高中数学专题练习：分类讨论思想

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高中数学分类讨论思想方法

高中数学分类讨论思想方法高中数学分类讨论思想方法是高中数学教学中一种重要的解题思路和方法。

它通过从不同的角度和不同的方法分析问题，使得解决问题更加全面和灵活。

分类讨论思想方法在高中数学中应用广泛，涉及到许多数学概念和技巧。

下面我将结合具体的例子，对高中数学分类讨论思想方法进行详细的介绍。

首先，分类讨论思想方法的基本思路是将问题分成若干个子问题，每个子问题用不同的方法进行求解或分析。

这样做可以把原本比较复杂的问题转化为几个较简单的子问题，从而更好地理解和解决。

例如，考虑一个常见的二次方程问题：求解方程$x^2-5x+6=0$。

首先，我们可以分类讨论这个方程的根的情况。

根据二次方程的求根公式，方程的根可以分为以下几种情况：1. 当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta=0$，所以方程有两个相等的实根。

根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=x_2=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5}{2}$。

2. 当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta>0$，所以方程有两个不相等的实根。

根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot1}=2$ 和$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot1}=3$。

3. 当 $\Delta<0$ 时，方程没有实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta<0$，所以方程没有实根。

浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用

浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文主要从分类讨论思想在高中数学解题中的应用展开讨论。

首先介绍了分类讨论思想的基本概念，然后详细阐述了其在高中数学解题中的具体应用方法，并通过案例分析进行了说明。

接着探讨了分类讨论思想的优势和局限性。

最后总结了分类讨论思想在高中数学解题中的重要性，并展望了未来研究方向。

通过本文的分析，可以更好地理解分类讨论思想在高中数学解题中的应用，为提高解题效率提供参考。

【关键词】高中数学、分类讨论思想、解题、应用、案例分析、优势、局限性、重要性、未来研究方向。

1. 引言1.1 研究背景在数学解题中，分类讨论思想可以帮助学生将问题分解成更小的子问题，从而更容易解决复杂问题。

通过对问题进行分类讨论，学生可以更清晰地理清问题的关键点，找到解题的思路和方法。

分类讨论思想在高中数学解题中具有重要的意义和作用。

在这样的背景下，对分类讨论思想在高中数学解题中的应用进行深入研究，对于提高学生的数学学习兴趣和能力具有积极的促进作用。

1.2 研究意义分类讨论思想在高中数学解题中的应用具有重要的研究意义。

这种思想能够帮助学生建立起科学的解题思维方式，培养其逻辑思维和分类能力，提高解题效率和准确性。

在数学教学中，分类讨论思想可以帮助学生更深入地理解数学知识，将抽象概念具体化，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习动力。

分类讨论思想还可以帮助学生培养解决问题的能力和分析问题的能力，对于学生的综合素质提升具有积极的促进作用。

通过应用分类讨论思想解决数学问题，学生可以在实践中不断提高自己的思维能力和解决问题的能力，为将来的学习和工作打下良好的基础。

2. 正文2.1 分类讨论思想的基本概念分类讨论思想是一种解决数学问题的方法，通过将问题中各种可能的情况进行分类，然后分别讨论每种情况的解决方法，最终将各种情况的解决方法综合起来得到问题的最终解决方案。

分类讨论思想的基本概念包括以下几个方面：1. 分类：首先要将问题中的各种可能情况进行分类，将问题拆分成若干个子问题，每个子问题都是某一种情况下的特殊情况。

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养1. 引言1.1 引言在高中数学解题教学中，分类讨论思想的培养是非常重要的。

通过分类讨论思想，学生可以更加系统和全面地分析问题，找到解题的关键点，从而提高解题的效率和准确性。

分类讨论思想不仅在数学学科中有着重要的意义，而且也是一种重要的思维方式，可以帮助学生在面对复杂问题时更好地进行分析和解决。

本文将从分类讨论思想的重要性、分类讨论思想的培养方法、实例分析、提高高中数学解题能力的建议以及培养学生分类讨论思想的意义等方面进行探讨。

通过对这些内容的深入研究和分析，希望能够为高中数学教学提供一些新的思路和方法，帮助学生更好地掌握分类讨论思想，提高数学解题能力，培养扎实的数学思维能力。

接下来，我们将详细讨论分类讨论思想在高中数学解题教学中的重要性，以及如何有效地培养学生的分类讨论思想。

让我们一起探究这一重要而有趣的话题！2. 正文2.1 分类讨论思想的重要性分类讨论思想在高中数学解题教学中的重要性不言而喻。

分类讨论思想能够帮助学生在解决数学问题时有条不紊地进行思考和分析，避免盲目性的试错，提高解题效率。

分类讨论思想可以帮助学生培养逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和数学素养，对于学生日后的学业和职业发展都具有积极的意义。

分类讨论思想还可以激发学生对数学的兴趣，让他们更加深入地理解数学知识，从而提高学习的主动性和参与度。

在教学实践中，老师可以通过设计各种不同类型的数学问题，引导学生运用分类讨论思想进行解题，不断提升他们的分析和推理能力。

老师还可以组织学生参加数学竞赛和数学建模等活动，让他们有机会运用分类讨论思想解决实际问题，从而加深对这一思维方法的理解和应用。

分类讨论思想在高中数学解题教学中不仅具有重要的作用，而且对学生的综合素质提升和未来发展都有着积极的影响。

教师应当重视和加强对分类讨论思想的培养，帮助学生掌握这一重要的解题方法，为他们的学习和未来打下坚实的基础。

2.2 分类讨论思想的培养方法1. 引导学生理清问题关键点：在解题过程中，学生需要理清问题的关键点，将问题分解为更小的部分，从而有助于更好地理解问题和寻找解决方法。

