矩阵的特征值和特征向量

2 1
x(2k 1) / x(2k 1)
2 1
所以： v1 x(k1) 1x(k )
v2 x(k1) 1x(k )
算法： 1、给出初值，计算序列
x(k1) Ax(k )
2、若序列表现为，相邻两个向量各个分量比趋向于常数
1 x(k1) / x(k )
v1 x(k)
若序列表现为，奇偶序列各个分量比趋向于常数，则
路
A p = B 。而
| |
2 1
p p
| |
|，2所| 以求B的特征根收敛快。 | 1 |
在幂法中，我们构造的序列
x(k)
பைடு நூலகம்
1k 1v1
2 1
k
2v2
n 1
k
nvn
可以看出
k
,
x(k)
0
, ,
1 1 1 1
因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0
改进－幂法的规范运算
x(k 1) Ay (k )
y
(
k
1)
x(k 1) /
x(k 1)
则，易知：
y
(
k
)
Ay(k 1)
/
x(k)
L
Ak y(0) /
x(k) L
y(k ) 1
所以，有：
x(0)
y(k) Ak y(0) / Ak y(0)
最大分量为1
即
y(k)
1k 1v1
2 1
k
2v2
n 1
k
n
vn
1k
1v1
2 1
k
反幂法
Av v A1v 1 v
所以，A和A－1的特征值互为倒数
A : 1 2 n
A1 : 1 2 n ii 1
这样，求A－1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值
1
所以： 1 x(k1) / x(k )
任意分量相除
v1 x(k1)
特征向量乘以任意数，仍是特 征向量
（2）若： 1 2 3 n , 1 2
x(k)
1k 1v1
1k2v2
n 1
k
nvn
则k足够大时，有
x(k) 1k 1v1 1 k 2v2
所以：
x(2k2) / x(2k)
(2k 1) 分别收敛到两个向量，且不是互为反号。
借助幂法来求特征值和特征向量。计算：
x(m1) Ay(m)
x(
m2)
Ax(m1)
则：
1 x(m2) / y(m)
v1
x(m2)
x(m1) 1
v2
x(m2)
x(m1) 1
算法： 1、给出初值，计算序列 2、若序列收敛，则
y(k)
1
v1 y(k )
1 x(k 1)
v1 y(k )
y (k ) 收敛
y(2k) , y(2k1)
分别收敛到反方向的两个向量
（2）若： 1 2 3 n , 1 2
y(k)
1k
1v1
1k 2v2
n 1
k
n
vn
1k
1v1
1k 2v2
n 1
k
nvn
y , y (2k)
x(k 1)
, v1 y(k)
若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数互为反号，则
1 x(k1) , v1 y(k)
若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数不互为反号，则
x(m1) Ay(m)
x
(
m2)
Ax(m1)
1 x(m2) / y(m)
v1
x(m2)
x(m1) 1
v2
x(m2)
x(m1) 1
特征值： PA () det(I A) 0 的根 为矩阵A的特征值
特征向量：满足
iv Av 的向量v为矩阵A的对于特征值 的
i
特征向量
PA () 称为矩阵A的特征多项式
求矩P阵A的( 特是)征高值次。的通多常项对式某，个它特的征求值根，是可很以困用难些的针。对没性有的数方值法方来法求是其通近过似求值它。的若根要来
2v2
n 1
k
n
vn
（1）若： 1 2 n
y(k ) 1k 1v1 1k 1v1
y(k) 1v11v1v11 1v1
, 1 0 , 1 0
x(k 1) Ay (k ) 1 y(k )
x(k1) 1 y(k ) 1
1 0 时，有 1 0 时，有
1 x(k 1)
1Akv1 2 Akv2 n Akvn
11kv1
k
22
v2
nnkvn
（1）若： 1 2 n
x(k)
1k 1v1
2 1
k 2v2
n 1
k nvn
1 0 则k足够大时，有
x(k ) 1k 1v1
x(k1)
k 1 1
1v1
可见 x(k ) , x(k 1) 几乎仅差一个常数
x(k )
Ax(k 1)
1k
n i 1
i
i 1
k
vi
希望 | 2 / 1 | 越小越好。
不妨设 1 > 2 … n ，且 | 2 |决> 定| 收n |敛。的速度，特别
n
是 | 22/ 1 | 1
O
p = ( 2 + n ) / 2
思 令 B = A pI ，则有 | IA | = | I(B+pI) | = | (p)IB |
0.2
2
0.10250
0.083333
3
0.042292
0.034389
4
0.017451
0.014190
可取 0.41263 ,x1(0.017451,0.014190)T .
x1(k)/x1(k-1)
0.41 0.41260 0.41263
x2(k)/x2(k-1)
0.41665 0.41267 0.41263
特征值： 1 2 n
v 特征向量： 1
v2
vn
幂法可以求 1 v1 ，基本思想很简单。
v 设
n 线性无关，取初值
i i1
x(0) ，作迭代
x(k1) Ax(k) Ak x 1 (0)
设： x(0) 1v1 2v2 nvn
则有：
x(k) Ak (1v1 2v2 nvn )
求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三 角阵，从而求得所有特征值的近似。
7.1 幂法
矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种求 矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。
幂法要求A有完备的特征向量系，即A有n个线性无关的特征向量。在实践中， 常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征值和特 征向量如下：
1 x(k 1) / x(k 1) v1 x(k1) 1x(k ) v2 x(k1) 1x(k )
若序列表现为其他，退出不管
例 求矩阵A的按模最大的特征值
A
1 4
1 5
1 5
1 6
解 取x(0)=(1,0)T ,计算x(k)=Ax(k-1), 结果如下
k
x1(k)
x2(k)
0
1
0
1
0.25