多元统计分析：多维标度法

（ 1） C C （ 2） cij cii
i, j 1, 2,
,n
则矩阵 C 为相似系数阵， cij 称为第 i 点与第 j 点间的相似系数。
整数 r 和 R r 中的 n 个点 X1 , X 2 ,
2 dij ( X i X j )( X i X j )
, X n ，使得
i, j 1, 2,
,n
则称 D 为欧氏距离阵 3．相似系数阵
定义 10.3 一个 n n 阶的矩阵 C (cij )nn ，如果满足条件：
定义10.1 一个n n阶的矩阵D=(dij ) n n ，如果满足条件：
（ 1） D D （ 2） dij 0, dii 0,
i, j 1, 2,
,n
则矩阵 D 为广义距离阵， d ij 称为第 i 点与第 j 点间的距离。
定义 10.2 对于一个 n n 的距离阵 D (d ) ， 如果存在某个正 ij nn
表10.1
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 587 1212 701 1936 604 748 2139 2182 543 2 587 0 920 940 1745 1188 713 1858 1737 597 3 1212 920 0 879 831 1726 1631 949 1021 1494
第十章
第一节 第二节 第三节 引言
多维标度法
古典多维标度法(Classical MDS) 权重多维标度(WMDS)
第四节
实例分析与计算实现
第一节 引 言
在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总
能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城 市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你 知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还 能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮 料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消 费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类 似这样的问题。 多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题 的一种方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的 多元数据分析技术，简称MDS。 多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。 Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十年 代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经
Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法 现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物 理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。 多维标度法解决的问题是：当n个对象（object）中各对对象 之间的相似性（或距离）给定时，确定这些对象在低维空间 中的表示（感知图Perceptual Mapping），并使其尽可能与 原先的相似性（或距离）“大体匹配”，使得由降维所引起 的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个 对象，因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是 说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示， 而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。 多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏 三维以上空间。
多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性（距离）数据测
量尺度的不同MDS可分为：度量MDS和非度量MDS。当利 用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺度和比率尺度时 称为度量MDS(metric MDS)，当利用原始相似性（距离）的 等级顺序（即有序尺度）而非实际数值时称为非度量 MDS(nonmetric MDS)。按相似性（距离）矩阵的个数和 MDS模型的性质MDS可分为：古典多维标度CMDS（一个 矩阵，无权重模型）、重复多维标度Replicated MDS（几个 矩阵，无权重模型）、权重多维标度WMDS（几个矩阵， 权重模型）。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维 标度法。
据概念。 1．相似数据与不相似数据 相似数据：如果用较大的数据表示非常相似，用较小的 数据表示非常不相似，则数据为相似数据。如用10表示 两种饮料非常相似，用1表示两种饮料非常不相似。 不相似数据：如果用较大的数值表示非常不相似，较小 的数值表示非常相似，则数据为不相似数据，也称距离 数据。如用10表示两种饮料非常不相似，用1表示两种饮 料非常相似。 2．距离阵
第二节 古典多维标度法 (Classical MDS)
一 相似与距离的概念 二 古典多维标度分析的思想及方法
三 度量MDS的古典解
四 非度量MDS的古典解(nonmetric MDS)
首先我们提出这样一个问题，表10.1是美国十城市之间的飞
行距离，我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相 对位置，使之尽可能接近表中的距离数据呢？
1＝ Atlanta , 2＝Chicago,
3＝ Denver,
4＝ Houston,
5＝ Los Angeles
6＝ Miami , 7＝ New York, 8＝S an Francisco , 9＝Seattle, 10＝ Washington. DC们首先明确与多维标度法相关的数
美国10城市间的飞行距离
4 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220 5 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 2300 6 604 1188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923 7 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205 8 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442 9 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329 10 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0