2019年解步步高大一轮讲义85.doc

§8.5空间向量及其运算

1.空间向量的有关概念

名称概念表示

零向量模为 0 的向量0

单位向量长度 (模 )为 1 的向量

相等向量方向相同且模相等的向量a＝ b

相反向量方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为－ a

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线

a∥ b 互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理

对空间任意两个向量a， b(b≠ 0)， a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得 a＝λb.

推论如图所示，点P 在 l 上的充要条件是

→→

①

OP＝ OA＋ t a

→→

其中 a 叫直线l的方向向量，t∈ R，在l上取AB＝ a，则①可化为OP＝

→→ →→→

OA＋ tAB或 OP＝ (1－ t)OA＋ tOB .

(2)共面向量定理的向量表达式： p＝x a＋y b，其中x，y∈R ， a， b 为不共线向量，推论的

表达式为→→→

MP ＝ xMA ＋ yMB 或对空间任意一点

→→→→→→

O，有 OP＝ OM ＋ xMA ＋ yMB 或 OP＝ xOM ＋

→→

yOA＋ zOB，其中x＋ y＋ z＝ __1__.

(3) 空间向量基本定理

如果三个向量a，b， c 不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{ x， y， z} ，使得p＝x a＋y b＋z c，把{ a， b， c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律

(1) 数量积及相关概念

①两向量的夹角

→→

已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点O，作OA＝ a，OB＝ b，则∠AOB叫做向量 a 与

π

b 的夹角，记作〈 a， b〉，其范围是0≤〈 a， b〉≤π，若〈 a，b〉＝2，则称 a 与 b 互相垂

直，记作 a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈 a， b〉叫做向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b ＝ |a||b|cos〈a，b〉 .

(2)空间向量数量积的运算律①结合

律： (λa) ·b＝λ(a·b)；②交换

律： a·b＝ b·a；③分配律：

a·(b＋c)＝a·b＋ a·c.

4.空间向量的坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算

设 a＝( a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

(2) 共线与垂直的坐标表示

设 a＝( a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则 a∥b? a＝λb? a1＝λb，1a2＝λb，2a3＝λb3

(λ∈R)，

a⊥b? a·b＝0? a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a， b 均为非零向量).

(3)模、夹角和距离公式

设 a＝( a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则 |a|＝a·a＝ a21＋ a22＋ a23，

a·b ＝a1b1＋ a2b2＋ a3b3

cos〈a，b〉＝|a||b|a12＋ a

2

2＋ a

3

2· b

1

2＋b

2

2＋b

3

2

.

设 A( a1， b1， c1 )，B(a2， b2， c2)，

→

a2－ a12＋ b2－ b12＋ c2－ c12.

则 d AB＝ |AB|＝

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1) 空间中任意两非零向量

(2) 在向量的数量积运算中a，b 共面.

(a·b) ·c＝a·(b·c).

(

(

√

×

)

)

(3) 对于非零向量 b ，由 a ·b ＝ b ·c ，则 a ＝ c .

(

× )

(4) 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同

.

( × )

→ → → →

( √ )

(5) 若 A 、 B 、 C 、 D 是空间任意四点，则有 AB ＋ BC ＋ CD ＋DA ＝ 0. (6)|a |－ |b |＝ |a ＋ b |是 a 、 b 共线的充要条件 .

(

× )

2.如图所示，在平行六面体

ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， M 为 A 1C 1 与 B 1D 1 的 交点 →

→

→

→

.若 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝c ，则下列向量中与 BM 相等的向量是

(

)

1 1

1 1

A. － 2a ＋2b ＋ c

B. 2a ＋ 2b ＋ c

C.－ 1 1

D. 1 1 2a － 2b ＋ c 2a －2b ＋ c

答案 A

解析

→→ → → 1 →

→

BM ＝BB 1＋ B 1M ＝ AA 1＋

(AD － AB)

2

1

1 1

＝ c ＋2(b － a )＝－ 2a ＋ 2b ＋ c .

3.已知正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，点 E 为上底面

→ →→

→

A 1C 1 的中心， 若 AE ＝ AA 1＋ xA

B ＋ yAD ，则

x ， y 的值分别为

(

)

1

A. x ＝ 1， y ＝1

B. x ＝ 1，y ＝ 2

1

， y ＝

1

1

， y ＝ 1

C.x ＝ 2 2

D. x ＝2

答案 C

解析

→ → →

→ →

→

→ →

如图， AE ＝AA 1＋ A 1E ＝ AA 1＋ 1

A 1C 1＝AA 1＋ 1

(AB ＋ AD).

2

2

4.同时垂直于 a ＝ (2,2,1) 和 b ＝ (4,5,3)的单位向量是 _______________________.

1

2 2 1 2 2 答案 3，－

3， 3 或

－ 3， 3

，－

3

解析

设与 a ＝ (2,2,1) 和 b ＝ (4,5,3)同时垂直的单位向量是

c ＝ (p ， q ，r )，则

1

1

p 2＋ q 2＋ r 2＝ 1， p ＝ 3，

p ＝－ 3，

2p ＋ 2q ＋r ＝0，

2

2 解得 q ＝－ 3，

或 q ＝ 3，

4p ＋ 5q ＋ 3r ＝ 0，

r ＝ 2

，

r ＝－ 2

，

3

3

即同时垂直于 a ， b 的单位向量为