高中数学思想方法专题

高中数学思想方法专题（一）

——函数与方程的思想方法

一、知识要点概述

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，高考数学题中函数与方程的思想占较大的比例，题型涉及选择题、填空题、解答题，难度有大有小，且试题中的大部分压轴题都与函数方程有关。

函数的思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决。

方程的思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使获得解决。

二、解题方法指导

运用函数观点解决问题主要从以下四个方面着手：一是根据方程与函数的密切关系，可将二元方程转化为函数来解决；二是根据不等式与函数的密切关系，常将不等式问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质进行处理；三是在解决实际问题中，常涉及到最值问题，通常是通过建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决；四是中学数学中的某些数学模型（如数列的通项或前n项和、含有一个未知量的二项式定理等）可转化为函数问题，利用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决。

运用方程观点解决问题主要从以下四个方面着手：一是把问题中对立的已知与未知通过建立相等关系统一在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元（常称为主元）的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，判断符合哪些方程的性质和特征（如利用根与系数的关系构造方程等），通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是在中学数学中常见数学模型（如函数、曲线等），经常转化为方程问题去解决。

三、范例剖析

例1已知f(t)=log2t,t[ ，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式

2

x2+mx+4>2m+4x恒成立，求x的取值范围。

例2 实数a,b,c,满足(a + c)(a + b + c)<0,证明：(b—c)2>4a(a + b + c).

例3 关于x的方程cos2x—sinx + a=0在（0, ]上有解，求a的取值范围.

例4 设等差数列{an}的前n项和为S n，已知a3=12，S12>0,S13<0.(1)求公差d 的取值范围;(2)指出S1，S2，…S n中哪个值最大，并说明理由。

例5若抛物线y= —x2 + mx —1和两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两上不同的交点，求m的取值范围。

高中数学思想方法专题（二）

——数形结合的思想方法

一、知识要点概述

数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

二、解题方法指导

1．转换数与形的三条途径：

①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：

①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

三、范例剖析

例1已知f(x)是实数集R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调递增函1

2

数，若f( )=0，且△ABC 的内角A 满足f(cosA)<0，则A 的取值范围是（ ）

(A)（ ，π） (B)（ ， ）

(C)（ ， ） (D)（ ， ）∪（ ，π） 例2若不等式 >ax + 的解集是（4,b ），求a,b 的值.

例3 函数f(x)=Msin( x+ )(

>0)在区间[a,b]上是增函数， 且f(a)=—M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(

x+ )在区间(a,b)上（ ） (A)是增函数 (B)是减函数 (C)可以取得最大值M (D)可以取得最小值 例4 函数f(x)=log a (1-x),g(x)=log a (1+x)(a>0且a ≠1),若k

R ，试讨论x 的方

程a g(-x+x+1)=a f(k) —x 的实数解的个数. 高中数学思想方法专题（三）

——分类讨论的思想方法

一、知识要点概述

在研究与解决数学问题时，如果问题不能用同一种方法处理或同一种形式表达、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇癖，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论的思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置。分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查，需要学生有一定的分析能力、一定的分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用。分类讨论的思想的实质就是针对数学问题中各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段.

二、解题方法指导

1．分类讨论的思想方法的步骤：（1）确定标准；（2）合理分类；（3）逐类讨论；（4）归纳总结。

2．简化分类讨论的策略：（1）消去参数；（2）整体换元；（3）变更主元；

（4）考虑反面；（5）整体变形；（6）数形结合；（7）缩小范围等.

3．解题时把好“四关”：

（1）要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；

（2）要找准划分标准，把好“分类关”；

（3）要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；

（4）要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”。 32π2π3π2π32π3π2π32πx ϕϕωωω