知识讲解_几何概型_基础

几何概型

【学习目标】

1.了解几何概型的概念及基本特点；

2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；

3.会进行简单的几何概率计算；

4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想.

【要点梳理】

要点一：几何概型

1.几何概型的概念：

对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.

2.几何概型的基本特点：

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

3.几何概型的概率：

一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度的测度

. 说明：

(1)D 的测度不为0；

(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.

(3)区域为＂开区域＂；

(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.

要点诠释：

几种常见的几何概型

(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：

P=l 的长度/L 的长度

(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：

P=g 的面积/G 的面积

(3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：

P=v 的体积/V 的体积

要点二：均匀随机数的产生

1.随机数的概念

随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.

2.随机数的产生方法

(1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.

(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND 函数都能产生0～1之间的均匀随机数.

(3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数. 要点诠释： 1.在区间[a ，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.

2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.

3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.

4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a ，可以产生任意区间[a ，b]上的均匀随机数.

【典型例题】

类型一：与长度有关的几何概型问题

例1．取1根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1 m 的概率有多大？

【思路点拨】从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,基本事件有有限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与剪断位置所处的绳子的长度有关,符合几何概型的条件。

【答案】13

【解析】如图所示，AB=3 m ，AC=BD=1 m ，设事件M={剪得的两段绳长都不小于l m}，则事件M 发生时，剪断位置应位于线段CD 上．∴1()3P M =

，即剪得的两段长都不小于1 m 的概率为13． 【总结升华】我们将这个基本事件理解为从某个特定的几何区域上随机地取一点，该

区域中的每一点被取得的机会都一样，一个随机事件的发生可理解为恰好取到上述区域内

某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．

举一反三：

【变式1】一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率.

【答案】35

【解析】若把距离绳AB 首尾两端1米的点记作M 、N ，则显然事件T 所对应的基本事件所对应的点在线段MN 上.用线段MN 的长除以线段AB 的长表示事件T 的概率.

所以5

3)(=T P . 【变式2】在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于

4S 的概率为（ ）． A ．14 B ．12 C ．34 D ．23

【答案】C

类型二：与面积有关的几何概型问题

例2．如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，

求射线OA 落在∠xOT 内的概率．

【思路点拨】 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都

是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．

【答案】16 【解析】 记B={射线OA 落在∠xOT 内}． ∵∠xOT=60°，∴601()3606P B =

=． 【总结升华】 此题的关键是搞清过点O 可以在平面内任意作射线OA ，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的．

例3．过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．

【思路点拨】如图所示，BCD 是圆内接等边三角形，过直径BE 上任一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD 时就是三角形BCD 的边长，要使弦长大于CD 的长，就必须使圆心O 到弦的距离

小于|OF|．

【答案】12

【解析】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，由几何概型概率公式得

1212()22

P A ?==． 即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是12

． 举一反三：

【变式1】如图，在一个边长为3 cm 的大正方形内部画一个边长为2 cm 的小正方形，问在大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．

【答案】49

【解析】 记A={所投点落人小正方形内}，

S 小正方形=22=4（cm 。），

S 大正方形=32=9（cm 。），

∴4()9

S P A S ==小正方形大正方形． 【变式2】在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．

【答案】34

【解析】 由题意知射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的．

如图所示，在线段AB 上取AC ＇=AC ，连接CC ＇，则∠ACC ＇=67.5°，

设事件D={AM ＜AC}，则事件D 的度量为∠ACC ＇，而随机事件总的度量

为∠ACB ．

∴'67.53()904

ACC P D ACB ∠?=

==∠?． ∴AM ＜AC 的概率为34． 类型三：与体积有关的几何概型问题

例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？

【思路点拨】病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可以用体积比公式计算其概率。

【答案】0.2

【解析】设事件=A “取出的1L 含有病毒的水”.15A L L μμΩ==（），（）， ∴10.25

A P A μμΩ===（） 【总结升华】在概率问题中，与体积有关或可以转化为三维空间的，可以采取几何概型的方法去解决.直接与体积有关的，可直接计算，有时需要先进行转化成三维空间，然后利用几何概型.

举一反三：

【变式1】在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大. 【答案】12

【解析】设O 到三点的三线段长分别为x ，y ，z ，即相应的右端点坐标为x ，y ，z ，显然0,,1x y z ≤≤，这三条线段构成三角形的充要条件是：x z y y z x z y x >+>+>+,,. 在线段[0，1]上任意投三点x ，y ，z 与立方体 10≤≤x ，

10≤≤y ，10≤≤z 中的点),,(z y x 一一对应，可见所求“构成三

角形”的概率，等价于x 边长为1的立方体T 中均匀地掷点，而点

落在,,x y z x z y y z x +>+>+>区域中的概率；这也就是落在图中由△ADC ，△ADB ，△BDC ，△AOC ，△AOB ，△BOC 所围成的区域G 中的概率.由于,1)(=T V

33111()131322

V G =-???=， ()1()2

V G p V T ∴== 由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大.

类型四：用随机模拟的方法求几何概型问题的概率

例5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，利用随机模拟法试求这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．

【思路点拨】正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12 cm 长的线段上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率．

【解析】

（1）用计算器产生一组[0，1]内的均匀随机数a 1=RAND ．

（2）经过伸缩变换，a=12a 1得到一组[0，12]内的均匀随机数．

（3）统计试验总次数N 和[6，9]内随机数的个数N 1．

（4）计算频率1N N

． 记事件A={正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间}={正方形的边长介于6 cm 与9 cm 之间}，则

P

（A ）的近似值为11()4

n N f A N ==． 【总结升华】 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；用计算机产生随机数。可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．

举一反三：

【变式1】用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值.

【解析】

(1)利用计算机产生两组[]10，

上的均匀随机数，RAND b RAND a ==11,. (2)进行平移和伸缩变换，()25.0,2)5.0(11*-=*-b b a ，得到两组[]1,1-上的均匀随机数.

(3)统计试验总次数N 和点落在圆内的次数1N ）数）的点（（满足b a b a ,122≤+.

(4)计算频率N

N 1即为点落在圆内的概率近似值. (5)设圆面积为S ，则由几何概率公式得4

S P =. ∴N N S 14≈，则N N S 14≈即为圆面积的近似值.又∵2S r ππ==圆.∴N

N S 14≈=π即为圆周围率π的近似值.