高中数学思想二分类讨论思想专题练习

高中数学思想二分类讨论思想专题练习一．选择题1. 已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A.2B.32C. 5D.5或322. 对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[12，2]3.已知集合()(){}{}210,log 1A x x a x a B x x =---<=<，若R B C A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞-B ．[)2,+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]1,2-4.若11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列各式中一定成立的是（）A ．n 0()l a b ->B ．21b a ->C ．11a b->- D ．log log (0c c a b c >>且1)c ≠5.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．136.函数()log 1xa f x a x =-（0a >，且1a ≠）有两个零点，则a 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．1(1,)e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C ．{}ee(1,)-⋃+∞D ．1ee (1,)⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭7.已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C.D.8.已知函数()43120194f x ax x x =-++，()'f x 是()f x 的导函数，若()'f x 存在有唯一的零点0x ，且()00,x ∈+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞9.已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为( ) A ． B ．1 C. D ．210.已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：①；②；③有最小值.正确结论的个数为（） A ．0 B ．1 C.2 D ．3二、填空题11.已知，，，则的取值范围为________.ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩m n <()()f m f n =n m -[32ln 2,2)-[32ln 2,2]-[1,2]e -[1,2)e -()()3sin 2f x ax x a R =-∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32π-a 1232()32f x x ax bx c =+++()232g x x ax b =++ a b c ，，()f x ()0 1，()()010f f ⋅≤()()010g g ⋅≥23a b -{|322}A x x =≤≤{|2135}B x a x a =+≤≤-B A ⊆a12.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为____________. 13.若数列，则__________. 14. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积为________ cm 2.三、解答题15.已知，设，成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求的取值范围. 16.已知函数21()ln ()2f x a x x a R =+∈. （1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为4230--=x y ，求实数a 的值；（2）当0a >时，证明函数()()(1)g x f x a x =-+恰有一个零点.17.已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极60︒{}n a 23n a n n +=+12231na a a n +++=+m R ∈[]: 1 1p x ∀∈-，2224820x x m m --+-≥[]: 1 2q x ∃∈，()212log 11x mx -+<-p q ∨p q ∧m ()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2.718e =0a >()f x ()0,+∞()F x ()()()xF x e a f x '=-()1,4a ∈ln a ()F x大值点？说明理由．高中数学思想二分类讨论思想专题练习一．选择题1. 已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A.2B.32C. 5D.5或32答案 D解析 ∵m 是2,8的等比中项，∴m 2＝16，∴m ＝±4. 当m ＝4时，曲线为双曲线，其中a ＝1，c ＝5，e ＝ca ＝5；当m ＝－4时，曲线为椭圆，其中a ＝2，c ＝3，e ＝c a ＝32，故选D.2. 对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[12，2]答案 D解析 f (x )＝e x ＋t e x ＋1＝1＋t －1e x ＋1，由题意得f (x )>0恒成立，所以t －1e x ＋1>－1恒成立，即t >－e x 恒成立，所以t ≥0.①若t ∈[0,1]，则f (x )是增函数，当x →＋∞时，得f (x )max →1，当x →－∞时，得f (x )min →t ，所以值域为(t,1)．因为三角形任意两边之和大于第三边，所以t ＋t ≥1，解得12≤t ≤1；②若t ∈(1，＋∞)，则f (x )是减函数，当x →＋∞时，得f (x )min →1，当x →－∞时，得f (x )max →t ，所以值域为(1，t )，同理可得1＋1≥t ，所以1<t ≤2，综上得t ∈[12，2]．3.已知集合()(){}{}210,log 1A x x a x a B x x =---<=<，若R B C A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．[)2,+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]1,2-【答案】C 【详解】由题意，可得集合()(){}{}101A x x a x a x a x a =---<=<<+，所以{R C A x x a =≤或1}x a ≥+，又由集合{}{}2log 102B x x x x =<=<<，因为R B C A ⊆，所以2a ≥或10a +≤，解得1a ≤-或2a ≥，所以实数a 的取值范围是][,(),12∞-⋃+∞-，故选：C .4.若11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列各式中一定成立的是（）A ．n 0()l a b ->B ．21b a ->C ．11a b->- D ．log log (0c c a b c >>且1)c ≠【答案】C 【详解】解析：指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上是单调递减的，由11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，0a b >>. 所以11a b<，则11a b ->-.故C 正确；0a b ->，但不一定有1a b ->，则不一定有()ln 0a b ->，故A 错误；函数2xy =在(),-∞+∞上是单调递增的，0b a -<.则0221b a -<=，故B 错误；当01c <<时，函数c y log x =在0,上单调递减，则log log c c a b <.故D 错误. 故选：C5.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩ 故实数t 的最大值为13-. 故选：C.6.函数()log 1xa f x a x =-（0a >，且1a ≠）有两个零点，则a 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．1(1,)e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C ．{}ee(1,)-⋃+∞D ．1ee (1,)⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭【答案】D 【详解】()0f x =，得1log a x x a =，即11log xax a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由题意知函数1log a y x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点．当1a >时，11log ,xay x y a ⎛⎫== ⎪⎝⎭草图如下，显然有两交点．当01a <<时，函数1log a y x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点时，注意到11,log xay y x a ⎛⎫== ⎪⎝⎭互为反函数，图象关于直线y x =对称，可知函数1x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象与直线y x =相切，设切点横坐标0x ，则0111ln 1x x x a a a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01e,e .e x a -=⎧⎪⎨⎪=⎩ 综上，a 的取值范围为1e e (1,)-⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭.故选：D ．7.已知函数，若，且，则的取值范围是（）ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩m n <()()f m f n =n m -A. B. C.D.【答案】A【解析】如图，作出函数的图象，不妨设，由可知函数的图象与直线有两个交点，而时，函数单调递增，其图象与轴交于点，所以.又，所以，，由，得，解得.由，即，解得；由，即，解得；记（），.所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的最小值为；而，.所以.8.已知函数()43120194f x ax x x =-++，()'f x 是()f x 的导函数，若()'f x 存在有唯一的零点0x ，且()00,x ∈+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】A 【解析】[32ln 2,2)-[32ln 2,2]-[1,2]e -[1,2)e -()y f x =()()f m f n t ==()()f m f n =()f x y t =0x ≤()y f x =y (0,1)01t <≤m n <0m ≤0n >01t <≤0ln(1)1n <+≤01n e <≤-()f m t =112m t +=22m t =-()f n t =ln(1)n t +=1t n e =-()1(22)21t t g t n m e t e t =-=---=-+01t <≤()2tg t e '=-0ln 2t <<()0g t '<()g t ln 21t <≤()0g t '>()g t ()g t ln 2(ln 2)2ln 2132ln 2g e =-+=-0(0)12g e =+=(1)2112g e e =-+=-<32ln 2()2g t -≤<()3231f x ax x =-+'.显然()00f '≠，令()0f x '=得：2331x a x-=，()0x ≠ 令()2331x t x x -=，()0x ≠，()()()4311x x t x x+-'=-知：当(),1x ∈-∞-时，()0t x '<，()t x 为减函数；当()1,0x ∈-时，()0t x '>，()t x 为增函数；当()0,1x ∈时，()0t x '>，()t x 为增函数；当()1,x ∈+∞时，()0t x '<，()t x 为减函数，作出()t x 的大致图象如图所示，则当()12a t <-=-时，()t x 存在唯一的正零点.故选A9.已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为( ) A ．B ．1 C. D ．2 【答案】B【解析】由已知得，对于任意的，有，当时，，不合题意；当时，，从而在单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，不合题意；当时，，从而在，单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，解得.()()3sin 2f x ax x a R =-∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32π-a 1232()()sin cos f x a x x x '=+[]20x π∈，sin cos 0x x x +>0a =()32f x =-0a <()[]002x f x π∈'<，，()f x [0]2π， [0]2π，()203f =-0a >]2[0x π∈，，()0f x '>()f x [0]2π， [0]2π，()223322f a πππ-=⋅-=1a =10.已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：①；②；③有最小值.正确结论的个数为（） A ．0 B ．1 C.2 D ．3 【答案】C【解析】由题意，得，若函数在上单调递减，则，即，所以，故②正确；不妨设，则，故①错；画出不等式组表示的平面区域，如图所示，令，则，①当，即时，抛物线与直线有公共点，联立两个方程消去得，，所以；当，即时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，，所以有最小值，故③正确，故选C ．二、填空题11.已知，，，则的取值范围为________. 【答案】【解析】因为，所以.当时，，可得；当时，()32f x x ax bx c =+++()232g x x ax b =++ a b c ，，()f x ()0 1，()()010f f ⋅≤()()010g g ⋅≥23a b -()232f x x ax b '=++()f x (0,1)(0)0(1)0f f '≤⎧⎨'≤⎩0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩()()01(32)0g g b a b ⋅=⋅++≥32()235f x x x x =--+()()015(1235)0f f ⋅=⋅--+>0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩23z a b =-2133z b a =-33z ->-9z <2133zb a =-230a b ++=b 2690a a z ++-=2(3)0z a =+≥09z ≤<33z-≤-9z ≥0z ≥23z a b =-{|322}A x x =≤≤{|2135}B x a x a =+≤≤-B A ⊆a (,9]-∞B A ⊆Φ≠Φ=B B 或Φ=B 1253+<-a a 6<a Φ≠B，可得，综上：． 12.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为____________.【答案】或【解析】分类讨论：当双曲线的焦点位于轴时，其标准方程为，其渐近线方程为：，则：，解得：，双曲线的方程为；当双曲线的焦点位于轴时，其标准方程为，其渐近线方程为：，则：，解得：，双曲线的方程为；综上可得，双曲线方程为：或. 13.若数列，则__________. 【答案】【解析】令，得，所以．当时，．与已知式相减，得，所以，时，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥22533126a a a 96≤≤a 9≤a 60︒22113x y -=223177y x -=x 22221x y a b -=by x a=±22603{ 231btan aa b ==-=221{ 3a b ==22113x y -=y 22221y x a b -=ay x b=±22603{ 321btan aa b ==-=227{ 37a b ==223177y x -=22113x y -=223177y x -={}n a 23n a n n +=+12231na a a n +++=+226n n +1n =4a 1=16a 1=2n ≥)1(3)1(a a a 21-n 21-+-=+++n n 22)1(3)1()3(22+=----+=n n n n n a n 2)1(4+=n a n 1n =1a．所以，所以，∴． 14. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积为________ cm 2.答案 18＋23或12＋4 3解析该几何体有两种情况：第一种，由如图①所示的棱长为2的正方体挖去一个三棱锥P －ABC 所得到的，所求的表面积为6×22－3×(12×2×2)＋34×(22)2＝18＋23(cm 2)．第二种，由如图②所示的棱长为2的正方体挖去三棱锥P －ABC 与三棱锥M －DEF 所得到的，所求的表面积为6×22－6×(12×2×2)＋2×34×(22)2＝12＋43(cm 2)．n a 2)1(4+=n a n 441+=+n n a n 12231n a a an +++=+n n n n 622)448(2+=++-三、解答题15.已知，设，成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求的取值范围.【解析】若为真：对，恒成立，设，配方得，∴在上的最小值为，∴，解得，∴为真时：；若为真：，成立，∴成立.设，易知在上是增函数，∴的最大值为，∴，∴为真时，，∵”为真，“”为假，∴与一真一假，当真假时，∴，当假真时，∴，综上所述，的取值范围是或. 16.已知函数21()ln ()2f x a x x a R =+∈. （1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为4230--=x y ，求实数a 的值；（2）当0a >时，证明函数()()(1)g x f x a x =-+恰有一个零点. （1）()'af x x x=+. 由切线的斜率为2得()'112f a =+=. ∴1a =.（2）()21ln 2g x a x x =+()1a x -+，0x >， ∴()'a g x x x =+()()()11x a x a x---+=. 1.当01a <<时，m R ∈[]: 1 1p x ∀∈-，2224820x x m m --+-≥[]: 1 2q x ∃∈，()212log 11x mx -+<-p q ∨p q ∧m p []1 1x ∀∈-，224822m m x x -≤--()222f x x x =--()()213f x x =--()f x []1 1-，3-2483m m -≤-1322m ≤≤p 1322m ≤≤q []1 2x ∃≤，212x mx -+>21x m x -<()211x g x x x x -==-()g x []1 2，()g x ()322g =32m <q 32m <p q ∨p q ∧p q p q 132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩32m =p q 132232m m m ⎧<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或12m <m 12m <32m =由()'0g x >得0x a <<或1x >，()'0g x <得1a x <<， ∴()g x 在()0,a 上递增，在(),1a 上递减，在()1,+∞上递增.又()21ln 2g a a a a =+()11ln 12a a a a a ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭0<，()()22ln 220g a a a +=+>，∴当01a <<时函数()g x 恰有一个零点. 2.当1a =时，()'0g x ≥恒成立，()g x 在()0,+∞上递增.又()11202g =-<，()4ln40g =>，所以当1a =时函数()g x 恰有一个零点. 3.当1a >时，由()'0g x >得01x <<或x a >，()'0g x <得1x a <<， ∴()g x 在()0,1上递增，在()1,a 上递减，在(),a +∞上递增. 又()1102g a =--<， ()()22ln 220g a a a +=+>，∴当1a >时函数()g x 恰有一个零点.综上，当0a >时，函数()()()1g x f x a x =-+恰有一个零点.17.已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由．【解析】（1），当时，单调递减；当时，单调递增；因为，所以存在，使，且当时，，当时，．故函数在区间上有1个零点，即．（2）（法一）当时，．因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．下证：当时，，即证．，记…，所以在单调递增，由，所以存在唯一零点，使得，且时，单调递减，时，单调递增．所以当时，．…… 由，得当时，．故．当时，单调递增；当时，单调递减．所以存在()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2.718e =0a >()f x ()0,+∞()F x ()()()x F x e a f x '=-()1,4a ∈ln a ()F x ()6x a f x x e ⎛'⎫=-⎪⎝⎭06a x <<()()0f x f x '<，6ax >()()0f x f x '>，()00,110666a a a f f f ⎛⎫⎛⎫<=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,166a a x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()00f x =00x x <<()0f x <0x x >()0f x >()f x ()0,+∞0x 1a >ln 0a >()0,ln x a ∈0x e a -<()ln ,x a ∈+∞0x e a ->()00,x x ∈()0f x <()0,x x ∈+∞()0f x >()1,a e ∈0ln a x <()ln 0f a <()2ln ln 11ln 166a a f a a a a a ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()[]2ln 1,1,6x g x x x x x e =--+∈()()3ln ,033x xg x x g x x''-='=->()g x '()1,e ()()110,1033eg g e ''=-=-()01,t e ∈()01g t '=()01,x t ∈()()0,g x g x '<()0,x t e ∈()()0,g x g x '>()1,x e ∈()()(){}max 1,g x g g e <()()21610,066e g g e -=-<=<()1,x e ∈()0g x <()0ln 0,0ln f a a x <<<0ln x a <<()()()()()0,0,0,xxe af x F x e a f x F x -'-<=0ln a x x <<()()()()()0,0,0,x xe af x F x e a f x F x -><=-<'，使得为的极大值点．（2）（法二）因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．所以存在无数个，使得为函数的极大值点，即存在无数个，使得成立，①…由（1），问题①等价于，存在无数个，使得成立，因为，记，因为，当时，，所以在单调递增，因为，所以存在唯一零点，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，②由，可得，代入②式可得，当时，，所以，必存在，使得，即对任意有解， ()()1,1,4a e ∈⊂ln a ()F x ()0,ln x a ∈0x e a -<()ln ,x a ∈+∞0x e a ->()00,x x ∈()0f x <()0,x x ∈+∞()0f x >()1,4a ∈ln a ()F x ()1,4a ∈0ln a x <()1,4a ∈()ln 0f a <()2ln ln 11ln 166a a f a a a a a ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()()2ln 1,1,46x g x x x x x =--+∈()()ln ,1,4,3x g x x x '=-∈()33x g x x '-'=3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x ''>()g x '3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()3312ln 0,2ln202223g g ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭03,22t ⎛⎫∈⎪⎝⎭()00g t '=03,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '<()0,2x t ∈()()0,g x g x '>3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()200000min ln 16t g x g t t t t ==--+()00g t '=00ln 3t t =()()2000min 16t g x g t t ==-+03,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()220000311106628t t g t t -=-+=-≤-<3,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()0g x <()3,2,ln 02a f a ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭所以对任意，函数存在极大值点为．3,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭()F x ln a。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用

分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。

本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。

分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。

它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。

本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。

二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。

使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。

三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。

2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。

3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。

四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。

1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。

例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。

解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。

分类讨论思想

分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答;实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略;二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等;2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等;3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零,偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等;4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等;5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法;有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集,还是既不取交集也不取并集只是分条列出;五、分类讨论解题的步骤1.确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论;2.对所讨论的对象进行合理的分类;3.逐类讨论：即对各类问题详细讨论,逐步解决;4.归纳总结：将各类情况总结归纳;六、常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等;七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象;即确定需要分类的目标,一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标;第二步：根据公式、定理确定分类标准;运用公式、定理对分类对象进行区分; 第三步：分类解决“分目标”问题;对分类出来的“分目标”分别进行处理; 第四步：汇总“分目标”;将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理;。

