选修2-2第一章1.4.1曲边梯形面积与定积分-教案

1.4 定积分与微积分基本定理

1.4.1曲边梯形面积与定积分

【提出问题】

如上图，函数f(x)=x2与g(x)=2x-0.5交点为A（0.29，0.09），B（1.71，2.91），过点A做x轴的垂线交x轴为点C，过点B做x轴的垂线交x轴为点D。

问题1：直角梯形ACDB的面积是多少？

根据梯形面积公式易得，直角梯形ACDB的面积是2.13.

曲线y=f(x)与平行于y轴的两条直线x=a，x=b和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．问题2：函数f(x)=x2与x=0.29，x=1.71和x轴所围成的曲边梯形面积怎么求呢？

提示：既然直角梯形的面积我们可以求，那么曲边梯形能否转化为直角梯形（曲化直）。

我们知道任意多边形都可以分割成一些三角形，通过计算这些三角形面的和就可以得出这个多边形的面积，是否可以使用类似的方法计算由曲线围成的区域的面积（分割）。

下面我们举例来研究这个问题。

【解决问题】

求由抛物线y＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的图形面积．

将区间[0,1] 等分为n个小区间，

0＝x0

n(i＝0,1,2，…，n)，

Δx i＝1

n(i＝1,2,3，…，n)，

在每个小区间[x i－1，x i]上取右端点ξi＝x i(i＝1,2，…，n)．

于是曲线之下小矩形的面积为ξi 21

n (i ＝0，1,2，…，n-1)

所以曲线之下小矩形的面积和为

S n =(0n ) 2∙1n +(1n ) 2∙1n +(2n ) 2∙1n +…+(n−1n ) 2∙1

n

=

02+12+22+⋯+(n−1)2

n 3

=1

6(1−1

n )(2−1

n )

由此得到

S ＝lim n →∞

S n ＝lim n →∞

16

(1−1n

)(2−1n

)＝1

3

.

从图形上看，当n 越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形面积相差越来越小，当n 趋于正无穷时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将1

3视为此曲边三角形的面积。 【获得新知】

类似的问题还很多，它们都可以归结为求这种和式的极限。牛顿等数学家经过艰苦研究，得到了解决这类问题的一般方法：求函数的定积分。

定积分的定义

设函数y ＝f(x)定义在区间[a ，b]上(如图)．用分点a ＝x 0

Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.

记λ为这些小区间长度的最大者．当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式S n ＝

当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式S n 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作

()b

a

f x dx ⎰

，即()b

a

f x dx ⎰＝

其中f(x)叫做被积函数，a 叫做积分

下限，b 叫积分上限，f(x)d x 叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a ，b]上可积． 【概念领悟】

1．定积分的几何意义

(1)当f(x)在区间[a ，b]上大于0时，()b

a

f x dx ⎰表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0及

曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．

(2)当f(x)在区间[a ，b]上小于0时，

()b

a

f x dx ⎰

表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0及

曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数．

(3)当f(x)在区间[a ，b]上有正有负时，

()b

a

f x dx ⎰

表示介于x 轴、曲线y ＝f(x)以及直线

x ＝a ，x ＝b 之间各部分的面积之和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．

2．定积分的性质 (1) ()()b

b

a a

kf x dx k f x dx =⎰

⎰(k 为常数)；

(2) ()()()()b

b a

a

a

b

f x

g x dx f x dx g x dx ±=±⎰

⎰⎰；

(3) ()()() ()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰

⎰⎰.

【经典例题】

例1 利用定积分的定义计算由抛物线y ＝x 2，直线x ＝2以及x 轴所围成的图形面积． 解：将区间[0,2]n 等分，

0＝x 0

n (i ＝0,1,2，…，n)， Δx i ＝2

n (i ＝1,2,3，…，n)，

在每个小区间[x i －1，x i ]上取右端点ξi ＝x i-1(i ＝1,2，…，n)． 于是曲线之下小矩形的面积为ξi 22

n (i ＝1,2，…，n) 所以曲线之下小矩形的面积和为

S n =4[(0

n ) 2∙2

n +(1

n ) 2∙2

n +(2

n ) 2∙2

n +…+(

n−1n

) 2∙2n ]

=8∙

02+12+22+⋯+(n−1)2

n 3

=43

(1−1

n

)(2−1

n

)

由此得到

S ＝lim n →∞

S n ＝lim n →∞

43(1−1n )(2−1n )＝8

3.

【规律技巧】求曲边梯形面积的四个步骤：

第一步：分割，在区间[a ，b]上插入n －1个分点，将这个区间n 等分，即将它分成n 个小区间[x i －1，x i ](i ＝1，2，…，n ).区间[x i －1，x i ]的长度Δx i ＝x i －x i －1；