最新版《等腰直角三角形中的常用模型》(超详细)

等腰直角三角形中的常用模型
一【知识精析】
1、等腰直角三角形的特征：
①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45o）
②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。

2、等腰直角三角形与全等三角形：
以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。

熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。

模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
例1．如图：Rt ΔAB C中，∠BA C=90o，AB=A C，点D是B C上任意一点，过B作BE⊥AD于点
E，过C 作CF⊥AD于
点
F。

（1）求证：BE-CF=E；F
（2）若D在BC的延长线上（如图
（
2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

P 在线段 BC 上（不与 B 、C 重合），以
2. 如图 1，等腰 Rt △ AB C 中， AB=C ，B ∠ AB C =90o ，点
PAQ ，QE ⊥ AB 于 E ， 连 C Q 交 AP 为腰长作等腰直角△ AB 于 M 。

（ 1）求证： M 为 BE 的中点
PC MB
（ 2）若 PC=2PB ，求
的值
（ 2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边， 必定可以构造一对全等的直角三角形：
3、如图： Rt Δ AB C 中，∠ BA C =90o ， AB =A C ，点 D 是
BC 上任意一点，
过 B 作 BE ⊥ AD 于
点
E ，
交 AC 于点 G ，过 C 作 CF ⊥ AC 交 AD 的延长线与于点 F 。

（ 1）求证： BG=A ；F （ 2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（ 2）），（ 1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的
结论并证明。

1：如图，在R t △AB C中，∠AC B=45o，∠BA C=90o，AB=A C，点D是AB的中点，AF⊥CD
变式
于H 交BC于F，BE∥AC
交
AF的延长线
于
E，求证：BC垂直且平
分
DE.
2：等腰Rt △AB C中，AC=AB，∠BA C＝90°，点E，交BC
变式D是AC的中点，AF⊥B D于
点
F，连接DF，求证：∠1=∠2。

于点
3：等腰Rt △AB C中，AC=AB，∠BA C＝90°，点D、E是
变式AC上两点
且AD=C，E AF⊥BD 于
G，交DF，求证：∠1=∠2。

点BC于
点
F 连接
模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形
例1：等腰Rt △AB C中，AC=AB，∠BA C＝90°，E 是AC上一点，过C作CD⊥BE于D，连接
A D，求证：∠AD B＝45°。

变式1：等腰Rt △AB C中，AC=AB，∠BA C＝90°，E
是AC上一点，点D
为
BE延长线上一
点，
且∠ADC＝135°求证：B D⊥DC。

变式2：等腰Rt △AB C中，AC=AB，∠BA C＝90°，BE平分∠
E，过C作CD⊥
BE
ABC交AC
于
于D，DM⊥AB 交
BM BA的延长线于
点
M，
AM
BC
（1）求的值；（2）求的值。

AB BC AB
模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点
（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：
例1、如图1，△AB C、△BEF都是等腰直角三角形，
∠
AB C=∠BEF=90o，连接AF、C F，M
是AF的中点，连ME，将△BE F绕点B 旋转。

猜
想
CF与EM的数量关系并证
明；
（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：
（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：
如图，△ ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∠BA C=∠BE D=90o。

把DE平移到CF，
使
E
与C重合，连接AE、AF，则△AEB与△AFC全等（关键是利用平行证明
∠
ABE=∠AC F）
例.如图：两个直角三角形ABC、ADE的顶
点A 重合，P 是线段BD的中点，
连
P C、PE。

（1）如图1，若∠BA C=∠DA E=45°，当A、C、D在同一直线上时，线段PC、PE的关
系
是；
（2）如图2、3，将⊿BAC
绕A旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明
你的结论。

E E
E
B B
B
C
P P
P
C
A D
C A
D A D
图1
图3 图2
A
三【巩固练习】
F
Rt ABC AB AC ,
1．如图，在 中， ∠ BAC 90 D 、 E 为 BC 上两点 , C
B
D
E
∠ DAE
45 ， F 为 ABC 外一点，
2
BF ; ②;BD 2
CE 2
DE
且 FB ⊥ BC , FA AE CE
, 则下列结论：① 1 4
2
2
2
③ S AD EF ; ④ CE
BE
2 AE , 其中正确的是
ADE
A 、①②③④
B 、①②④
C 、①③④
D 、②③
2．已知： Rt ⊿ AB C 中， AB=A ，C ∠ BA C
=90°， 若 O 是 B C 的中点， 以 O 为顶点作∠
MO N ，交 AB 、
AC 于点
M
、N 。

2 2 2
（ 1）若∠ M O =N 90°（如图 1），求证：① OM=O ；N ② BM +CN =M N ； （ 2）若∠ M O =N 45°（如图 2），求证：① AM+M =N CN ；
A
A
N
M
M
N
C
B
B
C
O 图 2
O 图
1
3、如图，在平面直角坐标系中，△ AOB 为等腰直角三角形，
A （ 4， 4）。

（ 1）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角△ ACD ，∠ ACD=90°，连 O D ， 求∠ AOD 的度数；
（ 2）过 A 作
y 轴的垂线交 y 轴于 E ，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以
EG 为
AM OF
FM
1 是否成
直角边作等腰 Rt △ EG H ，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M ，连 F M ，等
式 立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。

4. 在△AB C和△DC E中，AB=A C，DC=D E, ∠BA C=∠EDC=90°，点 E 在AB上，
连
AD，DF⊥AC
于点F。

试探索AE、AF、A C的数量关系；并求出∠DAC的度
数。

A D
F
E
B C
(2)
Rt △AB C和等腰Rt △ED B，AC=B，C DE=B，D∠AC B＝∠ED B＝90°，E为AB
是
5．如图：等腰
一点，P 为AE的中
点。

⑴连接P C，P D；则P C，P D的位置关系
是
；数量关系是；并证明你的结论。

EF⊥BC 于F，连接PF，试判断△PCF的形状；
⑵当 E 在线段AB 上变化时，其它条件不变，作
在点E 运动过程中，△PCF是否可为等边三角形？若可以，试求
△ACB与△EDB的两直角边
之比。

6，已知两个共一个顶点的等腰Rt △ABC，Rt △CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF 的中点，连接M B、M E．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求
证：
M B∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求B M，ME的
长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=M．E
7、如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B(0，4)。

点N为OA上一点，O M⊥BN于M，且
∠ONB=45°+∠MO N。

（1）求证：BN平分∠
OBA；
OM MN
（2）求的值；
BN
（3）若点P 为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置
关
系？请证明你的结论。

AB D，且P、D两点在直线
8．已知：PA= 2 ，PB=4，以AB为直角边作等腰直角三角
形
AB 的两侧.
如图，当∠APB=45°时，求AB
及PD的长;
(1)
当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应
∠
APB的大小.
(2)。