高中数学x思想方法-分类讨论与整合

分类讨论与整合思想方法例题解析高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题。

下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等. 例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围.分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.(2)当0a ≠时，函数()2224433f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a-≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意. 综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log nn b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为. 分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a x x ≥-,设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集.变式练习2. 已知函数x x f a log )(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于A ．π2 B ．2π C ．π2或2π D ．不同于A 、B 、C 答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列}{n a 、 3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b nn =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a . 又211212112111,a aa a a a a a ab b a a a b a a b n n n n n n n n n n n n n ===⋅⋅==⋅=⋅=-+++++++则即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,)1( ,22a a a a a n a n S n n （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b nn n n n n n n 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a …是以1为首项，q 为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,, …是以a 为首项，q 为公比的等比数列，即{}n a 为： 22,,,,,1aq q aq q a .当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列.注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同.变式练习3: 解关于x 的不等)(222R a ax x ax ∈-≥-．4. 由图形的不确定性引起的分类讨论例4 设21,F F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求||||21pF PF 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解.解: 由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =27. ②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF，2||2=PF ，故 2||||21=pF PF . 变式练习4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,x x e a x x e a x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a .① 当4<a 时，12x x >，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和为)(x f 的单调减区间.② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a 为)(x f 的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.变式练习5. 已知椭圆1522=+m y x 的离心率 510=e ，则m 的值为 A ．3B ．253或3C ．5D ．3155或156. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有种选派方案？解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +362313C C C +3733C C =306种选派方案. 点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种．变式练习答案及专题总结:1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即,211,0132,032212131===+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得又1111,,6422n n q q a -⎛⎫≠∴==⨯ ⎪⎝⎭ 故()()17227,71log 64log 27||27,7n n n n n n b n b n n --⎡⎤⎧-≤⎪⎛⎫=⨯==-∴=⎢⎥⎨ ⎪->⎝⎭⎪⎢⎥⎩⎣⎦ ()()()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n n n n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n . 2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12log log =-a a π，∴2π=a ⑵当10<<a 时，)(x f 在[2，π]上是减函数，最大值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log 2log =-πa a ，∴π2=a . 由⑴⑵知，答案为C.3. 解:原不等式可化为⇔ 02)2(2≥--+x a ax ,(1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时，不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ．当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在． ②0<a 时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120aa ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1．综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a ；当－2<a <0时,x ∈]1,2[-a ；当a <－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}． 4. 255或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴2=b ．∴ 555222==+==a a a b a c e ．（2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时25=e ．综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或． 5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,22222-=-=∴==m b a c b m a ，m m a c 522-=∴ 又510=e ,325=m .⑵当50<<m 时，m b a c m b a -=-=∴==5,,522222m m a c -=∴522,3=m . 由⑴⑵知 325=m 或3=m .故选Ｂ. 6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．【命题预测】分类讨论的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能减少思维时间、提高书写的逻辑性和条理性，此类试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的逻辑划分思想和技巧，及较好的思维概括性，有利于对学生能力的考查；试卷中占有一定比例的分类讨论题，有利于拉开考生得分的距离，实现高考的选拔的目标。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究

分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究分类讨论思想是一种在高中数学解题中十分常见的思维方式，它能够帮助学生更加系统、全面、深入地分析问题，从而得出更加准确、严谨的解答。

一、分类讨论思想的概念及特点分类讨论指的是将问题分成若干个独立的情况，并对每种情况进行分析，最终得出全面、深入的结论的思维方式。

分类讨论思想的特点是：有目的性、有系统性、有针对性、有全面性、有严谨性。

此外，分类讨论还要注意分类的互斥性和完备性。

1. 函数解析式的确定。

对于一些比较复杂的函数，可以采用分类讨论的思想来确定它的解析式。

例如，已知函数f(x)如下：$$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geqslant 0\\2x+1,&x<0\\\end{cases}$$我们可以发现，这个函数在x=0处存在“分界点”，如果使用同一种方法求解，就会产生问题。

因此，我们可以采用分类讨论的思想，将问题分为x≥0和x<0两种情况，对每种情况分别求解。

2. 组合数学问题。

组合数学中很多问题也可以使用分类讨论的思想进行求解。

例如，假设有n个格子要涂黑，但是其中的一些格子不能被涂黑。

我们可以考虑将格子分成两类：可以涂黑和不能涂黑的。

然后，对于可以涂黑的格子，我们可以使用组合数学的知识求解涂黑的方法数；对于不能涂黑的格子，我们可以先对它们进行计数，再将它们从总数中减去，得出最终的结果。

3. 几何问题。

几何问题中也常常需要使用分类讨论的思想。

例如，对于一个梯形，如果我们要计算它的面积，需要先确定底边长和高，这就需要对梯形进行分类讨论。

具体来说，我们可以将梯形分成上底和下底相等和上底和下底不相等两种情况，分别求解它们的面积，最终将两者相加即可得到梯形的面积。

三、分类讨论思想的教学策略针对分类讨论思想的教学，我们可以采用以下几种策略：1. 举例法。

在讲解分类讨论思想时，可以通过举一些对应的数学问题进行解析，让学生通过对具体问题的分析，加深对分类讨论思想的理解。

高中数学分类讨论专题

高中数学分类讨论专题
高中数学的分类讨论专题可以包括以下几个方面：
1. 几何图形的性质：例如平面图形的性质研究，如线段、角、三角形、四边形的性质等。

2. 几何变换：研究平移、旋转、对称、相似变换等，以及其应用于几何图形的理论和实际问题。

3. 解析几何：研究平面和空间的坐标系，以及直线、圆、曲线的性质和方程，通过代数方法解决几何问题。

4. 数列和数列极限：研究等差数列、等比数列、等差数列等各类数列的性质和求和公式，以及数列极限的概念、性质和计算方法。

5. 函数及其性质：研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，以及函数的图像、图像的变换和应用。

6. 三角函数：研究正弦、余弦、正切等三角函数的性质，以及三角恒等式、三角方程的求解等问题。

7. 解方程与方程组：研究一元二次方程、一元高次方程、一元不等式、二元一次方程组、二元二次方程组等的解法和应用。

8. 概率与统计：研究随机事件的概率、频数分布和统计指标的计算方法，以及概率和统计在实际问题中的应用。

以上是一些高中数学的分类讨论专题，不同学校和不同课程设置可能会有所不同，具体的内容可以根据学校的教材和教学大纲进行细化。

分类讨论思想

分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。

二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。

3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。

4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。

5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。

6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。

三、高中数学中相关的知识点1.绝对值的定义；1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等。

七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象。

即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。

第二步：根据公式、定理确定分类标准。

运用公式、定理对分类对象进行区分。

第三步：分类解决“分目标”问题。

对分类出来的“分目标”分别进行处理。

第四步：汇总“分目标”。

运用分类讨论思想解题的三个步骤

知识导航分类讨论思想是指对问题中所包含的每一种情况分门别类进行讨论，再将讨论的结果进行整合，从而得到问题的答案的一种思想.在解答高中数学问题时应用分类讨论思想，可以“化繁为简”“化整为零”，有效地降低解题的难度，提升解题的效率.运用分类讨论思想解题，主要有以下三个步骤.第一步，合理分类高中数学问题中通常包含着多种情况，解答时需要将其中所包含的每一种情况罗列出来，合理进行分类.在分类时，要做到既不重复也不遗漏.例1.已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数，又是减函数．求证：对任意x1，x2∈[-1,1]，有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0.解析：由[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0可知f(x1)+f(x2)、x1+x2的取值直接决定[f(x1)+f(x2)](x1+x2)的符号，而f(x1)+f(x2)的正负也是由x1、x2来决定的，所以我们需要对x1+x2的符号进行讨论.需运用分类讨论思想，分x1+x2=0、x1+x2<0、x1+x2>0三种情况讨论.证明：若x1+x2=0，显然原不等式成立．若x1+x2<0，则-1≤x1<-x2≤1，因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数，所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)>0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立．若x1+x2>0，则-1≤x2<-x1≤1，同理可证f(x1)+f(x2)<0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立．综上所述，对任意x1，x2∈[-1,1]，有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0恒成立．只有对问题进行合理的分类，才能避免出现重复分类或者遗漏分类的情况.常见的分类有对含参不等式中的参数分大于、等于、小于0等三种情况进行讨论；对含有绝对值的代数式中的绝对值，分大于或等于0、小于0两种情况进行讨论；对一元二次函数的二次项系数分大于、等于、小于0三种情况讨论；对直线与圆椎曲线的位置，分相交、相切、相离三种情况讨论，等等.第二步，分类讨论在完成分类之后，我们要对不同的类别分别进行讨论，完成相应的计算或推理，得到每一个类别的讨论结果.在分类讨论的过程中，要注意逐类、逐级进行讨论，不能将各层级、类别弄混淆.在讨论完后，还要用该类、级的标准检验、筛选结果.例2.已知函数f(x)=1-ln x+a2x2-ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=-1x+2a2x-a=(2ax+1)(ax-1)x.①若a=0，则f′(x)<0，f(x)在(0，+∞)上单调递减．②若a>0，则当x=1a时，f′(x)=0，当0<x<1a时，f′(x)<0；当x>1a时，f′(x)>0.故f(x)在æèöøa,1a上单调递减，在æèöø1a,+∞上单调递增.③若a<0，则当x=-12a时，f′(x)=0，当0<x<-12a时，f′(x)<0；当x>-12a时，f′(x)>0，故f(x)在æèöø0,-12a上单调递减，在æèöø-12a,+∞上单调递增．综上所述，当a=0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在æèöøa,1a上单调递减，在æèöø1a,+∞上单调递增；当a<0时，f(x)在æèöø0,-12a上单调递减，在æèöø-12a,+∞上单调递增．解答本题需灵活运用分类讨论思想.由于函数式中含有参数，所以需要对参数a进行分类讨论，分a=0、a>0、a<0三种情况，讨论每种情形下导函数f′(x)与0之间的关系，判断出函数的单调性.而为了明确f′(x)与0之间的关系，又需要再对x的取值进行讨论，分0<x<-12a、x>-12a两种情况讨论.最后用该类、级的标准检验、筛选结果.第三步，归纳得出结论在完成分类讨论之后，需要将分级、分类得到的阶段性结果进行汇总，得到最终的答案.分类讨论思想在解答高中数学问题中应用广泛，在解答函数、概率、不等式等问题中经常要用到.同学们要熟练掌握应用分类讨论思想解题的步骤和方法，对问题进行合理的分类、讨论并归纳，这样才能得出正确的答案.（作者单位：江苏省启东中学）39。

分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用
分类讨论思想在高中数学中被广泛应用，特别是在代数和几何学中。

这种思想的本质
是将问题分解为多个情况并对每个情况进行分析解决。

以下是分类讨论思想在高中数学中
的应用的一些例子：
1. 方程的分类讨论
在代数中，分类讨论思想被用于解决方程。

例如，当解决二次方程时，我们会根据方
程的判别式的值（即 $b^2-4ac$的正负号）来分类讨论。

如果判别式为正数，则有两个不
同的实根；如果判别式为零，则有一个重根；如果判别式为负数，则有两个共轭复根。

2. 三角形的分类讨论
在几何学中，分类讨论思想同样被广泛应用。

例如，在三角形的分类讨论中，我们通
常根据三角形的边长、角度和对边的长度来进行分类讨论。

通过这种方法，我们可以将三
角形分类为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和锐角三角形等不同的类型。

