等差数列和等比数列的证明方法
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等差数列与等比数列的证明方法
证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法
01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：
{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列
{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列
02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：
{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列
03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
{}1
(00)n n n
a q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
1
n
n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有
1
n
n a q a -==（常数0≠）；②
n *∈N 时，有
1
n n
a q a +==（常数0≠）． 例1. 设数列12,,
,,
n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有
1223
111
11
1n n n n
a a a a a a a a +++++
=
。 证明：先证必要性
设{}n a 为等差数列，公差为d ，则 当d =0时，显然命题成立 当d ≠0时， ∵
111111
n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
再证充分性：
∵
122334111
a a a a a a ++
⋅⋅⋅111
1n n n n
a a a a ++++
=⋅⋅ ………① ∴122334
111
a a a a a a ++
⋅⋅⋅11212
111
n n n n n n a a a a a a +++++++
+=⋅⋅⋅ ………② ②﹣①得：
121211
11n n n n n n
a a a a a a +++++=-⋅⋅⋅
两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+
即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列
例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是
)(,2
)
(*1N n a a n S n n ∈+=
。 证：⇒）若}{n a 为等差数列，则
=+=+=+--23121n n n a a a a a a ……，
故
)(.......)()(21221a a a a a a S n n n n ++++++=-
2
)
(1n n a a n S +=
（⇐）当n ≥2时，由题设，2
)
(,2))(1(1111n n n n a a n S a a n S +=+-=
--
所以2
)
)(1(2)(11211--+--+=
-=n n n n a a n a a n S S a 同理有2
)
(2))(1(1111n n n a a n a a n a +-++=
++
从而2
)
)(1()(2))(1(111111-+++-++-++=-n n n n n a a n a a n a a n a a
整理得：a n +1－a n =a n －a n －1，对任意n ≥2成立. 从而{a n }是等差数列.
例3.已知数列{}n a 是等比数列（1q ≠-），n S 是其前n 项的和，则232k k k k k S S S S S --，，，…，仍成等比数列。
证明一：
（1）当q =1时，结论显然成立；
（2）当q ≠1时， ()()()2311123111,,111k k k k k k a q a q a q S S S q q
q
---=
=
=
---
()()21121111k k k k a q a q S S q
q
---=
-
--()111k k a q q q -=
-
()()3211321111k k k k a q a q S S q
q
---=
-
--()2111k k a q q q
-=
-
()()2
222
122
1(1)k k k k a q q S S q -∴-=
-()()2113211()11k k k k k k a q a q q S S S q q
--⋅-=⋅--()
2
2212
1(1)k k a q q q -=- ∴()2
2k k S S -=32()k k k S S S ⋅- ∴232k k k k k S S S S S --，，成等比数列. 证明二：2k S －k S =1232()k a a a a +++－123()k a a a a +++
=1232k k k k a a a a ++++++
=123()k k q a a a a +++=k k q S 0≠
同理，3k S －2k S =2122233k k k k a a a a ++++++= 2k k q S 0≠
∴232k k k k k S S S S S --，，成等比数列。
练习：
二、中项法
(1).(充要条件)
若{}1
22n n n n a a a a ++=+⇔是等差数列
(注：三个数c b a ,,为等差数列的充要条件是:c a b +=2)
(充分条件)
211-++=n n n a a a (2≥n ){}n a ⇒是等差数列，
（2）.(充要条件)
若 2
21(0)n n n n a a a a ++=≠ {}n a ⇔是等比数列
(充分条件)
1
12-+⋅=n n n a a a （n ≥1）{}n a ⇒是等比数列，
注
:
(0)b a c =⋅>⇒是a 、b 、c 等比数列的充分不必要条件
b =⇒是a 、b 、
c 等比数列的必要不充分条件.