经济学应力状态和强度理论
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利用三角关系式，可以将前面所得的关于
和 的方程中的 消去，得：
(
x
y
2
)2
2
(
x
y )2
2
2x
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
28
目录
二.应力圆
(
x
y )2
2
2
(
x
y )2
2
2x
R C
R
(
x
y
)2
2 x
2
x y
2
29
目录
二.应力圆
应力圆的画法
y y
y
D
x x
A x
9
目录
应力
指明
哪一个面上？
哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合，
称之为这一点的应力状态
10
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
一点应力状态的描述
微元
dz dy dx
dx,dy,dz 0
11
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
三向（空间）应力状态
xx
z
z
zx zy
τ T Wp
3
σ Mz Wz
21
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
z
z
zx zy
x
x
xz yz
xy
yx
y
y
2
3
1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面
上的正应力称为主应力，分别用 1, 2 , 3 表示， 并且 1 2 3。该单元体称为主应力单元。
22
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零
3
2
1
23
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
一.斜截面上的应力
y
y
x a
x
x
y
Fn 0
x αa
n
a
x
dA
y
t
y
Ft 0
24
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
列平衡方程
第七章 应力状态和强度理论
§7.1 概述
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
§7.3 空间应力状态的概念
§7.4 应力与应变间的关系
§7.5 空间应力状态下的应变能密度
§7.6 强度理论及其相当应力
*§7.7 莫尔强度理论及其相当应力
§7.8 各种强度理论的应用
目 录
1
目录
§7.1 概述
铸铁
低碳钢
D
(y ,y)
R
(
x
y
)2
2 x
2
R
D (x ,x)
c
x y
2
30
目录
几种对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方
向上的正应力和切应力；
转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。
y
y
n
y
H x
x
x
H ( a , a )
25
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
cos2 1 (1 cos 2 )
{ 利用三角函数公式
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 y x 化简得
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
x
sin
2
1 2
(
x
y ) sin
2
x
cos 2
26
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
正负号规则
x
a
y
y x
x
y
x
a
α
n a
x
x
y
y t
正应力：拉为正；反之为负
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
27
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
二.应力圆
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
2
目录
§7.1 概述
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
3
目录
根据微元的局部平衡：
y' x
x'
x
x'
x
x
拉中有剪
4
目录
y'
y
x'
x
x x'
x
y
剪中有拉
5
目录
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截 面上也存在应力；不仅要研究横截 面上的应力，而且也要研究斜截面 上的应力。
D
(y ,y)
2
c
D (x ,x)
x y
2
31
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
三. 主应力与主平面
y
y
D
x
A
x
o
D
A
2 0
c
主平面： 0，
应力圆上和横轴交点对应的面
32
目录
三. 主应力与主平面
o
o
主应力：主平面上的正应力
33
目录
三. 主应力与主平面
A(x ,x)
o 2
2 0
Fn 0
x
α
a
n
a
x
dA
dA x (dAcos)sin x (dAcos) cos y (dAsin) cos y (dAsin)sin 0
y
t
y
Ft 0
dA x (dAcos ) cos x (dAcos )sin y (dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
xz yz
xyyxຫໍສະໝຸດ y y12目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
平面（二向）应力状态
y
y
x
x
x
y
13
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
单向应力状态
y
x x
纯剪应力状态
y
y
x
x
14
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
三
平
向
面
应
应
力
力
状 特例 状 特例
态
态
单向应力状态 纯剪应力状态
15
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
点的应力状态的描述
示例一：
FP
S平面
l/2
l/2
16
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
S平面
5 FP
5
42 4
3
3
2
Mz
FPl 4
2
1
1
2
2
1
x1
2
x2
3 3
3
17
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
l
示例二
S
FP
a
18
目录
6
目录
应力的三个重要概念
1、应力的点的概念; 2、应力的面的概念; 3、应力状态的概念.