3. 计算的分类讨论
在统计学和概率学中，分类讨论思想同样被广泛应用。

例如，在计算期望值和方差时，我们通常需要进行分类讨论以考虑不同的情况。

通过这种方法，我们可以计算出不同情况
下的期望值和方差，从而得到整个分布的期望值和方差。

总的来说，分类讨论思想是一种非常重要的思想工具，它在高中数学中被广泛应用，
并在许多不同的数学领域中发挥着重要的作用。

通过分类讨论，我们可以对问题进行更深
入的分析和理解，并找到更好的解决方案。

高中数学分类讨论归纳总结(二)：集合中的分类讨论

高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论一、参数取值引起的分类讨论1．已知函数y ＝2x ，x ∈[2,4]的值域为集合A ，y ＝log 2[－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)]的定义域为集合B ，其中m ≠1.设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析：由－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)＞0，得(x －m －1)(x －2)＜0，若m ＞1，则B ＝{x |2＜x ＜m ＋1}，所以∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥m ＋1}．因为A ⊆∁R B ，所以m ＋1≤4，所以1＜m ≤3.若m ＜1，则B ＝{x |m ＋1＜x ＜2}，所以∁R B ＝{x |x ≤m ＋1或x ≥2}，此时A ⊆∁R B 成立．2．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝__________.解析：∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. ∴a ＝－32满足条件．答案：－32二、空集引起的分类讨论1、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ≤4D ．m ≤4思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D .2、．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．①当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13＜a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a ＜13. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52. 针对性练习：1． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时，a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或2解析 D 当a ＝1时，B ＝{x ∈R |x 2－x ＋1＝0}＝∅，A ∩B ＝B ；当a ＝2时，B ＝{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，A ∩B ＝B ；当a ＝3时，A ∩B ＝B 不成立．2．关于x 的不等式[x －(3－a )](x －2a )＜0的解集为A ，函数y ＝m (－x 2＋3x －2)的定义域为B .若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解析：由－x 2＋3x －2＞0，得x 2－3x ＋2＜0，故1＜x ＜2，即B ＝(1,2)．由A ∪B ＝A ，知B ⊆A .(1)若3－a ＜2a ，即a ＞1时，A ＝(3－a,2a )．∵(1,2)⊆(3－a,2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，3－a ≤1，2a ≥2.解得a ≥2.(2)若3－a ＝2a ，即a ＝1时，A ＝∅，不合题意；(3)若3－a ＞2a ，即a ＜1时，A ＝(2a,3－a )．∵(1,2)⊆(2a,3－a )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1，2a ≤1，3－a ≥2.解得a ≤12. 综上，实数a 的取值范围是a ≤12，或a ≥2. 3．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}．(1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(2)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析： (1)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A . A ＝{x |－1≤x ≤2}，①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ，∴－12≤m ＜12； ②当m ＝12时，B ＝∅，B ⊆A 成立； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时2m ≤2，∴12＜m ≤1. 综上所述，所求m 的取值范围是－12≤m ≤1. (3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，(9分)①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2， ∴－32≤m ＜－1； ②当m ＝12时，B ＝∅，不符合题意； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4， ∴32＜m ≤2. 综上，m 的取值范围是－32≤m ＜－1或32＜m ≤2.。

分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用分类讨论思想是数学中一个重要的概念，它在高中数学中有着广泛的应用。

分类讨论思想的核心就是将问题进行分类，然后分别讨论每个分类下的情况。

这种思想在解决数学问题时非常有用，可以帮助学生更好地理解问题、找到解题的路径，提高解题的效率。

本文将针对高中数学中常见的几个知识点，介绍分类讨论思想在这些知识点中的应用。

一、组合数学中的分类讨论思想在高中数学中，组合数学是一个重要的内容，它涉及到排列、组合等概念。

而分类讨论思想在组合数学中有着广泛的应用。

以排列组合问题为例，当问题比较复杂时，可以通过分类讨论的方法将问题简化，从而更好地解决问题。

有一道高中数学题目：“从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，将它们按照从小到大的顺序排列成一组数，那么共有多少种排列方式？”这个问题涉及到排列的概念，而我们可以通过分类讨论的方法来解决它。

我们可以将这个问题分成两种情况来讨论，一种是选取的3个数字没有重复，另一种是选取的3个数字中有重复的数字。

对于第一种情况，我们可以直接使用排列的公式来计算出结果；对于第二种情况，我们可以先计算出选取的3个数字中有重复的数字的情况，然后再根据具体的情况来进行讨论。

通过分类讨论的方法，我们可以更清晰地理解问题，更快速地找到解决问题的路径。

二、几何中的分类讨论思想在几何中，分类讨论思想同样有着重要的应用。

几何问题通常涉及到图形的性质、面积、体积等概念，而分类讨论思想可以帮助我们更好地理解和解决这些问题。

有一道高中数学题目：“在平面直角坐标系中，有一个正方形的对角线的两个端点分别为A（1，2）和B（4，5），求这个正方形的面积。

”这个问题涉及到正方形的性质和面积的计算，而我们可以通过分类讨论的方法来解决它。

我们可以确定正方形的另外两个顶点的坐标，然后再根据正方形的性质来计算出正方形的面积。

通过分类讨论的方法，我们可以更清晰地理解图形的性质和面积的计算方法，更快地解决问题。

高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)九、分类讨论思想含解析

分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。

一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。

二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。

三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。

由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。

由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。

5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。

由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。

[全]高中数学：分类讨论思想(含详细分析和例题解析)

[全]高中数学：分类讨论思想（含详细分析和例题解析）所谓分类讨论，就是当题目所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每个类别级别进行研究，得出每一类的结论，最后将各类结果进行综合，得到整个问题的解答。

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。

分类讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略。

在高中数学中，分类讨论时非常重要的一种解题思路，每次高考的数学试卷中，必然会有需要用到这种思想方法的题目。

一、分类讨论的要求及其意义1、分类讨论的要求：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

2、分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等。

(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等。

(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等。

(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等。

(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等。

二、分类讨论思想的原则为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则：(1) 同一性原则：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。

浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用

浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想是一种解决复杂问题的方法，它在高中数学解题中有着广泛的应用。

分类讨论思想的核心思想是将问题分解为若干个易于解决的小问题，然后逐个解决这些小问题，最后得到整体的解答。

在高中数学中，分类讨论思想常常用于解决一些复杂的数学问题。

举个例子，我们来看一个典型的题目：已知集合A由3个元素组成，集合B由4个元素组成，且集合A与集合B的交集有2个元素。

现在要求集合A与集合B的并集中元素的个数。

我们可以将这个问题分解为两个小问题：求集合A与集合B的并集元素的个数和求集合A与集合B的交集元素的个数。

对于第一个小问题，我们可以根据集合的定义，知道并集的元素个数等于两个集合元素个数之和减去交集的元素个数，即并集的元素个数
=3+4-2=5。

对于第二个小问题，已知集合A与集合B的交集有2个元素，考虑到两个集合的元素个数，我们可以将这2个元素分别放在A和B的两个元素中去，然后将剩下的元素填补到A和B的元素中，这样就能得到满足题目要求的集合A和集合B了。

通过分类讨论思想，我们可以很轻松地解决这个问题。

这里只是一个简单的例子，分类讨论思想在实际应用中也可以更加复杂。

但无论是简单还是复杂的问题，分类讨论思想都是一个非常有效的解决方法。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用

分类讨论思想在高中数学解题中的应用在高中数学解题中，分类讨论思想是一种常见且重要的解题方法。

这种方法通常通过将问题分解成若干个较小的、相似的子问题，并分别讨论解决每个子问题的方法，最终得到整体的解决方案。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用非常广泛。

下面将以一些具体的例子来说明这种思想在不同数学题目中的应用。

1. 几何题分类讨论思想在几何题中的应用非常常见。

在求解一个三角形的某个角度时，可能需要根据给定条件将问题分为几种不同情况，然后分别讨论每种情况下角度的计算方法。

这种思想也适用于其他几何问题，如求解线段的长度、平行线的性质等。

2. 整数问题在解决整数问题时，分类讨论思想也经常被使用。

求解一个整数方程的解集时，可以将问题分为几种不同情况，如方程是一次方程还是二次方程，方程的参数是正数还是负数等，然后分别讨论每种情况下解集的特点和求解方法。

3. 概率问题在求解概率问题时，分类讨论思想也常常被应用。

求解一个复杂事件的概率时，可以将问题分解为几个较简单的子事件，并分别计算每个子事件的概率，然后根据这些子事件的关系得到整体事件的概率。

这种方法在解决多阶段随机实验的概率问题时尤为有用。

5. 排列组合问题在解决排列组合问题时，分类讨论思想也经常被使用。

求解从n个元素中取r个元素的组合数时，可以将问题分为几种不同情况，如r等于n时、r小于n时等，然后分别计算每种情况下的组合数，并将它们相加得到整体的解决方案。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用非常广泛，几乎涉及到数学各个领域。

通过将问题分解为若干个相似的子问题，并分别讨论每个子问题的解决方法，可以更加系统和有序地解决复杂的数学问题，提高解题效率和准确性。

掌握分类讨论思想对于高中数学学习和解题能力的提升非常重要。

高中数学思想方法之分类讨论法培优题库及详解(高难度百题)

