第2章迭代法

(2) (ex ) 0.6 1 0.5 x 0.6 e 0.5 0.606 e 0.6 0.5488
图 2.5
表 2―3
因此用迭代公式
由表可见
x exk k 1
为方程
x x10
x ex
例 对方程 x3 x 2 1 0 在区间[1.4，1.6]建立两种收敛的迭代格
例 求方程 x=e –x在x=0.5附近的一个根，按5位小数计算， 结果的精度要求为ε=10 –3.
解
迭代公式 xk+1=e –xk ，取φ (x)=e –x,
| (0.5) || (e0.5 ) | e0.5 0.61 1
迭代公式 xk+1=e –xk 收敛。
x0=0.5,
一个实根 x*。
微分中值定理 如果函数 f (x) 在 [a, b] 连续，在
（ a,b)可微，则在（ a,b)内至少有一点 存在，使
f (b) f (a ) f ( )(b a )
a b
§2 迭代法
迭代法的基本思想是:首先将方程(2.1)改写成某种 等价形式,由等价形式构造相应的迭代公式,然后选取方 程的某个初始近似根x0,代入迭代公式反复校正根的近 似值,直到满足精度要求为止。迭代法是一种数值计算 中重要的逐次逼近方法。
lim
k
ek 1 ek p
c
则称序列 xk 是 p 阶收敛的。c 称渐进误差常数。 特别地， p 1称为线性收敛， p 2 称为平方
收敛， p 1时称为超线性收敛。
迭代函数的导数和收敛阶。
定理 对迭代过程 xk1 (xk ) ，若 ( p) (x) 在所求根 x* 邻近
33 (1 1.42 )2
第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛得更快。 取初值 x0 1.5 ，用第二种迭代格式计算过程如下表所示。
k
xk
xk xk 1
0
1. 50000
1
1. 14812
1. 50000
2
1. 47271
0. 35188
3
1. 46882
0. 32458
4
1. 46709
(2.15)
迭代法的突出优点是算法的逻辑结构简单,且在计 算时,中间结果若有扰动,仍不会影响计算结果。其计算 步骤为:
(1)确定方程f(x)=0的等价形式x=g(x),为确保迭代过 程的收敛,要求g(x)满足｜g′(x)｜≤q＜1
(2)选取初始值x0,按公式 x k+1=g(xk), k=0,1,2,…
式，并用其中一种求解，精确到 5 位有效数字。
方法 1：取方程等价形式
x
1
1 x2
，对应迭代格式
xk 1
1
1 xk2
，k
0,1,
。
其中 (x) 1
1 x2
，则
(
x)


2 x3
。由于
( x)

2 x3

2 1.43
0.729 1 ，x (1.4,1.6) ，
x1 3 x 0 1 3 1.5 1 1.35721
再设 x1 1.35721 是其根，代入时，有
x 2 3 x1 1 3 1.35721 1 1.33086 ，
依次可得
x4 1.32494, x5 1.32476, x6 1.32473 x7 1.32472, x8 1.32472
第2章 方程求根
§1 二分法 §2 简单迭代法 §3 切线法(牛顿法) §4 弦截法
二分法适合单 根，不能求复 根和偶数重根， 且收敛速度慢， 可以为其他方 法提供一个初 值，用其他方 法精确化。
图 2.3
预备定理
介值定理 函数 f(x)在[a,b]上单调连续，且 f(a)f(b)<0，则方程 f(x)=0 在区间[a,b]上有且仅有
x1=e –x0=0.60653,
x2=e –x1=0.54524,…….
迭代结果:
xk+1=e –xk
k
xk
xk – xk-1
0 0. 5
1 0. 606 53 0. 106 53 2 0. 545 24 －0. 061 29
3 0. 579 70 0. 034 46 4 0. 560 07 －0. 019 63
y x

