简单迭代法
简单迭代法解方程例题
简单迭代法解方程例题
简单迭代法是一种求解方程的数值方法，它通过逐步逼近的方式求得方程的近似解。
本文将介绍一个具体的例题，并使用简单迭代法来解决。
假设我们要解如下方程：
x = e^(-x)
我们的目标是找到方程的解x。
首先，我们可以将方程改写成迭代格式：
x_{n+1} = e^(-x_n)
其中，x_n表示第n次迭代的近似解，x_{n+1}表示下一次迭代的近似解。
现在，我们需要选择一个初始值x_0作为起始点。
通常情况下，可以选择一个离方程解比较接近的初始值，这样可以加快收敛速度。
在本例中，我们选择x_0 = 0作为初始值。
接下来，我们按照迭代格式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
在本例中，我们可以选择迭代次数达到一定的值，或者判断两次迭代之间的差值是否小于一个给定的容差。
具体的迭代计算如下：
x_1 = e^(-x_0)
x_2 = e^(-x_1)
...
x_n = e^(-x_{n-1})
在每一次迭代中，我们将得到一个新的近似解x_n。
我们可以继续进行迭代计算，直到满足收敛条件。
需要注意的是，简单迭代法并不保证能够得到方程的解。
有些方程可能不满足迭代过程的收敛条件，或者方程可能有多个解，而简单迭代法只能找到其中一个解。
总而言之，简单迭代法是一种简单但有效的数值方法，可以用于求解一些方程的近似解。
通过选择合适的初始值和收敛条件，我们可以得到方程的一个近似解。
然而，需要注意的是并不是所有方程都适合使用简单迭代法进行求解，有些方程可能需要使用其他更复杂的方法。
计算方法-迭代法讲义
计算 xi(k1) 时,
x(k 1) j
(
j
i)的值已经算出
所以迭代公式可以修改成：
X (k1) D1LX(k1) D1UX (k) D1b
或写成分量形式
i1
n
x(k1) i
(bi
aij
x
( j
k 1)
aij x(jk) ) / aii
j 1
j i 1
7
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为 (D – L)X = ＵＸ＋b ， 从而有： Ｘ = (D – L)-1 UX + (D – L)-1b
2
4.1、雅可比（Jacobi）迭代法
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为
DX = (Ｌ＋Ｕ)Ｘ＋b ，
若 det(D)0, 则有：
Ｘ = D-1(L + U)X + D-1b
得到雅可比迭代矩阵：
BJ = D-1(L + U)，b’= D-1b 从而，得到雅可比迭代公式：
注意：这里的对角 矩阵的D-1是非常 容易计算的。
（精度要求）
得到满足要求的近似解。
例子：p.55(p.52)例8 ，10-3的精度，迭代10 次。
3x1x12xx22
5 5
x( 1
k
1)
x(k) 2 3
5 3
x2( k
1)
x(k) 1
2
5 2
x(0 1
x2(0
) )
0 0
6
4.2、高斯-赛德尔迭代法 雅可比方法中
X (k1) D1(L U) X (k) D1b
|| B || 0.62875, || B ||1 0.648065375,
有限差分法-3
一、差分方程
下式为一维非稳定流的差分方程：
T Hi,k1 Hi1,k1 T 1 Hi,k Hi1,k
x
x
T
Hi1,k 1 x
Hi,k 1
T
1
Hi1,k x
Hi,k
S
x
Hi,k1 t
Hi,k
利用水量均衡原理，可得二维流的差分方程：
沿x方向流入量和流出量之差为：
T Hi, j,k 1 Hi1, j,k1 T 1 Hi, j,k Hi1, j,k
h2m,k 1
h m 1 1,k 1
h m 1 2,k 1
2
x
2
x
x
t
h m 1 1,k 1
h1,k
K
hm 1,k 1
hm 2,k 1
h m 1 1,k 1
h m 1 2,k 1
K
hm 2,k 1
h3m,k 1
h m 1 2,k 1
h m 1 3,k 1
x
2
x
2
x
t
h m 1 2,k 1
F3
A H m1 1 0,k 1
A H m1 2 1,k 1
A H m1 3 2,k 1
C1H
m 2,k
1
C2
H
m 3,k
1
C3
H
m 4,k
1
H m1 n1,k 1
Fn1
A H m1 n1 n2,k 1
Cn
1H
m n,k
1
