空间向量与空间解析几何
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知识目标
了解二次曲面的标准方程；
理解空间直角坐标系、向量的概念；
会判断平面与平面、直线与直线以及 直线与平面间的关系；
掌握向量的线性运算、向量平行和垂 直的条件、几种常见的曲面方程；
熟练掌握两点间的距离公式、平面与 直线的各种方程.
能力目标
通过几何问题代数化，培养学生的抽 象思维能力、逻辑推理能力和空间想 象能力.
德育目标
借助数形结合的思想，将研究问题的 不同方法进行联结，提高学生的综合 素质与人文素养.
7.1 空间向量及其线性运算
了解空间向量的概念,掌握空间向 量的基本定理及其意义,建立空间 直角坐标系，以向量为工具,利用 空间向量的坐标和相关运算解决 空间中的几何问题.
7.1.1 空间直角坐标系
过空间一个定点O,作三条相互垂直 的数轴,它们都以O 为原点且一般
d OM x2 y2 z2
练习
1.利用两点间距离公式求下列两点间距离. （1） A（3，4，0） B （0，4，3） （2）C（3，0，0） D（0，-1，0）
2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B （-2，4，1）的距离相等.
7.1.2 向量的概念
定义7.1 既有大小又有方向的量称为向量(或 矢量);向量的大小称为向量的模.
记作
a // b
注 零向量与任何向量都平行.
平行向量又可称作共线向量. a
图示
b
7.1.3 向量的线性运算
向量的线性运算
向
向
向
量
量
量
的
的
的
加
减
数
法
法
乘
运
运
运
算
算
算
加法运算
三角形法则
图示
A
运
算
法 则
平等四边行法则
C B
AB BC AC
图示 D
A
C AB AD AC
B
减法运算
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第
I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆时
三角形法则
C
图示
运
A
算
法 则 平等四边行法则
图示 D
A
AB AC CB B
C
AB AD DB
B
数乘运算
一个向量 a与一个实数 的乘积. 记作 a
注 数乘运算后的结果仍是一个向量.
若有
a
a a0
成立,则称向量
a0
为原向量
a
同方向的
单位向量.
定理
向量
a 与向量
针方向先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分依
次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
练习
1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？ A（1，-2，3） B （2，3，-4） C（2，-3，4） D（-2，-2，1）
2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？ 指出下列各点的位置. A（3，4，0） B （0，4，3） C（3，0，0） D（0，-1，0）
记作 0
单位向量 记作
模长为1的向量.
e
(方向未做规定)
向量的三种关系
相等向量 模长相等,方向相同的两个向量.
记作
a
b
注 与始点、终点位置无关；
图示
向量可以在a空间中任意平移.
b
相反向量 记作 注
图示
模长相等,方向相反的向量.
a
a
a
a a
平行向量 方向相同或相反的非零向量.
具有相同的长度单位,这三条轴分
别叫做x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴),统称坐标轴.
通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅
垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握
住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向 正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.
这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系
b
平行(或共线)的充要条件是：
存在不全为零的实数
和
,使得a
b
0.
例题
已求知：2aa
e31b2ce2.
3e3，b
2e1
3e2
e3，c
13e2
3e3，
解：
2a
3b
c
2e1
2e2
3e3
表 达 方 式 图示 向量的模
代数法
用带有箭头的小写字母
a,
b,
c,
表示
或用黑体字母, , , 表示.
几何法
用始点为A 终点为B 的有向线段 AB 表示
A
B 记作向量AB(或 a， )
AB (或 a， ) (注：模长是标量)
两个基本向量
零向量 模长为零的向量. (方向是任意的)
x1 x2
x
O M1 P
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
M2
Q y1
y2 y
M2 (Q )
两点间距离公式：
d M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离：
它们之间的距离为d = |M1M2|. 过点 M1 、M2 各作三个平面分别垂直 z 于三个坐标轴,形成如图的长方体. z2
d 2 M1M2 2
M1Q 2 QM2 2 （△M1QM2 是直角三角形）
z1 M1
P
M1P 2 PQ 2 QM2 2
（△M1PQ都是直角三角形） M1P 2 PM2 2 QM2 2
点坐标
空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、 z之间建立起一一对应的关系.
这组数就叫做点P 的坐标，并依次称x、y、z为 点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P (x,y,z).
z C
z xO
P (x,y,z)
y
By
x
A
两点间距离
任取空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),
3
2e1
3e2
e3
13e2
3e3
2e1
6e1
4e2
9e2
13e2
6e3
3e3
3e3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
8e1
向量的坐标
在 同为空向向间的量直单a 角位的坐向分标量解系式i、O；xajy、z中ka，x.，则取a称与y，Oaax轴z a、x称iO为ya轴向y 、j量O的azz轴坐k
了解二次曲面的标准方程；
理解空间直角坐标系、向量的概念；
会判断平面与平面、直线与直线以及 直线与平面间的关系；
掌握向量的线性运算、向量平行和垂 直的条件、几种常见的曲面方程；
熟练掌握两点间的距离公式、平面与 直线的各种方程.