高中数学思想方法之分类讨论法培优题库及详解（高难度百题）一、选择题（共30小题；共150分）1. 已知函数 f (x )={x 2+2x,x ≤0∣lgx ∣,x >0，则函数 g (x )=f (1−x )−1 的零点个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数 f (x )={x 2−x +3,x ≤1x +2x,x >1，设 a ∈R ，若关于 x 的不等式 f (x )≥∣∣x2+a ∣∣ 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是 ( ) A. [−4716,2] B. [−4716,3916]C. [−2√3,2]D. [−2√3,3916]3. 函数 y =a∣x∣ 与 y =x +a 的图象恰有两个公共点，则实数 a 的取值范围为 ( )A. (1,+∞)B. (−1,1)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)4. 若 x ，y 满足 {x +y −2≥0,kx −y +2≥0,y ≥0,, 且 z =y −x 的最小值为 −4，则 k 的值为 ( )A. 2B. −2C. 12D. −125. 已知函数 f (x )=x∣x−1∣，g (x )=1+x+∣x∣2，若 f (x )<g (x )，则实数 x 的取值范围是 ( )A. (−∞,−1−√52)∪(−1+√52,+∞)B. (−∞,−1+√52)∪(1+√52,+∞)C. (−1+√52,1+√52)D. (−1+√52,1)∪(1,1+√52)6. 设函数 f (x )={log 2x,x >0,log 12(−x ),x <0, 若 f (a )>f (−a )，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)7. 已知函数 f (x )={a ⋅e x ,x ≤0,−lnx,x >0, 其中 e 为自然对数的底数，若关于 x 的方程 f(f (x ))=0 有且只有一个实数解，则实数 a 的取值范围为 A. (−∞,0) B. (−∞,0)∪(0,1) C. (0,1)D. (0,1)∪(1,∞)8. 已知函数 f (x )=13x 3+12mx 2+m+n 2x 的两个极值点分别为 x 1，x 2，且 0<x 1<1<x 2，点集(m,n ) 表示的平面区域内存在点 (x 0,y 0) 满足 y 0=log a (x 0+4)，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (0,12)∪(1,3) B. (0,1)∪(1,3) C. (12,1)∪(1,3)D. [3,+∞)9. 已知函数 f (x )={−x 2+2x,x ≤0ln (x +1),x >0，若 ∣f (x )∣≥ax −1 恒成立，则 a 的取值范围是 ( )A. [−2,0]B. [−2,1]C. [−4,0]D. [−4,1]10. 在平面直角坐标系中，两点 P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) 间的“L − 距离”定义为 ∣∣P 1P 2∣∣=∣x 1−x 2∣+∣y 1−y 2∣，则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F 1，F 2 的“L − 距离”之和等于定值（大于 ∣∣F 1F 2∣∣）的点的轨迹可以是 ( )A. B.C. D.11. 已知函数 f (x )={2−∣x∣,x ≤2,(x −2)2,x >2,函数 g (x )=b −f (2−x )，其中 b ∈R ．若函数 y =f (x )−g (x ) 恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 ( ) A. (74,+∞)B. (−∞,74)C. (0,74)D. (74,2)12. 已知函数 f (x )={x 2+(4a −3)x +3a,x <0,log a (x +1)+1,x ≥0（a >0，且 a ≠1）在 R 上单调递减，且关于 x的方程 ∣f (x )∣=2−x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 ( ) A. (0,23]B. [23,34]C. [13,23]∪{34}D. [13,23)∪{34}13. 设函数 f (x )=∣2x −1∣，函数 g (x )=f(f (x ))−log a (x +1),(a >0,a ≠1) 在 [0,1] 上有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 ( )A. (1,32)B. (1,2)C. (32,2)D. (2,+∞)14. 已知函数 f (x )={1−∣x +1∣,x ∈[−2,0]2f (x −2),x ∈(0,+∞)，若方程 f (x )=x +a 在区间 [−2,4] 内有 3 个不等实根，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. −2<a <0B. −2<a ≤0C. −2<a <0 或 1<a <2D. −2<a <0 或 a =115. 已知函数 f (x )={2−∣x∣,x ≤2,(x −2)2,x >2,函数 g (x )=3−f (2−x )，则函数 y =f (x )−g (x ) 的零点个数为 ( ) A. 2B. 3C. 4D. 516. 已知函数 f (x )={kx +1,x ≤0lnx,x >0，则下列关于函数 y =f [f (x )]+1 的零点个数的判断正确的是( )A. 当 k >0 时，有 3 个零点；当 k <0 时，有 2 个零点B. 当 k >0 时，有 4 个零点；当 k <0 时，有 1 个零点C. 无论 k 为何值，均有 2 个零点D. 无论 k 为何值，均有 4 个零点17. 设 f (x )=∣lnx∣，若函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点，则实数 a 的取值范围是( ) A. (0,1e)B. (ln33,e) C. (0,ln33] D. [ln33,1e)18. 设 k ∈R ，对任意的向量 a ⃗，b ⃗⃗ 和实数 x ∈[0,1]，如果满足 ∣a ⃗∣=k ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣，则有 ∣∣a ⃗−xb ⃗⃗∣∣≤λ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣ 成立，那么实数 λ 的最小值为 ( ) A. 1 B. kC.k+1+∣k−1∣2D.k+1−∣k−1∣219. 已知函数 f (x )=sinx x，若 π3<a <b <2π3，则下列结论正确的是 ( )A. f (a )<f(√ab)<f (a+b 2)B. f(√ab)<f (a+b 2)<f (b )C. f(√ab)<f (a+b 2)<f (a )D. f (b )<f (a+b2)<f(√ab)20. 已知 a >0 且 a ≠1，f (x )=x 2−a x ，当 x ∈(−1,1) 时均有 f (x )<12，则实数 a 的取值范围是( )A. (0,12]∪[2,＋∞) B. [14,1)∪(1,4] C. [12,1)∪(1,2] D. (0,14]∪[4,＋∞)21. 已知函数 f (x )=xe x −m 2x 2−mx ，则函数 f (x ) 在 [1,2] 上的最小值不可能为 ( ) A. e −32mB. −12mln 2mC. 2e 2−4mD. e 2−2m22. 已知函数 f (x )=1+lnx x，若关于 x 的不等式 f 2(x )+af (x )>0 有两个整数解，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (−1+ln22,−1+ln33) B. (1+ln33,1+ln22) C. (−1+ln22,−1+ln33] D. (−1,−1+ln33]23. 已知函数 f (x )=e x∣x∣，关于 x 的方程 f 2(x )−2af (x )+a −1=0(a ∈R ) 有 3 个相异的实数根，则 a 的取值范围是 ( )A. (e 2−12e−1,+∞)B. (−∞,e 2−12e−1) C. (0,e 2−12e−1)D. {e 2−12e−1}24. 已知 a,b ∈R ，且 e x+1≥ax +b 对 x ∈R 恒成立，则 ab 的最大值是 ( )A. 12e 3B. √22e 3C. √32e 3D. e 325. 定义在 R 上的函数 f (x )，当 x ∈[0,2] 时，f (x )=4(1−∣x −1∣)，且对于任意实数 x ∈[2n −2,2n+1−2](n ∈N ∗,n ≥2)，都有 f (x )=12f (x2−1)．若 g (x )=f (x )−log a x 有且只有三个零点，则 a 的取值范围是 ( )A. [2,10]B. [√2,√10]C. (2,10)D. [2,10)26. 已知函数 f (x )=log a x （a >0 且 a ≠1）和函数 g (x )=sin π2x ，若 f (x ) 与 g (x ) 两图象只有 3个交点，则 a 的取值范围是 ( ) A. (15,1)∪(1,92)B. (0,17)∪(1,92)C. (17,12)∪(3,9) D. (17,13)∪(5,9)27. 已知函数 f (x )=x 3−6x 2+9x ，g (x )=13x 3−a+12x 2+ax −13(a >1) 若对任意的 x 1∈[0,4]，总存在 x 2∈[0,4]，使得 f (x 1)=g (x 2)，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. (1,94]B. [9,+∞)C. (1,94]∪[9,+∞)D. [32,94]∪[9,+∞)28. 已知函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (x )=f (2−x )，若函数 y =∣x 2−2x −3∣ 与 y =f (x ) 图象的交点为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x m ,y m )，则 ∑x i m i=1= ( ) A. 0B. mC. 2mD. 4m29. 若函数 f (x )=a |x+b|(a >0且a ≠1,b ∈R) 是偶函数，则下面的结论正确的是 ( )A. f (b −3)<f (a +2)B. f (b −3)>f (a +2)C. f (b −3)=f (a +2)D. f (b −3) 与 f (a +2) 的大小无法确定30. 已知函数 f (x )=2mx 2−2(4−m )x +1，g (x )=mx ，若对于任意实数 x ，函数 f (x ) 与 g (x )的值至少有一个为正值，则实数 m 的取值范围是 ( )A. (2,8)B. (0,2)C. (0,8)D. (−∞,0)二、填空题（共30小题；共150分） 31. 已知互异复数 mn ≠0，集合 {m,n }={m 2,n 2}，则 m +n = ．32. 已知函数 f (x )=∣x −a ∣−3x +a −2 有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数 a 的取值集合为．33. 若 x ，y 满足 {y ≥12x,y ≤2x,x +4y ≤9, 且 z =x −ay 的最大值为 4，则实数 a 的值为．34. 已知函数 f (x )=x 3+bx (x ∈R ) 在 [−1,1] 上是减函数，则 b 的取值范围是． 35. 若函数 f (x )=x (x −a )2 在 x =2 处取得极小值，则 a = ．36. 已知函数 f (x )=∣lnx ∣,g (x )={0,0<x ≤1,∣x 2−4∣−2,x >1,则方程 ∣f (x )+g (x )∣=1 实根的个数为．37. 已知椭圆 C:x 22+y 2=1 的两焦点为 F 1，F 2，点 P (x 0,y 0) 满足 0<x 022+y 02<1，则 ∣PF 1∣+∣PF 2∣的取值范围为．38. 已知等比数列 {a n } 的公比 q ，前 n 项的和 S n ，对任意的 n ∈N ∗，S n >0 恒成立，则公比 q 的取值范围是．39. 已知 g (x )=mx +2，f (x )=x 2−2x ，若对 ∀x 1∈[−1,2]．∃x 0∈[−1,2]，有 g (x 1)=f (x 0) 成立，则 m 的取值范围是．40. 已知抛物线 y 2=4x ，圆 F:(x −1)2+y 2=1，直线 y =k (x −1) 自下而上顺次与上述两曲线交于点 A ，B ，C ，D ，则 ∣AB ∣⋅∣CD ∣ 的值是．41. 若函数 f (x )=log a (x +ax −4),(a >0且a ≠1) 的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是．42. 满足不等式组 {(x −y +1)(x +y −3)≥0,0≤x ≤a的点 (x,y ) 组成的图形的面积是 5，则实数 a 的值为． 43. 已知 A 是抛物线 y 2=4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线 FA 交抛物线的准线于点 B （点 B 在x 轴上方），若 AB =2AF ，则点 A 的坐标为． 44. 数列 {a n } 的通项 a n =n 2⋅(cos 2nπ3−sin 2nπ3)，其前 n 项和为 S n ，则 S 30= ．45. 若实数 x ，y 满足不等式组 {x +y −4≤0,2x −3y −8≤0,x ≥1,目标函数 z =kx −y 的最大值为 12，最小值为 0，则实数 k = ．46. 已知集合 A ={x∣ −2≤x ≤5}，B ={x∣ m +1≤x ≤2m −1}，若 B ⊆A ，则实数 m 的取值范围为．47. 过点 (1,1) 的直线 l 与圆 (x −2)2+(y −3)2=9 相交于 A ，B 两点，当 ∣AB∣=4 时，直线 l 的方程为．48. 过点 (1,1) 的直线 l 与圆 (x −2)2+(y −3)2=9 相交于 A ，B 两点，当 ∣AB ∣=4 时，直线 l 的方程为．49. 