简单迭代法也叫同步迭代法。
高斯-塞德尔迭代法也叫异步迭代法。
3、超松弛迭代法
2
x
x
t
hi,k 1 hi,k
解x=g(x)的简单迭代法
若等号成立,则表示a是根或者b是根,[a,b]上已有根存在了, 若等号成立,则表示a是根或者b是根,[a,b]上已有根存在了,对于 上已有根存在了 一般情况,由根的存在定理 由根的存在定理， 一般情况 由根的存在定理， h( x) = 0在 [a , b] 上至少存在一个根 x*, 即x = g(x) 在[a,b]上至少存在一个根 x*, 即 h( x* ) = g( x* ) − x* = 0. [a,b]上至少存在一个根 * * * * * 设 [a,b]上另一根 上另一根, 下证唯一性， y 为 x = g(x)在[a,b]上另一根,则 y = g( y ),x = g(x ), 下证唯一性， y* − x* = g( y* ) − g( x* ) ≤ L y* − x*， ∴ y * = x *。 从而 20 由条件(1)知 { xk } 适定的，另外 适定的， 由条件(1)知
定理3 (压缩不动点定理或压缩映象定理) 若迭代函数g(x)满足 定理3 压缩不动点定理或压缩映象定理) 若迭代函数g(x)满足 g(x) (1) g( x ) ∈ [a , b], ∀x ∈ [a , b] (3.3) ( 2)∃0 < L < 1, 使∀x′, x′′ ∈[a, b] 有g( x′) − g( x′′) ≤ L x′ − x′′ (3.4)
k →∞
k ←∞
即 x * 是 ( 3 . 2 )的解 。g(x)把定义域的每个 映成了 把定义域的每个x 把定义域的每个 映成了g(x)，因此 ( 3 .2 ) ， 的不动点。 的解也称 g ( x ) 的不动点。 也可理解成： 是映射， 也可理解成：g(x ) 是映射，若 x* 满足 x* = g( x* ), 则 x * 称为 g ( x )的不动点。 的不动点。 适定是收敛必要条件 即不适定则一定不收敛 必要条件， 适定则一定不收敛。 注: 适定是收敛必要条件，即不适定则一定不收敛。
简单迭代法求方程的根matlab
简单迭代法求方程的根1. 引言简单迭代法是一种常用的求解非线性方程根的方法。
它基于方程的连续性和局部斜率连续的性质，通过迭代逼近方程的根。
在本文中，我们将详细介绍简单迭代法的原理和步骤，并使用MATLAB编写代码来解决方程求根问题。
2. 简单迭代法原理简单迭代法的基本思想是，将非线性方程转化为迭代形式，通过不断迭代逼近方程的根。
其原理基于不动点定理，即给定一个函数f(x)，若存在一个不动点x∗，满足x∗=f(x∗)，则迭代过程x k+1=f(x k)中的序列x k将收敛到x∗。
对于求解方程f(x)=0的问题，我们可以将其转化为x=g(x)的形式，其中g(x)= x−f(x)，且f′(x)不等于0。
这样，我们可以通过迭代逼近x=g(x)的根，从而得f′(x)到原方程的解。
3. 简单迭代法步骤简单迭代法的步骤如下：3.1 选择初始点选择一个合适的初始点x0作为迭代的起点。
3.2 迭代计算根据迭代公式x k+1=g(x k)，计算序列x k的下一个值。
3.3 判断终止条件根据预设的终止条件，判断是否满足终止条件。
常用的终止条件包括： - 迭代次数达到预设的最大值。
- 迭代过程中下一个值与当前值之差小于预设的精度。
3.4 输出结果当满足终止条件时，输出最终的逼近根的值。
4. 简单迭代法在MATLAB中的实现以下是简单迭代法在MATLAB中的实现代码：function root = simple_iter_method(f, g, x0, max_iter, precision) % f: 原方程% g: 迭代函数% x0: 初始点% max_iter: 最大迭代次数% precision: 精度x = x0;iter = 0;while iter < max_iterx_next = feval(g, x); % 使用feval函数计算迭代值if abs(x_next - x) < precisionroot = x_next;return;endx = x_next;iter = iter + 1;enderror('达到最大迭代次数，未找到合适的解');end5. 示例与应用5.1 示例：求解方程x2−3x+2=0。
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)).
