1锐角三角函数

前提是在直角三角形中找边比：
五种表示方式：
sinA、sin56°、sinα（sinβ， sinθ）；sin∠1、sin∠DEF，角的 表示为数或三个大写字母时不能 省略角的符号“∠”；
小资料 三角函数符号最早的使用
sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导
人物，他于1464年完成的著作《论各种三角形》，1533年开始发行，这是一
想一想
当 固定不变时
B
B4 (1)Rt△AB4C4和Rt△ABC
有什么关系? 相似
(2) BC 和 B4C 4 , AC 和 AC4 , AB AB4 AB AB4

A
C4 C
BC AC和
BA4CC44有什么关系?
相等
所在三角形任意两边的比值不变
三角函数的定义 直角三角形中.
B
正弦 sinA
1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”，“cot”， 1“9c4s9c年”至。便今直，到由1于74受8年前，苏经联过教数材学的家影欧响拉的，引我用国后数，学才书逐籍渐中通“用c起o t来”。改 为 “ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号均未变。这就是为什么我国市 场上流行的进口函数计算器上有“tan”而无“tg”按键的缘故。
观察图5-2中的Rt△OPM和 Rt△OP1M1，它们之间有什 么关系？
B P1 P
Rt△OPM∽Rt△OP1M1 O
M
M1
图5-2
A
P1M1
OM1
所以
PM OP
=_O__P_1__,
OM OP
=__O_P_1__,
OM1
PM OM
P1M1 =_O__M_1__,
OM PM
=__P_1_M_1_,
铅
直
高
倾斜角
度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
有什么关系?
相等
C
(3)如果继续改变 B2C2的位置呢?
想一想
B3
当 固定不变时
B
(1)Rt△AB3C3和Rt△ABC 有什么关系? 相似
(2) BC 和 B3C3 , AC 和 AC3 ,
AB
AB3 AB AB3

BC 和
AC
BA3CC33有什么关系?
A
相等
C3
C
(3)如果继续改变B3C3的位置呢?
乐安县谷岗中学 郭文明
探索新知
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度， 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视 线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1.65米．然
后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样 算出的吗？
?
34
1.65米 10米
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）wk.baidu.com
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
∠A的对边 斜边
∠A的 余弦 cosA
对边
∠A的
正切 tanA
A
邻边
C
∠A的邻边 斜边
∠A的对边 ∠A的邻边
1。锐角α 的正弦、余弦、和正切统称∠α 的三角函数
2。锐角的三角函数的值都是正实数，并且 0〈sin α〈1，
0〈cosα〈1 ，
理一理：
我们已经知道，直角三角形ABC可以简 记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称 为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫 ∠A的对边与邻边，用a、b表示.
梯子越陡——倾斜角＿越＿＿大＿＿
倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿越＿大＿＿
倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿越＿小＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度 的比＿越＿大＿＿＿
铅 直 高 度 水平宽度
想一想
B1

A
C1
当 固定不变时
B
(1)Rt△AB1C1和Rt△ABC 有什么关系? 相似
(2) BC 和 B1C1, AC和 AC1,
sin A=
A的对边 斜边
边比斜A边的（邻弦边）， cos A= 同理斜亦边可）
A的对边
tan A= A的邻边
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称
为锐角∠A的三角函数.
(1)sinA 不是一个角 (2)sinA不是 sin与A的乘积 (3) sinA 是一个比值 (4)sinA 没有单位
本纯三角学的书，使三角学脱离天文学，独立成为一门数学分科。 Cosine（余弦）及cotangent（余切）为英国人根日尔首先使用，最早在1620 年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现。 Secant(正割)及tangent（正切）为丹麦数学家托马斯·劳克首创，最早见于
他的《圆几何学》一书中。 Cosecant（余割）一词为锐梯卡斯所创。最早见于他1596年出版的《宫廷乐 章》一书。 1626年，阿尔贝特·格洛德最早推出简写的三角符 号:“sin” ,“tan” ,“sec”.
在直角三角形中，当有一个锐角确定，则所
有含与这个锐角的直角三角形都相似！
想一想 可 一 确 的见 般 定 . 对边的， 地 的于与比,值在锐斜值，R角边也t其△、是A对A的邻 惟边B每C边 一与中一与 确邻，个斜 定边对确边 的的于定、比吗锐的邻值？角值边是A，与唯的其对一每对边确一定个
这作几sin个A比、值co都s A是、锐ta角n ∠A正解，A弦成的也是即正可函对通数的俗直地，角理记
试一试：
例1 在Rt△ABC中，∠C=900，AB=5，AC=3, 求∠B的三个三角函数值。
解:由勾股定理得BC＝4
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
AB
AB1 AB AB1
BC 和
AC
BA1CC11有什么关系?
相等
C
(3)如果改变BC的位置呢?
想一想
B2
当 固定不变时
B (1)Rt△AB2C2和Rt△ABC 有什么关系? 相似
(2) BC 和 B2C 2 , AC 和 AC2 , AB AB2 AB AB2
A
C2
BC AC和
B2C 2 AC 2