y

g(x)
图 2.4
迭代过程(2.8)就是在x轴取初始近似值x0,过x0作y轴 的平行线交曲线y=g(x)于p0,p0的横坐标为x0,纵坐标为 g(x0)(g(x0)=x1),也即
p0(x0,x1) 再在x轴上取x1作为新的近似值,过x1作y轴的平行线 交曲线y=g(x)于p1,p1的横坐标为x1,纵坐标为 g(x1)(g(x1)=x2),也即
0. 00389
5
1. 46624
0. 00177
6
1. 46588
0. 00081
7
1. 46571
0. 00037
8
1. 46563
0. 00008
9
1. 46560
0. 00003
由于
x9 x8
3 105 1 104 2
，故取x ≈ x9=1.46560
迭代法的局部收敛性
进行迭代; (3)若｜x k+1-xk｜＜ε,则停止计算,x≈x k+1。
例2 求方程 x= e-x
在x=0.5附近的一个根。按五位小数计算,计算结果 的精度要 求为ε=10-3。
解 过x=0.5以步长h=0.1计算 f(x)=x-e-x
由于 f(0.5)＜0,f(0.6)＞0
故所求的根在区间(0.5,0.6)内,且在x=0.5附近
xk1 g( xk ), k 0,1, 2,
(2.8)
从给定的初始近似根x0出发,按迭代公式(2.8)可以
得到一个数列
x0,x1,x2,…,xk,…
若这个数列｛xk｝有极限,则迭代公式(2.8)是收敛 的。此时数列的极限
x

lim
k
xk
就是原方程(2.1)的根。 虽然迭代法的基本思想很简单,但效果并不总是令
(x ) 1
则迭代格式 xk1 (xk ) 在根 x* 附近具有局部收敛性。
由于在实际应用中根 x* 事先不知道，故条件 | φ ′(x* )| < 1
无法验证。但已知根的初值x0在根 x*邻域，又根据φ ′(x)的连续性，则 可采用
| φ ′(x0 )|< 1 来代替| φ ′(x* )| < 1，判断迭代的收敛性。
故 x*≈x10≈ 0.567
例：迭代过程 xk 1
xk

c(
x
2 k
5) ，当局部收敛到
5
时，确定c 的值。
解：迭代函数 (x) x c(x 2 5) ，(x) 1 2cx ，
当 局 部 收 敛 到 5 时 ， ( 5) 1 2c 5 1 ，
1 1 2c 5 1 ，有 1 c 0 。 5
迭代法是一种逐次逼近的方法，用某种固定格式反复校正根的近似 值，使之逐步精确，最后达到满意的效果。
例 求 x3 x 1 0 在 x0 1.5 附近的根。 解 将上式写成等价方程 x 3 x 1 ，当用根 x 代入时，有
x 3 x* 1 设 x0 1.5 是其根，代入时，有
因而迭代收敛。
方法 2：取等价形式 x3 1 x2 ，故收敛格式 xk 1 3 1 xk2 ， k 0,1, 。
其中 (x)
3 1
x2
，则 (x)
2x (1
x
2

)
2 3
3
由于： (x) 2 1.6 0.51741 1 ， x (1.4,1.6) ，因而迭代收敛。且
5 0. 571 17 0. 011 10
k
xk
6 0. 564 86 7 0. 568 44 8 0. 566 41 9 0. 567 56 10 0. 566 91
xk – xk-1
－0. 006 31 0. 003 58 －0. 002 03 0. 001 15 －0. 000 65
|x10 - x9 |=0.00065<ε，
解： (x) x c(x2 5) ，(x) 1 2cx ，当(x ) 0
时，至少平方收敛，所以取1 2c 5 0 ，c 1 25
例
设方程12 3x 2 cos x 0 的迭代法 xk1
4
2 3
cos
xk
，证明
对
x0