本科生实验报告实验课程数值计算方法学院名称信息科学与技术学院专业名称计算机科学与技术学生姓名学生学号指导教师实验地址实验成绩二〇一六年五月二〇一六年五月1实验一 非线性方程求根1.1问题描绘实验目的：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法， 。
实验内容：试分别用二分法、简单迭代法、Newton 迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)，求x 5-3x 3+x-1=0在区间[-8,8]上的所有实根，偏差限为10-6。
要求：议论求解的全过程，对所用算法的局部收敛性，优弊端等作剖析及比 较，第2章算法思想2.1二分法思想：在函数的单一有根区间内，将有根区间不停的二分，找寻方程的解。
步骤：1.取中点mid=(x0+x1)/2 2.若f(mid)=0,则mid 为方程的根，不然比较与两头的符号，若与f(x0) 异号，则根在[x0,mid]之间，不然在[mid,x1]之间。
3并重复上述步骤，直抵达到精度要求，则 mid 为方程的近似解。
开始读入a,b,emid=(a+b)/2 F(a)*f(b)<0是 a=mid b=mid no |a-b|<e? yes 输出mid结束22.2简单迭代法思想：迭代法是一种逐次迫近的方法，它是固定公式频频校订跟的近似值，使之逐渐精准，最后获得精度要求的结果。
步骤：1.结构迭代公式f(x)，迭代公式一定是收敛的。
2.计算x1,x1=f(x0).3.判断|x1-x0|能否知足精度要求，如不知足则重复上述步骤。
4．输出x1,即为方程的近似解。
开始输入x0,eX1=f(x0)f为迭代函数X1=x0;No|x1-x0|<eyes输出x1结束32.3Newton迭代法思想：设r是的根，选用作为r的初始近似值，过点做曲线的切线L，L的方程为，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。
过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，此中，称为r的次近似值步骤：1.计算原函数的导数f’(x);结构牛顿迭代公式2.计算,若f’(x0)=0,退出计算，不然持续向下迭代。
4.2简单迭代法
( x) L 1对 x[a, b] 成立。
则① 方程x=φ(x)在[a,b]上有唯一根x*; ② 任取 x0[a, b]，由 xk+1 = φ(xk) 得到的序列 x k k 0 收敛于x*。并且有误差估计式： ③ x * x k
L xk xk ห้องสมุดไป่ตู้ 1 L
显然 ( x)在[1, 2]上单调增加。
而(1) 3 2 1，( 2) 3 3 2
即 ( x ) [(1), ( 2)] [1,2]， 所以( x )满足条件（I）。
又
2 1 1 3 | ' ( x ) || ( x 1) | 3 L 1 3 3 4
③ ③
L x * xk xk xk 1 1 L
k ？ ④ | x*x | L | x x | k 0 ？ 1 L 1
x * xk L | x * xk 1 | L | ( x * xk ) ( xk xk 1 ) |
L x * xk xk xk 1 1 L
3 x2 2 x1 1 3
3 x3 2 x2 1 55
显然迭代法发散
(2) 如果将原方程化为等价方程 仍取初值
x0 0
x
3
x 1 2
迭代格式
xk 1
3
xk 1 2
x1 3 x2 3
依此类推,得
1 x0 1 3 0.7937 2 2 x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
( k = 1, 2, … )
可用 | xk xk 1 | 来控制迭代过程
Lk | x1 x0 | ④ | x * xk | 1 L
数值分析2 迭代法
§2简单迭代法——不动点迭代(iterate)迭代法是数值计算中的一类典型方法，被用于数值计算的各方面中。
一、简单迭代法设方程f(x)=0 (3)在[a,b]区间内有一个根*x ，把(3)式写成一个等价的隐式方程x=g(x) (4)方程的根*x 代入(4)中，则有)(**=x g x (5)称*x 为ｇ的不动点（在映射ｇ下，象保持不变的点），方程求根的问题就转化为求(5)式的不动点的问题。
由于方程(4)是隐式的，无法直接得出它的根。
可采用一种逐步显式化的过程来逐次逼近，即从某个[a,b]内的猜测值0x 出发，将其代入(4)式右端，可求得)(01x g x =再以1x 为猜测值，进一步得到)(12x g x =重复上述过程，用递推关系——简单迭代公式求得序列}{k x 。