7
目录
FN Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应
力各不相同，此即应力的点的概念。
8
目录
x x'
x
x x'
x
y
微元平衡分析结果表明：即使同 一点不同方向面上的应力也是各不相 同的，此即应力的面的概念
c
1
D(y ,y)
1
x
y
2
1 2
x
y
2
4
2 x
2
x
y
2
1 2
x y
2
4
2 x
34
目录
三. 主应力与主平面
主平面的方向
主方向
tan
20
2 x x
y
负号表示从主应力的正方向到x 轴的正方 向为顺时转向
35
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
四. 面内最大切应力
对应应力圆上的最
max A(x ,x)
高点的面上切应力最大，
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
S平面
y
1
l
S
FP
a
4
z
2
x
3
19
目录
y
FS
1 4 Mz
1
Mx
Wp
x1
Mz Wz
x
2
3
z
Mx
3
4
Mx
Wp
x
Mz Wz
Mx
Wp
20
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
l
S
F
a
Fa T
M
Fl
S 平面 y
1
T
4
z
x
2
3 Mz
1
T
τ
Wp
σ Mz Wz
和 的方程中的 消去，得：
(
x
y
2
)2
2
(
x
y )2
2
2x
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
28
目录
二.应力圆
(
x
y )2
2
2
(
x
y )2
2
2x
R C
R
(
x
y
)2
2 x
2
x y
2
29
目录
二.应力圆
应力圆的画法
y y
y
D
x x
A x
9
目录
应力
指明
哪一个面上？
哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合，
称之为这一点的应力状态
10
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
一点应力状态的描述
微元
dz dy dx
dx,dy,dz 0
11
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
三向（空间）应力状态
xx
z
z
zx zy
τ T Wp
3
σ Mz Wz
21
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
z
z
zx zy
x
x
xz yz
xy
yx
y
y
2
3
1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面
上的正应力称为主应力，分别用 1, 2 , 3 表示， 并且 1 2 3。该单元体称为主应力单元。
22
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零
3
2
1
23
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
一.斜截面上的应力
y
y
x a
x
x
y
Fn 0
x αa
n
a
x
dA
y
t
y
Ft 0
24
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
列平衡方程
第七章 应力状态和强度理论
§7.1 概述
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
§7.3 空间应力状态的概念
§7.4 应力与应变间的关系
§7.5 空间应力状态下的应变能密度
§7.6 强度理论及其相当应力
*§7.7 莫尔强度理论及其相当应力
§7.8 各种强度理论的应用
目 录
1
目录
§7.1 概述
铸铁
低碳钢
D
(y ,y)
R
(
x
y
)2
2 x
2
R
D (x ,x)
c
x y
2
30
目录
几种对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方
向上的正应力和切应力；
转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。
y
y
n
y
H x
x
x
H ( a , a )
25
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
cos2 1 (1 cos 2 )
{ 利用三角函数公式
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 y x 化简得
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
x
sin
2
1 2
(
x
y ) sin
2
x
cos 2
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目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
正负号规则
x
a
y
y x
x
y
x
a
α
n a
x
x
y
y t
正应力：拉为正；反之为负
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
27
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
二.应力圆
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
2
目录
§7.1 概述
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
3
目录
根据微元的局部平衡：
y' x
x'
x
x'
x
x
拉中有剪
4
目录
y'
y
x'
x
x x'
x
y
剪中有拉
5
目录
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截 面上也存在应力；不仅要研究横截 面上的应力，而且也要研究斜截面 上的应力。
D
(y ,y)
2
c
D (x ,x)
x y
2
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目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
三. 主应力与主平面
y
y
D
x
A
x
o
D
A
2 0
c
主平面： 0，
应力圆上和横轴交点对应的面
32
目录
三. 主应力与主平面
o
o
主应力：主平面上的正应力
33
目录
三. 主应力与主平面
A(x ,x)
o 2
2 0
Fn 0
x
α
a
n
a
x
dA
dA x (dAcos)sin x (dAcos) cos y (dAsin) cos y (dAsin)sin 0
y
t
y
Ft 0
dA x (dAcos ) cos x (dAcos )sin y (dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
xz yz
xyyxຫໍສະໝຸດ y y12目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
平面（二向）应力状态
y
y
x
x
x
y
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目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
单向应力状态
y
x x
纯剪应力状态
y
y
x
x
14
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
三
平
向
面
应
应
力
力
状 特例 状 特例
态
态
单向应力状态 纯剪应力状态
15
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
点的应力状态的描述
示例一：
FP
S平面
l/2
l/2
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目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
S平面
5 FP
5
42 4
3
3
2
Mz
FPl 4
2
1
1
2
2
1
x1
2
x2
3 3
3
17
目录
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
l
示例二
S
FP
a
18
目录
6
目录
应力的三个重要概念
1、应力的点的概念; 2、应力的面的概念; 3、应力状态的概念.
7
目录
FN Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应
力各不相同，此即应力的点的概念。
8
目录
x x'
x
x x'
x
y
微元平衡分析结果表明：即使同 一点不同方向面上的应力也是各不相 同的，此即应力的面的概念
c
1
D(y ,y)
1
x
y
2
1 2
x
y
2
4
2 x
2
x
y
2
1 2
x y
2
4
2 x
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目录
三. 主应力与主平面
主平面的方向
主方向
tan
20
2 x x
y
负号表示从主应力的正方向到x 轴的正方 向为顺时转向
35
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§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
四. 面内最大切应力
对应应力圆上的最
max A(x ,x)
高点的面上切应力最大，
§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
S平面
y
1
l
S
FP
a
4
z
2
x
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目录
y
FS
1 4 Mz
1
Mx
Wp
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Mz Wz
x
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3
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x
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§7.2 平面应力状态的应力分析，主应力
l
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Fa T
M
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S 平面 y
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