方格取数

方格取数

设有n*n的方格图（Ｎ≤８），我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字０。如下图所示（见样例）：

向右

A 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

向 6

下7

8

某人从图的左上角的Ａ点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的Ｂ点。在走过的路上，它可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字０）。此人从Ａ点到Ｂ点共走两次，试找出２条这样的路径，使得取得的数之和最大。

输入：输入的第一行为一个整数Ｎ（表示Ｎ＊Ｎ的方格图），接下来的每行右三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的０表示输入结束。

输出：只需输出一个整数，表示２条路径上取得的最大的和

分析：我们对这道题并不陌生。如果求一条数和最大的路径，读者自然会想到动态程序设计方法。现在的问题是，要找出这样的两条路径，是否也可以采用动态程序设计方法呢？回答是可以的。

1、状态的设计

对于本题来说，状态的选定和存储对整个问题的处理起了决定性的作用。

我们从（1，1）出发，每走一步作为一个阶段，则可以分成2*n-1个阶段：第一个阶段，两条路径从（1，1）出发；

第二个阶段，两条路径可达（2，1）和（1，2）；

第三个阶段，两条路径可达的位置集合为（3，1）、（2，2）和（1，3）；

…………………………

第2*n-1个阶段，两条路径汇聚（n，n）；

在第k(1≤k≤2*n-1)个阶段，两条路径的终端坐标（x1，y1）（x2，y2）位于对应的右下对角线上。如下图所示：

如果我们将两条路径走第i步的所有可能位置定义为当前阶段的状态的话，面对的问题就是如何存储状态了。方格取数问题的状态数目十分庞大，每一个位置是两维的，且又是求

两条最佳路径，这就要求在存储上必须做一定的优化后才有可能实现算法的程序化。主要的优化就是：舍弃一切不必要的存储量。为此，我们取位置中的x坐标（x1，x2）作状态，其中

（1≤x1≤k）and（x1∈{1‥n}）and（1≤x2≤k）and（x2∈{1‥n}）

直接由X坐标计算对应的Y坐标：

（y1=k+1-x1）and（y1∈{1‥n}）and（y2=k+1-x2）and（y2∈{1‥n}）

2、状态转移方程

设两条路径在k阶段的状态为（x1，x2）。由（y1=k+1-x1）∧（y1∈{1..n}）得出第一条路径的坐标为（x1，y1）；由（y2=k+1-x2）∧（y2∈{1..n}）得出第二条路径的坐标为（x2，y2）。假设在k-1阶段，两条路径的状态为（x1’，x2’）且（x1’，x2’）位于（x1，x2）状态的左邻或下邻位置。因此我们设两条路径的延伸方向为d1和d2：d i=0，表明第i条路径由（x i’，y i’）向右延伸至（x i，y i）；d i=1，表明第i条路径由（x i’，y i’）向下延伸至（x i，y i）（1≤i≤2）。显然（x1’= x2’）∧（d1= d2），表明两条路径重合，同时取走了（x1’，y1’）和（x1，y1）中的数，这种取法当然不可能得到最大数和的。

分析两种可能：

⑴若x1=x2，则两条路径会合于x1状态，可取走（x1，y1）中的数(如下图)；

x1’(x2’)→x1=x2

↑

x2’(x1’)

⑵若x1≠x2，则在k阶段，第一条路径由x1’状态延伸至x1状态，第二条路径由x2’状态延伸至x2状态，两条路径可分别取走（x1，y1）和（x2，y2）中的数(如下图)；

设

f[k，x1，x2]—在第k阶段，两条路径分别行至x1状态和x2状态的最大数和。显然k=1时，f[1，1，1]=0；

k≥2时，f[k，x1，x2]=max{f[k-1， x1’，x2’]+(x1，y1)的数字▏x1=x2

f[k-1， x1’，x2’]+(x1，y1)的数字+(x2，y2)的数字▏x1≠x2}

1≤k≤2*n-1，x1’∈可达x1的状态集合，x2’∈可达x2的状态集合，（x1’≠x2’）∨(d1≠d2)；

上述状态转移方程符合最优子结构和重叠子问题的特性，因此适用于动态程序设计方法求解。由于第k个阶段的状态转移方程仅与第k-1个阶段的状态发生联系，因此不妨设

f0—第k-1个阶段的状态转移方程；

f1—第k个阶段的状态转移方程；

初始时，f0[1，1]=0。经过2*n-1个阶段后得出的f0[n，n]即为问题的解。

3、多进程决策的动态程序设计

由于方格取数问题是对两条路径进行最优化决策的，因此称这类动态程序设计为分阶段、多进程的最优化决策过程。设

阶段i：准备走第i步（1≤i≤2*n-1）；

状态（x1’，x2’）：第i-1步的状态号（1≤x1’，x2’≤i-1。x1’，x2’∈{1..n}）

决策（d1，d2）：第一条路径由x1’状态出发沿d1方向延伸、第二条路径由x2’状态出

发沿d2方向延伸，可使得两条路径的数和最大（0≤d1，d2≤1。方向

0表示右移，方向1表示下移）；

具体计算过程如下：

fillchar(f0，sizeof(f0)，0)； { 行走前的状态转移方程初始化}

f0[1，1]←0；

for i←2 to n+n-1 do {阶段：准备走第i步}

begin

fillchar(f1，sizeof(f1)，0)； { 走第i步的状态转移方程初始化}

for x1’←1 to i-1 do {枚举两条路径在第i-1步时的状态x1’和x2’}

for x2’←1 to i-1 do

begin

计算y1’和y2’；

if (x1’，y1’)和(x2’，y2’)在界内 then

for d1←0 to 1 do {决策：计算两条路径的最佳延伸方向}

for d2←0 to 1 do

begin

第1条路径沿d1方向延伸至(x1，y1）；

第2条路径沿d2方向延伸至(x2，y2)；

if ((x1，y1)和(x2，y2)在界内)∧((d1≠d2)∨(x1≠x2)) {计算第i步的状态转移方程}

then f1[x1，x2]←max{f0[x1’，x2’]+map[x1，y1]∣x1=x2，f0[x1’，x2’]+map[x1，y1]+map[x2，y2]∣x1≠x2}

end；{for}

end；{for}

f0←f1； {记下第i步的状态转移方程}

end；{for}

输出两条路径取得的最大数和f0[n，n]；