能力目标
通过几何问题代数化，培养学生的抽 象思维能力、逻辑推理能力和空间想 象能力.
德育目标
借助数形结合的思想，将研究问题的 不同方法进行联结，提高学生的综合 素质与人文素养.
7.1 空间向量及其线性运算
了解空间向量的概念,掌握空间向 量的基本定理及其意义,建立空间 直角坐标系，以向量为工具,利用 空间向量的坐标和相关运算解决 空间中的几何问题.
7.1.1 空间直角坐标系
过空间一个定点O,作三条相互垂直 的数轴,它们都以O 为原点且一般
d OM x2 y2 z2
练习
1.利用两点间距离公式求下列两点间距离. （1） A（3，4，0） B （0，4，3） （2）C（3，0，0） D（0，-1，0）
2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B （-2，4，1）的距离相等.
7.1.2 向量的概念
定义7.1 既有大小又有方向的量称为向量(或 矢量);向量的大小称为向量的模.
记作
a // b
注 零向量与任何向量都平行.
平行向量又可称作共线向量. a
图示
b
7.1.3 向量的线性运算
向量的线性运算
向
向
向
量
量
量
的
的
的
加
减
数
法
法
乘
运
运
运
算
算
算
加法运算
三角形法则
图示
A
运
算
法 则
平等四边行法则
C B
AB BC AC
图示 D
A
C AB AD AC
B
减法运算
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第
I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆时
三角形法则
C
图示
运
A
算
法 则 平等四边行法则
图示 D
A
AB AC CB B
C
AB AD DB
B
数乘运算
一个向量 a与一个实数 的乘积. 记作 a
注 数乘运算后的结果仍是一个向量.
若有
a
a a0
成立,则称向量
a0
为原向量
a
同方向的
单位向量.
定理
向量
a 与向量
针方向先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分依
次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
练习
1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？ A（1，-2，3） B （2，3，-4） C（2，-3，4） D（-2，-2，1）
2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？ 指出下列各点的位置. A（3，4，0） B （0，4，3） C（3，0，0） D（0，-1，0）
记作 0
单位向量 记作
模长为1的向量.
e
(方向未做规定)
向量的三种关系
相等向量 模长相等,方向相同的两个向量.
记作
a
b
注 与始点、终点位置无关；
图示
向量可以在a空间中任意平移.
b
相反向量 记作 注
图示
模长相等,方向相反的向量.
a
a
a
a a
平行向量 方向相同或相反的非零向量.
具有相同的长度单位,这三条轴分
别叫做x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴),统称坐标轴.
通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅
垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握
住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向 正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.
这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系
b
平行(或共线)的充要条件是：
存在不全为零的实数
和
,使得a
b
0.
例题
已求知：2aa
e31b2ce2.
3e3，b
2e1
3e2
e3，c
13e2
3e3，
解：
2a
3b
c
2e1
2e2
3e3
表 达 方 式 图示 向量的模
代数法
用带有箭头的小写字母
a,
b,
c,
表示
或用黑体字母, , , 表示.
几何法
用始点为A 终点为B 的有向线段 AB 表示
A
B 记作向量AB(或 a， )
AB (或 a， ) (注：模长是标量)
两个基本向量
零向量 模长为零的向量. (方向是任意的)
x1 x2
x
O M1 P
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
M2
Q y1
y2 y
M2 (Q )
两点间距离公式：
d M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离：
它们之间的距离为d = |M1M2|. 过点 M1 、M2 各作三个平面分别垂直 z 于三个坐标轴,形成如图的长方体. z2
d 2 M1M2 2
M1Q 2 QM2 2 （△M1QM2 是直角三角形）
z1 M1
P
M1P 2 PQ 2 QM2 2
（△M1PQ都是直角三角形） M1P 2 PM2 2 QM2 2
点坐标
空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、 z之间建立起一一对应的关系.
这组数就叫做点P 的坐标，并依次称x、y、z为 点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P (x,y,z).
z C
z xO
P (x,y,z)
y
By
x
A
两点间距离
任取空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),
3
2e1
3e2
e3
13e2
3e3
2e1
6e1
4e2
9e2
13e2
6e3
3e3
3e3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
8e1
向量的坐标
在 同为空向向间的量直单a 角位的坐向分标量解系式i、O；xajy、z中ka，x.，则取a称与y，Oaax轴z a、x称iO为ya轴向y 、j量O的azz轴坐k