如果当k →∞时*→x x k ,}{k x 就是逼近不动点的近似解序列，称为迭代序列。
称(6)式为迭代格式，g(x)为迭代函数，而用迭代格式(6)求得方程不动点的方法，称为简单迭代法，当*∞→=x x k k lim 时，称为迭代收敛。
构造迭代函数g(x)的方法：(1)=x a x x -+2，或更一般地，对某个)(,02a x c x x c -+=≠；(2)x a x /=； (3))(21xa x x +=。
取a=3,0x =2及根*x =1.732051，给出三种情形的数值计算结果见表表 032=-x 的迭代例子问题：如何构造g(x)，才能使迭代序列}{k x 一定收敛于不动点？误差怎样估计？通常通过对迭代序列}{k x 的收敛性进行分析，找出g(x)应满足的条件，从而建立一个一般理论，可解决上述问题。
二、迭代法的收敛性设迭代格式为),2,1,0()(1 ==+k x g x k k而且序列}{k x 收敛于不动点*x ，即∞→→-*k x x k (0时）因而有)3,2,1(1 =-≤-*-*k xx x x k k (7)由于),(),)((11*-*-*∈-'=-x x x x g x x k k k ξξ当g(x)满足中值定理条件时有),(),)((11*-*-*∈-'=-x x x x g x x k k k ξξ (8)注意到(8)式中只要1)(<<'L g ξ时，(7)式成立.经过上述分析知道,迭代序列的收敛性与g(x)的构造相关,只要再保证迭代值全落在[a,b]内，便得：假定迭代函数g(x)满足条件(1) 映内性：对任意x ∈[a,b]时，有a ≤g(x) ≤b ；(2) 压缩性：g(x)在[a,b]上可导，且存在正数Ｌ<1，使对任意 x ∈[a,b]，有L x g <')( （9）则迭代格式)(1k k x g x =+对于任意初值0x ∈[a,b]均收敛于方程x=g(x)的根，并有误差估计式011x x LL x x kk --≤-*（10）证明 ：收敛性是显然的。
简单迭代法matlab例题程序
一、引言在数学建模和计算机编程中，简单迭代法是一种常用的求解方程近似解的方法。
其原理是通过不断迭代计算，逼近实际的解。
在Matlab 编程中，简单迭代法也是一种常见的应用。
本文将介绍简单迭代法的原理，并给出在Matlab中实现简单迭代法的例题程序。
二、简单迭代法原理1. 简单迭代法的基本思想是将需要求解的方程转化为迭代形式，即 x = g(x)，然后通过不断迭代计算得到方程的近似解。
2. 简单迭代法的收敛条件是 |g'(x)| < 1，即迭代函数的导数的绝对值小于1时，迭代过程才能收敛。
3. 简单迭代法的收敛速度取决于迭代函数的选择，通常可以通过调整迭代函数来提高收敛速度。
三、Matlab中的简单迭代法实现在Matlab中，可以通过编写脚本文件来实现简单迭代法。
下面给出一个简单的例题：求解方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的近似解。
4. 以下是Matlab中实现简单迭代法的脚本文件示例：```matlab定义迭代函数g = (x) 3*x - x^2;设置迭代初值和迭代次数x0 = 0.5;N = 100;迭代计算for k = 1:Nx = g(x0);fprintf('第d次迭代，近似解为：.10f\n', k, x);if abs(x - x0) < 1e-8 判断迭代是否收敛break;endx0 = x;end```5. 通过运行上述脚本文件，即可得到方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的近似解。
四、实例分析通过上述例题程序的运行结果可以看出，简单迭代法在Matlab中的实现比较简单直观。
但是需要注意的是，迭代函数的选择和迭代初值的设定对最终的近似解都会产生影响，需要经过一定的调试和优化。
五、总结简单迭代法是一种常用的求解方程近似解的方法，在Matlab编程中也有着广泛的应用。
通过本文的介绍和示例程序，相信读者已经对简单迭代法在Matlab中的实现有了更深入的了解。
解线性方程组的迭代法
|| x || 0 (非负性) ； （1）|| x || 0 ，当且仅当 x 0 时，
（2） || x ||| | || x || (齐次性)； （3） || x y |||| x || || y || (三角不等式). 则称 || x || 为向量 x 的范数 (或模).
