最新版《等腰直角三角形中的常用模型》(超详细)

等腰直角三角形中的常用模型

一【知识精析】

1、等腰直角三角形的特征：

①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45o）

②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。

2、等腰直角三角形与全等三角形：

以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。

模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点

（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：

例1．如图：Rt ΔAB C中，∠BA C=90o，AB=A C，点D是B C上任意一点，过B作BE⊥AD于点

E，过C 作CF⊥AD于

点

F。

（1）求证：BE-CF=E；F

（2）若D在BC的延长线上（如图

（

2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

P 在线段 BC 上（不与 B 、C 重合），以

2. 如图 1，等腰 Rt △ AB C 中， AB=C ，B ∠ AB C =90o ，点

PAQ ，QE ⊥ AB 于 E ， 连 C Q 交 AP 为腰长作等腰直角△ AB 于 M 。 （ 1）求证： M 为 BE 的中点

PC MB

（ 2）若 PC=2PB ，求

的值

（ 2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边， 必定可以构造一对全等的直角三角形：

3、如图： Rt Δ AB C 中，∠ BA C =90o ， AB =A C ，点 D 是

BC 上任意一点，

过 B 作 BE ⊥ AD 于

点

E ，

交 AC 于点 G ，过 C 作 CF ⊥ AC 交 AD 的延长线与于点 F 。

（ 1）求证： BG=A ；F （ 2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（ 2）），（ 1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的

结论并证明。

1：如图，在R t △AB C中，∠AC B=45o，∠BA C=90o，AB=A C，点D是AB的中点，AF⊥CD

变式

于H 交BC于F，BE∥AC

交

AF的延长线

于

E，求证：BC垂直且平

分

DE.

2：等腰Rt △AB C中，AC=AB，∠BA C＝90°，点E，交BC

变式D是AC的中点，AF⊥B D于

点

F，连接DF，求证：∠1=∠2。

于点

3：等腰Rt △AB C中，AC=AB，∠BA C＝90°，点D、E是

变式AC上两点

且AD=C，E AF⊥BD 于

G，交DF，求证：∠1=∠2。点BC于

点

F 连接

模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边

等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形

例1：等腰Rt △AB C中，AC=AB，∠BA C＝90°，E 是AC上一点，过C作CD⊥BE于D，连接

A D，求证：∠AD B＝45°。

变式1：等腰Rt △AB C中，AC=AB，∠BA C＝90°，E

是AC上一点，点D

为

BE延长线上一

点，

且∠ADC＝135°求证：B D⊥DC。

变式2：等腰Rt △AB C中，AC=AB，∠BA C＝90°，BE平分∠

E，过C作CD⊥

BE

ABC交AC

于

于D，DM⊥AB 交

BM BA的延长线于

点

M，

AM

BC

（1）求的值；（2）求的值。

AB BC AB

模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点

（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：

例1、如图1，△AB C、△BEF都是等腰直角三角形，

∠

AB C=∠BEF=90o，连接AF、C F，M

是AF的中点，连ME，将△BE F绕点B 旋转。猜

想

CF与EM的数量关系并证

明；

（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：

（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：

如图，△ ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∠BA C=∠BE D=90o。把DE平移到CF，

使

E

与C重合，连接AE、AF，则△AEB与△AFC全等（关键是利用平行证明

∠

ABE=∠AC F）

例.如图：两个直角三角形ABC、ADE的顶

点A 重合，P 是线段BD的中点，

连

P C、PE。

（1）如图1，若∠BA C=∠DA E=45°，当A、C、D在同一直线上时，线段PC、PE的关

系

是；

（2）如图2、3，将⊿BAC

绕A旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明

你的结论。

E E

E

B B

B

C

P P

P

C

A D

C A

D A D

图1

图3 图2