非零向量 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 的夹角为 π3，且满足 ∣n ⃗⃗∣=λ∣m ⃗⃗⃗∣(λ>0)，向量组 x 1⃗⃗⃗⃗，x 2⃗⃗⃗⃗⃗，x 3⃗⃗⃗⃗⃗ 由一个 m⃗⃗⃗ 和两个 n ⃗⃗ 排列而成，向量组 y 1⃗⃗⃗⃗⃗，y 2⃗⃗⃗⃗⃗，y 3⃗⃗⃗⃗⃗ 由两个 m ⃗⃗⃗ 和一个 n ⃗⃗ 排列而成，若 x 1⃗⃗⃗⃗⋅y 1⃗⃗⃗⃗⃗+x 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅y 2⃗⃗⃗⃗⃗+x 3⃗⃗⃗⃗⃗⋅y 3⃗⃗⃗⃗⃗ 所有可能值中的最小值为 4m ⃗⃗⃗2，则 λ= ．50. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 的导函数满足 fʹ(x )<f (x )，且 f (x )⋅f (x +3)=−1，若 f (2015)=−e ，则不等式 f (x )<e x 的解集为．51. 设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，若 2a n +(−1)n ⋅a n =2n +(−1)n ⋅2n (n ∈N ∗)，则S 10= ．52. 已知对于任意的 x ∈(−∞,1)∪(5,+∞)，都有 x 2−2(a −2)x +a >0，则实数 a 的取值范围是．53. 已知数列 {a n } 的各项均为正整数，其前 n 项和为 S n ，a n+1={a n2,a n 是偶数3a n +1,a n 是奇数．若 S 3=29，则 S 2016= ．54. 已知函数 f (x )=lnx +(e −a )x −b ，其中 e 为自然对数的底数．若不等式 f (x )≤0 恒成立，则b a的最小值为．55. 已知函数 f (x )=∣x ⋅e x ∣，g (x )=f 2(x )+λf (x )，若方程 g (x )=−1 有且仅有 4 个不同的实数解，则实数 λ 的取值范围是． 56. 若 x ∈[1,+∞) 时，关于 x 的不等式xlnx x+1≤λ(x −1) 恒成立，则实数 λ 的取值范围为．57. 已知函数 f (x )=x ∣x 2−a ∣，若存在 x ∈[1,2]，使得 f (x )<2，则实数 a 的取值范围是．58. 已知函数 f (x )={x +1,x ≤0,log 2x,x >0, 则函数 y =f [f (x )]+1 的零点个数是．59. 设 a +b =2，b >0，则 12∣a∣+∣a∣b的最小值为．60. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2)．若 ∀x ∈R ，f (x −1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为．三、解答题（共40小题；共520分）61. 已知集合 A ={x∣ x 2+4x =0}，B ={x∣ x 2+2(a +1)x +a 2−1=0}（1）若 A ∪B =A ∩B ，求实数 a 的值；（2）若 A ∪B =A ，求实数 a 的取值范围．62. 已知函数 f (x ) 和 g (x ) 的图象关于原点对称，且 f (x )=x 2+2x ，（1）求函数 g (x ) 的解析式；（2）解不等式 g (x )≥f (x )−∣x −1∣；（3）若 ℎ(x )=g (x )−λf (x )+1 在 [−1,1] 上是增函数，求实数 λ 的取值范围．63. 已知集合 A ={x∣ (x −2)[x −(3a +1)]<0}，B ={x∣ 2a <x <a 2+1}．（1）当 a =−2 时，求 A ∪B ；（2）求使 B ⊆A 的实数 a 的取值范围．64. 已知集合 A ={x∣ (x −2)[x −(3a +1)]<0}，B ={x∣ 2a <x <a 2+1}．（1）当 a =−2 时，求 A ∪B ；（2）求使 B ⊆A 的实数 a 的取值范围． 65. 解关于 x 的不等式 x −1x >a (x −1)，a ∈R ．66. 已知不等式 ax 2−3x +6>4 的解集为 {x∣ x <1,或x >b}(b >1)．（1）求实数 a ，b 的值；（2）解不等式 ax 2−(ac +b )x +bc <0．67. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，常数 λ>0，且 λa 1a n =S 1+S n 对一切正整数 n 都成立．（1）求数列 {a n } 的通项公式．（2）设 a 1>0，λ=100，当 n 为何值时，数列 {lg1a n} 的前 n 项和最大?68. 已知函数 f (x ) 满足 f (x )=x 3+fʹ(23)x 2−x +C （其中 fʹ(23) 为 f (x ) 在点 x =23 处的导数，C为常数）．（1）求 fʹ(23) 的值；（2）求函数 f (x ) 的单调区间；（3）设函数 g (x )=[f (x )−x 3]⋅e x ，若函数 g (x ) 在 x ∈[−3,2] 上单调，求实数 C 的取值范围．69. 已知函数 f (x )=x −alnx ，g (x )=−1+a x，(a ∈R )（1）若 a =1，求函数 f (x ) 的极值；（2）设函数 ℎ(x )=f (x )−g (x )，求函数 ℎ(x ) 的单调区间．70. 已知函数 f (x )=13x 3−(2k +1)x 2+3k (k +2)x +1，其中 k 为实数．（1）当 k =−1 时，求函数 f (x ) 在 [0,6] 上的最大值和最小值；（2）求函数 f (x ) 的单调区间；（3）若函数 f (x ) 的导函数 fʹ(x ) 在 (0,6) 上有唯一的零点，求 k 的取值范围．71. 已知函数 f (x )=x 2−2ax +5(a >1)．（1）若 f (x ) 的定义域和值域均为 [1,a ]，求实数 a 的值；（2）若 f (x ) 在区间 (−∞,2] 上是减函数，且对任意的 x 1,x 2∈[1,a +1]，总有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤4 成立，求实数 a 的取值范围；（3）若 f (x ) 在区间 [1,3] 上有零点，求实数 a 的取值范围；72. 设函数 f (x )=log 2(x 2−2x −8) 的定义域为 A ，集合 B ={x∣ (x −1)(x −a )≤0}．（1）若 a =−4，求 A ∩B ；（2）若集合 A ∩B 中恰有一个整数，求实数 a 的取值范围． 73. 设 a >0，求函数 f (x )=√x −ln (x +a ),x ∈(0,+∞) 的单调区间．74. 已知数列 {a n } 满足 a n+2=qa n （q 为实数，且 q ≠1），n ∈N ∗，a 1=1，a 2=2，且 a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5 成等差数列．（1）求 q 的值和 {a n } 的通项公式；（2）设 b n =log 2a 2n a 2n−1，n ∈N ∗，求数列 {b n } 的前 n 项和．75. 已知函数 f (x )=lnx ，g (x )=−k x，(k ≠0)（1）求曲线 y =f (x ) 在 (e,f (e )) 处的切线方程；（2）求函数 ℎ(x )=f (x )−g (x ) 的单调递增区间；（3）若对 ∀x ∈(−∞,0)∪(0,+∞) 都有 f (∣x ∣)≥g (∣x ∣) 成立，试确定实数 k 的取值范围．76. 已知函数 f (x )=x −ax −2lnx ，a ∈R ．（1）讨论函数 f (x ) 的单调性；（2）若函数 f (x ) 有两个极值点 x 1，x 2，且 x 1<x 2，求 a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，证明：f (x 2)<x 2−1．77. 设函数 f (x )=px −px −2lnx ，其中 e 是自然对数的底数．（1）当 p =√32时，求函数 f (x ) 的极值（2）若 f (x ) 在其定义域内为单调函数，求实数 p 的取值范围．（3）设 g (x )=2e x，若在 [1,e ] 上至少存在一点 x 0，使得 f (x 0)>g (x 0) 成立，求实数 p 的取值范围．78. 已知函数 f (x )=x 3+ax 2+b 的图象上一点 P (1,0)，且在 P 点处的切线与直线 3x +y =0 平行．（1）求函数 f (x ) 的解析式；（2）求函数 f (x ) 在区间 [0,t ](0<t <3) 上的最大值和最小值；（3）在（1）的结论下，关于 x 的方程 f (x )=c 在区间 [1,3] 上恰有两个相异的实根，求实数 c 的取值范围．79. 已知函数 f (x )=12x 2−(a +1a)x +lnx ，其中 a >0．（1）当 a =2 时，求曲线 y =f (x ) 在点 (1,f (1)) 处切线的方程；（2）当 a ≠1 时，求函数 f (x ) 的单调区间；（3）若 a ∈(0,12)，证明对任意 x 1,x 2∈[12,1](x 1≠x 2)，∣f (x 1)−f (x 2)∣x 12−x 22<12 恒成立．80. 已知函数 f (x )={ x +1x ,x ∈[−2,−1)−2,x ∈[−1,12)x −1x ,x ∈[12,2]．（1）求 f (x ) 的值域；（2）设函数 g (x )=ax −2，x ∈[−2,2]，对于任意 x 1∈[−2,2]，总存在 x 0∈[−2,2]，使得 g (x 0)=f (x 1) 成立，求实数 a 的取值范围．81. 已知关于 x 的不等式 ax 2−(a +2)x +2<0．（1）当 a =−1 时，解不等式；（2）当 a ∈R 时，解不等式．82. 已知函数 f (x )=lnx −a x ，g (x )=f (x )+ax −6lnx ，其中 a ∈R ．（1）讨论 f (x ) 的单调性；（2）设函数ℎ(x)=x2−mx+4，当a=2时，若∃x1∈(0,1)，∀x2∈[1,2]，总有g(x1)≥ℎ(x2)成立，求实数m的取值范围．83. 已知a>0且a≠1，函数f(x)=log a21−x．（1）求f(x)的定义域D及其零点；（2）讨论并证明函数f(x)在定义域D上的单调性；（3）设g(x)=mx2−2mx+3，当a>1时，若对任意x1∈(−∞,−1]存在x2∈[3,4]，使得f(x1)≤g(x2)，求实数m的取值范围．84. 已知函数f(x)=lnx−ax，(a∈R)．（1）若函数f(x)在点(1,f(1))处切线方程为y=3x+b，求a，b值；（2）当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值；（3）设g(x)=x2−2x+2，若对任意x1∈(0,+∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．85. 已知：f(x)=lg ax+11−x，a∈R且a≠−1（1）若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；（2）求函数f(x)的定义域；（3）若函数f(x)在[10,+∞)上是单调增函数，求a的取值范围．86. 已知函数f(x)=(x2−3x+3)⋅e x，设t>−2，f(−2)=m，f(t)=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[−2,t]上为单调函数；（2）试判断m，n的大小并说明理由；（3）求证：对于任意的t>−2，总存在x0∈(−2,t)，满足fʹ(x0)e x0=23(t−1)2，并确定这样的x0的个数．87. 已知函数f(x)=ax2+ln(x+1)．（1）当a=−14时，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间[1,+∞)上为减函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[0,+∞)时，不等式f(x)−x≤0恒成立，求实数a的取值范围．88. （1）等差数列{a n}的前n项和是S n，已知a m−1+a m+1−a m2=0，S2m−1=38，求m；（2）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若S3=9，S6=36，求a7+a8+a9；（3）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，求这个数列的项数；（4）已知数列{a n}的通项公式是a n=4n−25，求数列{∣ a n∣}的前n项和并说出判断数列是等差数列的基本方法．89. 设函数f(x)=(x−1)3−ax−b，x∈R，其中a,b∈R．（1）求f(x)的单调区间；（2）若f(x)存在极值点x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a>0，函数g(x)=∣f(x)∣，求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于14．90. 已知数列{a n}与{b n}满足a n+1−a n=2(b n+1−b n)，n∈N∗．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n≥a n(n∈N∗)，求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ<0，b n=λn(n∈N∗)，求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且Mm∈(−2,2)．91. 已知函数f(x)=e xx−a(x−lnx)．（1）当a=1时，试求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；（2）当a≤0时，试求f(x)的单调区间；（3）若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围．92. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为(0,−1)，离心率e=√22．（1）求椭圆C的方程；（2）过M(0,m)(−1<m<0)的直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出m的值及点T 的坐标；若不存在，请说明理由．93. 给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为√63．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当∣CD∣=√13时，求△AOB面积的最大值．94. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−c,0)，离心率为√33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=b24截得的线段的长为c，∣FM∣=4√33．（1）求直线FM的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于√2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．95. 已知函数f(x)=4x3−3x2cosθ+316cosθ，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ<2π．（1）当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a−1,a)内都是增函数，求实数a的取值范围．96. 已知函数f(x)=(2−a)x−2(1+lnx)+a，g(x)=exe x．（1）若函数f(x)在区间(0,12)无零点，求实数a的最小值；（2）若对任意给定的x0∈(0,e]，在(0,e]上方程f(x)=g(x0)总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．97. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63，直线 l 与 x 轴交于点 E ，与椭圆 C 交于 A,B 两点．当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦 AB 的长为2√63．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 E 的坐标为 (√32,0)，点 A 在第一象限且横坐标为 √3，连接点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P ，求 △PAB 的面积；（3）是否存在点 E ，使得 1EA 2+1EB 2 为定值?若存在，请指出点 E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．98. 已知函数 f (x )=nx −x n ，x ∈R ，其中 n ∈N ∗，且 n ≥2．（1）讨论 f (x ) 的单调性；（2）设曲线 y =f (x ) 与 x 轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P 处的切线方程为 y =g (x )，求证：对于任意的正实数 x ，都有 f (x )≤g (x )；（3）若关于 x 的方程 f (x )=a （a 为实数）有两个正实数根 x 1，x 2，求证：∣x 2−x 1∣<a 1−n+2．99. 已知函数 g (x )=xsinθ−lnx −sinθ 在 [1,+∞) 单调递增，其中 θ∈(0,π)．（1）求 θ 的值；（2）若 f (x )=g (x )+2x−1x 2，当 x ∈[1,2] 时，试比较 f (x ) 与 fʹ(x )+12 的大小关系（其中 fʹ(x )是 f (x ) 的导函数），请写出详细的推理过程；（3）当 x ≥0 时，e x −x −1≥kg (x +1) 恒成立，求 k 的取值范围．100. 已知圆 E 2:x 2+y 2=2，将圆 E 2 按伸缩变换：{xʹ=x,yʹ=√22y后得到曲线 E 1．（1）求 E 1 的方程；（2）过直线 x =2 上的点 M 作圆 E 2 的两条切线，设切点分别是 A ，B ，若直线 AB 与 E 1 交于C ，D 两点，求 ∣CD∣∣AB∣ 的取值范围．答案第一部分 1. C【解析】g (x )=f (1−x )−1={(1−x )2+2(1−x )−1,1−x ≤0∣lg (1−x )∣−1,1−x >0，⇒g (x )={x 2−4x +2,x ≥1∣lg (1−x )∣−1,x <1，当 x ≥1 时，函数 g (x ) 有 1 个零点；当 x <1 时，函数 g (x ) 有 2 个零点，所以函数 g (x ) 的零点个数为 3． 2. A【解析】当 x ≤1 时，关于 x 的不等式 f (x )≥∣∣x 2+a ∣∣ 在 R 上恒成立，即为 −x 2+x −3≤x2+a ≤x 2−x +3，即有 −x 2+12x −3≤a ≤x 2−32x +3，由 y =−x 2+12x −3 的对称轴为 x =14<1，可得 x =14 处取得最大值 −4716；由 y =x 2−32x +3 的对称轴为 x =34<1，可得 x =34处取得最小值 3916，则 −4716≤a ≤3916, ⋯⋯①当 x >1 时，关于 x 的不等式 f (x )≥∣∣x 2+a ∣∣ 在 R 上恒成立，即为 −(x +2x )≤x 2+a ≤x +2x ，即有 −(32x +2x )≤a ≤x2+2x ，由 y =−(32x +2x )≤−2√3x2⋅2x=−2√3（当且仅当 x =3>1）取得最大值 −2√3；由 y =12x +2x ≥2√12x ⋅2x =2（当且仅当 x =2>1）取得最小值 2．则 −2√3≤a ≤2, ⋯⋯② 由 ①② 可得，−4716≤a ≤2．3. D【解析】根据题意，y =a∣x∣ 的图在 x 轴上过原点是折线，关于 y 轴对称：分两种情况讨论，① a >0 时，过第一、二象限，y =x +a 斜率为 1，a >0 时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有 a >1；② a <0 时，y =a∣x∣ 过第三、四象限，而 y =x +a 过第二、三、四象限，若使其图象恰有两个公共点，必有 a <−1； ③ a =0，显然不成立．综上所述，a 的取值范围为 {a ∣∣a <−1或a >1}． 4. D5. B【解析】① 当 x >1 时，不等式化为 xx−1<1+x+x 2，解集为 x >1+√52② 当 0≤x <1 时，不等式化为 x1−x<1+x+x 2，解集为 0≤x <−1+√52③ 当 x <0 时，不等式化为 x 1−x <1，解集为 x <0 综上所述，x <−1+√52或 x >1+√526. C 【解析】提示：按 a 的正负分类即可．7. B【解析】当 a =0 时，方程 f(f (x ))=0 有无数多解，不合题意．当 a ≠0 时，若 f(f (x ))=0，则 f (x )=1．因为 x <0 时，−lnx =1，解得 x =1e ，所以若方程 f(f (x ))=0 有且只有一个实数解，必须 x ≤0 时，方程 a ⋅e x =1 无解，即 e x =1a 在 x ≤0 时无解，所以 1a <0 或 1a >1，解得 a <0 或 a >1． 8. B【解析】因为 f (x )=13x 3+12mx 2+m+n 2x 的两个极值点 x 1，x 2 满足 0<x 1<1<x 2，所以 g (x )=fʹ(x )=x 2+mx +m+n 2 的两个零点 x 1，x 2 满足 0<x 1<1<x 2，则 {g (0)>0,g (1)<0,即 {m +n >0,2+3m +n <0.作出不等式组 {m +n >0,2+3m +n <0表示的平面区域如图所示．显然当 0<a <1 时，y =log a (x +4) 的图象经过该平面区域；当 a >1 时，若 y =log a (x +4) 的图象经过该平面区域，需 1<log a (−1+4)，即 log a a <log a 3，解得 1<a <3．综上可知，实数 a 的取值范围是 (0,1)∪(1,3)． 9. C【解析】因为 ∣f (x )∣≥ax −1 恒成立，所以 ax ≤∣f (x )∣+1 恒成立．①当 x >0 时，a ≤∣ln (x+1)∣+1x恒成立，即 a ≤ln (x+1)+1x恒成立．此时 a ≤0． ②当 x ≤0 时，a ≥∣−x 2+2x∣+1x恒成立，即 a ≥x 2−2x+1x恒成立，即 a ≥x +1x−2 恒成立．即 a ≥−4．综上，a 的取值范围为 [−4,0]． 10. A【解析】以线段 F 1F 2 的中点为原点，F 1F 2 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设 F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P (x,y )，则 c >0．依题意有 ∣x +c ∣+∣y ∣+∣x −c ∣+∣y ∣=2a （a 为定值），整理得 ∣x +c ∣+∣x −c ∣+2∣y ∣=2a ．当 x ≤−c 时，化为 ∣y ∣=x +a ，即 {y =x +a,y ≥0,y =−x −a,y <0.当 x ≥c 时，化为 ∣y ∣=−x +a ，即 {y =−x +a,y ≥0,y =x −a,y <0.当 −c <x <c 时，化为 2c +2∣y ∣=2a ，即 ∣y ∣=−c +a ．11. D 【解析】函数 y =f (x )−g (x ) 有 4 个零点，即方程 f (x )+f (2−x )=b 有四个不同的实根，函数 y =f (x ) 和函数 y =f (2−x ) 的图象关于直线 x =1 对称，画出它们的图象如图所示，其中红色线表示的是 y =f (2−x ) 的图象，分析知，当 0≤x ≤2 时，f (x )+f (2−x )=2，当 x >2 时，f (x )+f (2−x )=(x −2)2+2−∣2−x ∣=x 2−5x +8，再由对称性，可以画出函数 y =f (x )+f (2−x ) 在 R 上的图象，如图所示，结合图象分析，显然当 b ∈(74,2) 时，f (x )+f (2−x )=b 有四个不同的实根．12. C 【解析】由 y =log a (x +1)+1 在 [0,+∞) 上递减，则 0<a <1，又 f (x ) 在 R 上单调递减，则：{02+(4a −3)⋅0+3a ≥f (0)=1,3−4a 2≥0,⇒13≤a ≤34．由图象可知，在 [0,+∞) 上，∣f (x )∣=2−x 有且仅有一个解，故在 (−∞,0) 上，∣f (x )∣=2−x 有且仅有一个解，当 3a >2，即 23<a ≤34时，由 ∣x 2+(4a −3)x +3a ∣=2−x 得 x 2+(4a −2)x +3a −2=0，则 Δ=(4a −2)2−4(3a −2)=0，解得：a =34 或 1（舍），当 3a ≤2 即 13≤a ≤23 时，由图象可知，符合条件．综上：a ∈[13,23]∪{34}．13. C 【解析】因为 f (x )=∣2x −1∣={2x −1,x ≥12−2x +1,x <12，所以 f(f (x ))=|2|2x −1|−1|={ 4x −3,x >34−4x +3,12<x ≤344x −1,14<x ≤12−4x +1,x ≤14．分别画出 y =f(f (x )) 与 y =log a (x +1) 的图象，因为 y =log a (x +1) 的图象是由 y =log a x 的图象向左平移一个单位得到的，且过点 (0,0)，当 x =1 时，y =f(f (1))=1，此时 log a (1+1)=1，解得 a =2，有 4 个交点，当 x =12 时，y =f (f (12))=1，此时 log a (12+1)=1，解得 a =32，有 2 个交点，综上所述 a 的取值范围为 (32,2)．14. D 【解析】当 x ∈(0,2] 时，x −2∈(−2,0]，则 f (x )=2(1−2∣x −2+1∣)=2(1−∣x −1∣)；当 x ∈(2,4] 时，有 x −2∈(0,2]，则 f (x )=4(1−∣x −2−1∣)=4(1−∣x −3∣)；作出函数 f (x ) 在 [−2,4] 上的图象，结合函数的图象，当 a =0 时，方程 f (x )=x +a 有 4 个零点；当 a =1 时，方程 f (x )=x +a 有 3 个零点；平移直线 y =x ，当 a =−2 时，方程 f (x )=x +a 有 2 个零点，所以当 −2<a <0 时，方程 f (x )=x +a 有 3 个零点，所以满足方程 f (x )=x +a 在区间 [−2,4] 内有 3 个不等实根时，a 的取值范围是 −2<a <0 或 a =1．15. A【解析】f (x )−g (x )=0，即 f (x )+f (2−x )=3，而函数 y =f (x ) 与 y =f (2−x ) 的图象关于直线 x =1 对称，画出函数 y =f (x ) 与 y =f (2−x ) 的图象，如图所示，红色线表示的为函数 y =f (2−x ) 的图象，分析知，当 0≤x ≤2 时，f (x )+f (2−x )=2，当 x >2 时，f (x )+f (2−x )=(x −2)2+2−∣2−x ∣=x 2−5x +8，再由对称性，可以画出 f (x )+f (2−x ) 在 R 上的图象，如图所示，结合图象分析，显然 f (x )+f (2−x )=3 有两个不同的实根．16. B 【解析】因为 f (x )={kx +1,x ≤0lnx,x >0，所以通过分类可以得到 y =f [f (x )]+1 的解析式为 y ={ln (lnx )+1,x >1klnx +1,0<x ≤1ln (kx +1)+1,x ≤0,kx +1>0k 2x +k +2,x ≤0,kx +1≤0.当 x >1 时，令 y =ln (lnx )+1=0，解得 x =e 1e ．当 0<x ≤1 时，令 y =klnx +1=0，解得 x =e −1k，结合前面 x 的范围，得到 k >0．当 x <0,kx +1>0 时，令 ln (kx +1)+1=0，解得 x =1−e ke ，结合前面 x 的范围，得到 k >0．当 x <0,kx +1≤0 时，令 k 2x +k +2=0，解得 x =−k−2k 2，结合前面 x 的范围，得到 k >0．综上所述，当 k >0 时，有 4 个零点；当 k <0 时，有 1 个零点．17. D 【解析】函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点即函数 f (x )=∣lnx∣ 与 y =ax 在区间 (0,3] 上有三个交点．画图如下．当 a ≤0 时，显然，不合乎题意，当 a ＞0 时，由图知，当 x ∈(0,1] 时，存在一个交点，当 x ＞1 时，f (x )=lnx ，可得 g (x )=lnx −ax (x ∈(1,3])，gʹ(x )=1x −a =1−ax x，若 gʹ(x )＜0，可得 x ＞1a ，g (x )为减函数，若 gʹ(x )＞0，可得 x ＜1a，g (x ) 为增函数，此时 y =f (x ) 与 y =ax 必须在 [1,3] 上有两个交点，即 y =g (x ) 在 [1,3] 上有两个零点，所以 {g (1a )＞0,g (3)≤0,g (1)≤0,解得 ln33≤a ＜1e ，故函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点时，ln33≤a ＜1e ．