS =2A，R1 =1Ω，R2 =R3 = 4Ω，C=0.5F (2)当0<t<2s时，开关S接于“2”， 此时电路处于零输入状态 τ1= R2C = 4×0.5 = 2(s)； uC(0+) = uC(0-)= 4V； uC(t) = 4e-t/2(V) ,0< t <2s uC(2-) =4 e-1 = 1.47(V) uC(0-)= 4V
i1 uC
2Ω
i2 2Ω i
K
2Ω
1F
iL
2H
1Ω
12V
(a)
i1
2Ω
i2 2 Ω i

求独立初始值
U S1 9 1A R1 R2 6 3
i L ( 0 ) iL ( 0 )

s R2 L iL + u2 + Us2 -
求非独立初始值 R1 + Us1 -
u2 (0 ) R2iL (0 ) 3 1 3V

求稳态值 U 6 iL () S2 2A R2 3

IS R1 R2
R
写 u C ( t)
t 0.4
uC (t ) 40 200 40 e
40 160e2.5t V t 0
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例2 图示电路,US1=9V,US2=6V,R1=6Ω,R2=3Ω,L=1H 。开 关 S 闭合之前电路已处于稳态，在 t=0 时开关 S 闭合。试 用三要素法求开关闭合后的iL和u2。 解：