双曲线地渐近线和离心率问题
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第30练 双曲线的渐近线和离心率问题
[题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一,也是高考热点,其性质是考查的重点,尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外,也会在填空题中考查,一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.
常考题型精析
题型一 双曲线的渐近线问题
例1 (1)(2015·)设双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的右焦点是F ,左,右顶点分别是A 1,A 2,过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ,C 两点,若A 1B ⊥A 2C ,则该双曲线的渐近线的斜率为________.
(2)(2014·)如图,已知双曲线C :x 2a
2-y 2=1(a >0)的右焦点为F .点A ,B 分别在C 的两条渐近线上,AF ⊥x 轴,AB ⊥OB ,BF ∥OA (O 为坐标原点).
①求双曲线C 的方程;
②过C 上一点P (x 0,y 0)(y 0≠0)的直线l :x 0x a 2-y 0y =1与直线AF 相交于点M ,与直线x =32
相交于点N .证明:当点P 在C 上移动时,MF NF
恒为定值,并求此定值.
点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y =±b a x ⇔x a ±y b =0⇔x 2a 2-y 2
b 2=0,所以可以把标准方程x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程:y =b a x ,可设双曲线方程为x 2a 2-y 2
b 2=λ (λ≠0),求出λ即得双曲线方程.
变式训练1 (2014·改编)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2
b 2=1,C 1与C 2的离心率之积为
32
,则C 2的渐近线方程为______________________. 题型二 双曲线的离心率问题
例2 (1)(2015·改编)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线C 2,则下列命题正确的是________. ①对任意的a ,b ,e 1>e 2;
②当a >b 时,e 1>e 2;当a
③对任意的a ,b ,e 1 ④当a >b 时,e 1 (2)已知O 为坐标原点,双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ,若(AO →+AF →)·OF →=0,则双曲线的离心率e 为________. 点评 在研究双曲线的性质时,实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要 容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e =c a 是一个比值,故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式,利用b 2=c 2-a 2消去b ,然后变形求e ,并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ,y 的围问题. 变式训练2 (2014·)如图,O 为坐标原点,椭圆C 1:x 2a 2+y 2 b 2= 1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,离心率为e 1;双曲线C 2:x 2a 2-y 2 b 2=1的左、右焦点分别为F 3、F 4,离心率为e 2.已知e 1e 2= 32 ,且F 2F 4=3-1. (1)求C 1,C 2的方程; (2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与C 2交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值. 题型三 双曲线的渐近线与离心率的综合问题 例3 (2014·)已知双曲线E :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别为l 1:y =2x ,l 2:y =-2x . (1)求双曲线E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线l 1,l 2于A ,B 两点(A ,B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ?若存在,求出双曲线E 的方程;若不存在,请说明理由. 点评 解决此类问题:一是利用离心率公式,渐近线方程,斜率关系等列方程组.二是数形结合,由图形中的位置关系,确定相关参数的围. 变式训练3 (2014·)设直线x -3y +m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A ,B .若点P (m,0)满足P A =PB ,则该双曲线的离心率是________. 高考题型精练 1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22 -y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值围是__________. 2.(2015·模拟)已知0<θ<π4,则双曲线C 1:x 2cos 2θ-y 2sin 2θ=1与C 2:y 2sin 2θ-x 2 sin 2θtan 2θ=1的________相等.(填序号) ①实轴长;②虚轴长;③离心率;④焦距. 3.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为______________. 4.以椭圆x 2169+y 2144=1的右焦点为圆心,且与双曲线x 29-y 216 =1的渐近线相切的圆的方程是________________. 5.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)以及双曲线y 2a 2-x 2 b 2=1的渐近线将第一象限三等分,则双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1的离心率为________. 6.(2015·模拟)已知双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1 (a >0,b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若F 2H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为________. 7.已知抛物线y 2=8x 的准线过双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________________. 8.已知双曲线C 的中心在原点,且左,右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为底边作正三角形,若双曲线C 与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点,则双曲线C 的离心率为________.