R
，均有
lim
连续，且
(x* ) (x* ) ( p1) (x* ) 0 ( p) (x* ) 0
则迭代格式 xk1 (xk ) 在 x* 邻近是 p 阶收敛的。
证明 (x*) 0 ，迭代过程 xk1 (xk ) 有局部收敛性。
(xk
)
(x*)
迭代的计算步骤
（1）确定 f (x) 0 的等价形式 x (x) ， 选初值 x0 ，判断收敛性 （ x0） 1 。
（2）由公式 x1 (x0 ) 计算 x1 。 （ 3 ） 如 果 x1 x0 则 停 止 计 算 ， 取
x* x1 ；否则令 x0 x1 ，重复步骤 2 和 3，直
,4
2 3


(,
)
max xR
'(x)

2 sin x 3

1,
lim
k
xk
x * ，其中 x * 为方程的根；取 x0 4 ，求此
迭代法的近似根，使误差不超过 10-3 ；证明此迭代法的收敛阶。
证
xk 1

4

2 3
cos xk
，迭代函数 ( x)

4

2 3
cos x
是连续函数
4

2 3

4

2 3
cos
x

4

2 3
,(x)
4

2 3
计算结果见下表
k
xk
0
1. 5
1
1. 35721
2
1. 33086
3
1. 32588
4
1. 32494
5
1. 32476
6
1. 32473
7
1. 32472
8
1. 32472
xk xk 1
——
对于一般形式的方程(2.1),首先我们设法将其化为 下列等价形式
x=g(x)
(2.7)
然后按(2.7)构造迭代公式
定义 如果存在 x* 的某个邻域 ： x x* ，使迭代过程 xk1 (xk ) 对 于 任 意 初 值 x0 均 收 敛 ， 则 称 迭 代 过 程 xk1 (xk ) 在根 x* 附近具有局部收敛性。
定理 设 (x) 在 x (x) 的根 x* 附近连续，且有
(x*)(xk

x )

1 2

(
x*
)(
xk

x)2


(
p
1
1)!
(
p 1)
(
x*
)(
xk
x )( p1)

1
p!
(
p
)
(
)(
xk
x) p
xk 1 x*

1
p!
(
p
)
(
)(
xk
x ) p ，得证。
例：迭代过程 xk1 xk c(xk2 5) ，至少平方收敛到 5 时，确定c 的值。
p1(x1,x2) 而这相当于过p0引平行于x轴的直线交y=x于
Q1(x1,x2)
再过Q1引平行于y轴的直线交曲线y=g(x)于 p1(x1,x2)
仿此可得到点列
p0(x0,x1),p1(x1,x2),p2(x2,x3),…
若
lim
k
pk

p
lim
k
xk

x
则 迭 代 法 收 敛 , 见 图 2.4(a); 否 则 迭 代 法 发 散 , 见 图 2.4(b)。
到计算停止。
迭代法计算框
2.2.3 迭代过程的收敛速度
定 义 设 迭 代 过 程 xk1 (xk ) 收 敛 于 x (x) 的根 x* ，迭代误差 ek xk x* ，如果
存在常数 p （ p 1）和不等于零的常数 c 使
必须说明两点: ①若g(x)可微,可用充分条件
g(x) q 1
这里q＜1是非常重要的条件,否则不能保证迭代收敛。
②对于收敛的迭代过程,误差估计式(2.11)说明迭代 值的偏差｜xk-xk-1｜相当小,就能保证迭代误差｜x-xk｜ 足够小。因此在具体计算时常常用条件
｜xk-x k-1｜＜ε 来控制迭代过程结束。
人满意的。对于上例,若按方程写成另一种等价形式
x=x3-1
(2.9)
建立迭代公式
xk+1=x3k-1, k=0,1,2,… 仍取初始值x0=1.5, 则迭代结果为
x1=2.375 x2=12.3976
迭代法的几何意义:把方程(2.1)求根的问题改写成 (2.7)变为求数列｛xn｝的极限,实际上是把求根问题转 化为求