18. C 【解析】当向量 a ⃗=b ⃗⃗ 时，可得向量 a ⃗，b⃗⃗ 均为零向量，不等式成立；当 k =0 时，有 a ⃗=0⃗⃗，则 ∣∣a ⃗−xb ⃗⃗∣∣≤λ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣ ，即为 x ∣b ⃗⃗∣≤λ∣b ⃗⃗∣，有 λ≥x 恒成立，由 x ≤1，可得 λ≥1；当 k ≠0 时，a ⃗≠0⃗⃗，由题意可得 ∣∣a ⃗−xb ⃗⃗∣∣≤λ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=λk ∣a⃗∣ ，当 k >1 时，∣a ⃗∣=k ∣a ⃗−b ⃗⃗∣>∣a ⃗−b ⃗⃗∣，由 ∣a ⃗−xb ⃗⃗∣≤∣a ⃗−b ⃗⃗∣<∣a ⃗∣，可得 ∣a ⃗⃗−xb ⃗⃗∣∣a ⃗⃗∣≤1，所以 λk≥1，即 λ≥k ．所以 λ 的最小值为 k+1+∣k−1∣2．19. D 【解析】fʹ(x )=xcosx−sinxx 2(0<x <π)．（i ）当 x =π2时，fʹ(x )=−4π2<0；（ii ）当 0<x <π，且 x ≠π2时，fʹ(x )=xcosx−sinxx 2=cosx (x−tanx )x 2．① 当 0<x <π2 时，根据三角函数线的性质，得 x <tanx ，又 cosx >0，所以 fʹ(x )<0； ② 当 π2<x <π 时，tanx <0，则 x −tanx >0，又 cosx <0，所以 fʹ(x )<0．综合（i ）（ii ），当 0<x <π 时，fʹ(x )<0．所以 f (x ) 在 (0,π) 上是减函数．若 π3<a <b <2π3，则 π3<a <√ab <a+b 2<b <2π3，所以 f (a )>f(√ab)>f (a+b 2)>f (b )．20. C【解析】根据题意，不等式 x 2−12<a x 对任意的 x ∈(−1,1) 恒成立，即函数 ℎ(x )=x 2−12 的图象恒在函数 g (x )=a x 图象的下方．根据图象，只需 {g (−1)≥ℎ(−1),g (1)≥ℎ(1),即 {a −1≥12,a ≥12,解得 12≤a ≤2．再结合 a >0,a ≠1，得 a ∈[12,1)∪(1,2]．21. D 【解析】fʹ(x )=e x +xe x −m (x +1)=(x +1)(e x −m )，因为 1≤x ≤2，所以 e ≤e x ≤e 2，①当 m ≤e 时，e x −m ≥0，由 x ≥1，可得 fʹ(x )≥0，此时函数 f (x ) 单调递增．所以当 x =1 时，函数 f (x ) 取得最小值，f (1)=e −32m ．②当 m ≥e 2 时，e x −m ≤0，由 x ≥1，可得 fʹ(x )≤0，此时函数 f (x ) 单调递减．所以当 x =2 时，函数 f (x ) 取得最小值，f (2)=2e 2−4m ． ③当 e 2>m >e 时，由 e x −m =0，解得 x =lnm ．当 1≤x <lnm 时，fʹ(x )<0，此时函数 f (x ) 单调递减；当 lnm <x ≤1 时，fʹ(x )>0，此时函数 f (x ) 单调递增．所以当 x =lnm 时，函数 f (x ) 取得极小值即最小值，f (lnm )=−m 2ln 2m ．22. C 【解析】因为 fʹ(x )=1−(1+lnx )x 2=−lnx x 2，所以 f (x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,,+∞) 上单调递减，当 a >0 时，f 2(x )+af (x )>0⇔f (x )<−a 或 f (x )>0，此时不等式 f 2(x )+af (x )>0 有无数个整数解，不符合题意；当 a =0 时，f 2(x )+af (x )>0⇔f (x )≠0，此时不等式 f 2(x )+af (x )>0 有无数个整数解，不符合题意；当 a <0 时，f 2(x )+af (x )>0⇔f (x )<0 或 f (x )>−a ，要使不等式 f 2(x )+af (x )>0 恰有两个整数解，必须满足 f (3)≤−a <f (2)，得 −1+ln22<a ≤−1+ln33．23. D 【解析】当 x >0 时，f (x )=e x x，函数的导数 fʹ(x )=e x ⋅x−e xx 2=e x (x−1)x 2，当 x >1 时，fʹ(x )>0，当 0<x <1 时，fʹ(x )<0，则当 x =1 时，函数取得极小值 f (1)=e ，当 x <0 时，f (x )=−e xx ，函数的导数 fʹ(x )=−e x ⋅x−e xx 2=−e x (x−1)x 2，此时 fʹ(x )>0 恒成立，此时函数为增函数，．作出函数 f (x ) 的图象如图：设t=f(x)，则t>e时，t=f(x)有3个根，当t=e时，t=f(x)有2个根，当0<t<e时，t=f(x)有1个根，当t≤0时，t=f(x)有0个根，则f2(x)−2af(x)+a−1=0(m∈R)有三个相异的实数根，等价为t2−2at+a−1=0(m∈R)有2个相异的实数根，当t=e时，e2−2ae+a−1=0，即a=e2−12e−1，此时满足条件．24. A 【解析】若a<0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e x+1≥ax+b对x∈R 恒成立，则a≥0．若a=0，则ab=0．若a>0，由e x+1≥ax+b得b≤e x+1−ax，则ab≤ae x+1−a2x．设函数f(x)=ae x+1−a2x，所以fʹ(x)=ae x+1−a2=a(e x+1−a)，令fʹ(x)=0得e x+1−a=0，解得x=lna−1，因为x<lna−1时，x+1<lna，则e x+1<a，则e x+1−a<0，所以fʹ(x)<0，所以函数f(x)递减；同理，x>lna−1时，fʹ(x)>0，所以函数f(x)递增；所以当x=lna−1时，函数取最小值，f(x)的最小值为f(lna−1)=2a2−a2lna．设g(a)=2a2−a2lna(a>0)，gʹ(a)=a(3−2lna)(a>0)，由gʹ(a)=0得a=e 32，不难得到a<e32时，gʹ(a)>0；a>e32时，gʹ(a)<0；所以函数g(a)先增后减，所以g(a)的最大值为g(e 32)=12e3，即ab的最大值是12e3，此时a=e32，b=12e32．25. C【解析】当x∈[0,2]时，f(x)=4(1−∣x−1∣)，当n=2时，x∈[2,6]，此时x2−1∈[0,2]，则f(x)=12f(x2−1)=12×4(1−∣∣x2−1−1∣∣)=2(1−∣∣x2−2∣∣),当 n =3 时，x ∈[6,14]，此时 x 2−1∈[2,6]，则 f (x )=12f (x 2−1)=12×2(1−∣∣x 4−52∣∣)=1−∣∣x 4−52∣∣，由 g (x )=f (x )−log a x =0，得 f (x )=log a x ，分别作出函数 f (x ) 和 y =log a x 的图象，若 0<a <1，则此时两个函数图象只有 1 个交点，不满足条件．若 a >1，当对数函数图象经过 A 时，两个图象只有 2 个交点，当图象经过点 B 时，两个函数有 4 个交点，则要使两个函数有 3 个交点，则对数函数图象必须在 A 点以下，B 点以上，因为 f (4)=2，f (10)=1，所以 A (4,2)，B (10,1)，即满足 {log a 4<f (4),log a 10>f (10), 即 {log a 4<2,log a 10>1, 解得 {a 2>4,a <10,即 2<a <10．26. D 【解析】由题意 f (x )=log a x （a >0 且 a ≠1）与 g (x )=sin π2x 图象有 3 个交点，sin π2x ∈[−1,1] 如图所示，①当 a >1 时，f (x ) 恒过点 (1,0)，在 (0,+∞) 上单调递增，所以 f (x ) 与 g (x ) 在 (1,2)(4,5)(5,6) 上有 3 个交点．所以 {a >1,log a 5<1,log a 9>1,得 5<a <9．②当 0<a <1 时，f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递减，f (x ) 与 g (x ) 在 (0,1)，(2,3)，(3,4) 上有 3 个交点．所以 {0<a <1,log a 3>−1,log a 7<−1,所以 17<a <13．综合①②可得 a 的取值范围为 (17,13)∪(5,9)．27. C 【解析】函数 f (x )=x 3−6x 2+9x ，导数为 f ′(x )=3x 2−12x +9=3(x −1)(x −3)，可得 f (x ) 的极值点为 1，3，由 f (0)=0，f (1)=4，f (3)=0，f (4)=4，可得 f (x ) 在 [0,4] 的值域为 [0,4]；g (x )=13x 3−a+12x 2+ax −13(a >1)，导数为 g ′(x )=x 2−(a +1)x +a =(x −1)(x −a )，当 1<x <a 时，g ′(x )<0，g (x ) 递减；当 x <1 或 x >a 时，g ′(x )>0，g (x ) 递增．由 g (0)=−13，g (1)=12(a −1)，g (a )=−16a 3−12a 2−13>−13，g (4)=13−4a ，当 3≤a ≤4 时，13−4a ≤12(a −1)，g (x ) 在 [0,4] 的值域为 [−13,12(a −1)]，由对任意的 x 1∈[0,4]，总存在 x 2∈[0,4]，使得 f (x 1)=g (x 2)，可得 [0,4]⊆[−13,12(a −1)]，即有 4≤12(a −1)，解得 a ≥9不成立；当 1<a <3 时，13−4a >12(a −1)，g (x ) 在 [0,4] 的值域为 [−13,13−4a]，由题意可得 [0,4]⊆[−13,13−4a]，即有 4≤13−4a ，解得 a ≤94，即为 1<a ≤94；当 a >4 时，可得 g (1) 取得最大值，g (4)<−3 为最小值，即有 [0,4]⊆[13−4a,12(a −1)]，可得 13−4a ≤0，4≤12(a −1)，即 a ≥134，且 a ≥9，解得 a ≥9．综上可得，a 的取值范围是 (1,94]∪[9,+∞)．28. B 【解析】函数 f (x )=f (2−x ) 图象关于 x =1 对称，函数 y =∣x 2−2x −3∣ 图象也关于 x =1 对称．（1）若 m 为奇数，设 m =2k +1，由对称可知：x 1+x 2k+1=2，x 2+x 2k =2，⋯，x k +x k+2=2，x k+1=1，解得 ∑x i m i=1=x 1+x 2+⋯+x 2k +x 2k+1=2k +1=m ．（2）若 m 为偶数，设 m =2k ，由对称可知， x 1+x 2k =2，x 2+x 2k−1=2，⋯，x k +x k+1=2，解得 ∑x i m i=1=x 1+x 2+⋯+x 2k−1+x 2k =2k =m ．29. A 【解析】因为 f (x )=a |x+b|(a >0且a ≠1,b ∈R) 是偶函数，所以 f (−x )=f (x )，即 a |−x+b|=a |x+b|，即 |x −b|=|x +b|，即 b =0，则 f (x )=a |x|．因为 a >0 且 a ≠1，所以 a +2>2 且 a ≠3，而 b −3=−3，即 f (b −3)=f (−3)=f (3)．若 a >1，则 f (x ) 在 (0,+∞) 上为增函数，此时 a +2>3，则 f (b −3)<f (a +2)．若 0<a <1，则 f (x ) 在 (0,+∞) 上为减函数，此时 2<a +2<3，则 f (b −3)<f (a +2)．综上所述 f (b −3)<f (a +2)． 30. C【解析】当 m <0 时，函数 f (x ) 的图象为开口向下的抛物线，所以在 x >0 时，f (x )>0 不恒成立．函数 g (x )=mx 当 x >0 时，g (x )<0．所以不满足题意．当 m =0 时，f (x )=−8x +1，g (x )=0，不满足题意．当 m >0 时，需 f (x )>0 在 x <0 时恒成立，所以令 Δ<0 或 {Δ≥0,−b2a≥0,f (0)>0,即 4(4−m )2−8m <0 或 {4(4−m )2−8m ≥0,4−m 2m ≥0.解得 2<m <8 或 0<m ≤2．综合得：0<m <8．第二部分 31. −1【解析】互异复数 mn ≠0，集合 {m,n }={m 2,n 2}，所以 m =m 2，n =n 2，或 n =m 2，m =n 2，mn ≠0，m ≠n ．由 m =m 2，n =n 2，mn ≠0，m ≠n ，无解． n =m 2，m =n 2，mn ≠0，m ≠n ．可得 n −m =m 2−n 2，解得 m +n =−1． 32. {a∣ a =5+3√338或−95}【解析】设 f (x )=0，可得 ∣x −a ∣−3x +a =2，设 g (x )=∣x −a ∣−3x +a ，ℎ(x )=2，函数 g (x )={2a −x −3x,x ≤ax −3x,x >a，不妨设 f (x )=0 的 3 个根为 x 1，x 2，x 3，且 x 1<x 2<x 3，当 x >a 时，f (x )=0，解得 x =−1，x =3；① a ≤−1，因为 x 2=−1，x 3=3，由等差数列的性质可得 x 1=−5，由 f (−5)=0，解得 a =−95，满足 f (x )=0 在 (−∞,a ] 上有一解．② −1<a ≤3，f (x )=0 在 (−∞,a ] 上有两个不同的解，不妨设 x 1，x 2，其中 x 3=3，所以有 x 1，x 2 是 2a −x −3x =2 的两个解，即 x 1，x 2 是 x 2−(2a −2)x +3=0 的两个解．得到 x 1+x 2=2a −2，x 1x 2=3，又由设 f (x )=0 有 3 个根为 x 1，x 2，x 3 成等差数列，且 x 1<x 2<x 3，得到 2x 2=x 1+3，解得：a =5+3√338或5−3√338（舍去）； ③ a >3，f (x )=0 最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a =5+3√338或−95．33. −23【解析】作出不等式组 {y ≥12x,y ≤2x,x +4y ≤9,对应的平面区域如图：（阴影部分）．由 z =x −ay 的最大值为 4，得 y =1a x −za ，。

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