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
常用的向量范数：设 x R n （1）向量的 - 范数 (最大范数)： || x || max | xi |
1 i n
|| x ||1 （2）向量的 1 - 范数 (绝对值范数)：
（3）向量的 2 - 范数：|| x ||2 ( x , x ) (
|| A ||2 3+2 2 , || A ||F 6
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
(k ) ) R nn ，如果存 定义5 (矩阵序列的极限) 设有矩阵序列 Ak (aij
在 A (aij ) R nn，使
k (k ) lim aij aij ,
i, j 1, 2,
（4） || AB |||| A || || B || ； 则称 || A || 为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s 和向量范数 || ||t ，如果对任何向量 x R n 及矩阵 A R nn ，有/2 || A ||F ( aij ) i , j 1 n
它是与向量 2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
简单迭代法
简单迭代法
简单迭代法是一种常用的数值计算方法，通常用于求解方程的近似解。
它是一种基于迭代的算法，通过不断逼近方程的解来得到一个足够精确的近似解。
在实际应用中，简单迭代法的可靠性、效率和实用性都得到了广泛的认可和应用。
简单迭代法最常用的形式是不动点迭代法，其基本思路是通过将方程的解表示为函数的不动点来进行迭代。
具体实现方法是，从一个起始点开始，将该点代入函数计算，得到一个新的点，然后将新的点再代入函数中计算，这样不断进行下去，直到得到一个满足要求的近似解为止。
在实际应用中，简单迭代法的使用需要一定的条件限制，如函数必须具有连续性和单调性等等。
此外，迭代过程的收敛性也是需要关注的一个重要问题。
一般而言，只有当函数的导数小于1时，才能保证迭代的收敛性。
因此，在使用简单迭代法求解方程时，需要对函数的特性进行仔细的分析和评估，以确保迭代过程的有效性和准确性。
简单迭代法在实际应用中具有广泛的用途和应用场景。
例如，在工程设计中，可以利用简单迭代法对复杂的函数进行求解，以确定合适的参数和方案。
此外，在金融领域、物流领域和医疗领域等领域，简单迭代法也被广泛应用于问题求解和决策分析中。
总之，简单迭代法作为一种常用的数值计算方法，为我们解决实际问题和提高工作效率提供了有力的支持和保障。
在今后的工作中，
我们应注重加强对简单迭代法的学习和应用，进一步挖掘其潜力和价值，为推动科技进步和社会发展做出更大的贡献。
简单迭代法
(1)当迭代函数(x)满足什么条件时，相应的迭代公式 xk+1=(xk)才收敛？
(2)当迭代收敛时，迭代值的误差如何估计？ 我们也不能无穷迭代下去，只能迭代有限次，所以需 要估计迭代值的误差，以便适时终止迭代。
迭代格式有多种，如何选择迭代函数才能保证迭 代法的数列收敛？有如下定理：
计式，得：
x* xk
Lk 1 L
x1 x0
计算方法二③
16/32
注1：定理2.1给出了一个收敛的迭代数列{xk}的误差 估计式。利用它，在给定精度ε>0后，只要计算到
L 1 L
|
xk
xk 1
|
就有：|x*-xk|<ε
即：只要前后两次迭代值的差值足够小，就 可使近似值xk达到任意的精度要求。
计算方法二③
记 x3=(x2) 如此反复计算…… xk+1=(xk) ，(k=0,1,2,…)
8/32
当{xk}收敛于a，而(x)是连续函数时，那么a
就是所求方程的根x* 。这是因为
a
lim
k
xk 1
lim
k
(
xk
)
(lim k
xk
)
(a)
a即是(x)的不动点。 即：x*=a
一般地，我们称(x)为方程f(x)=0的迭代函数，上
述求根的方法，称为简单迭代法。
迭代函数(x)的构造方法是多种多样的。
计算方法二③
5/32
例1 用迭代法求方程x3-x-1=0在x=1. 5附近的根。 解：先将原方程改写为如下两种等价形式：
x=1(x) 3 x 1
简单迭代法求方程的根matlab
简单迭代法求方程的根matlab一、简介简单迭代法，又称为逐次逼近法或枚举法，是求解非线性方程的一种重要方法。
其基本思想是将原方程转化为等价的形式，然后通过不断迭代逼近方程的根。
在MATLAB中，可以通过编写程序来实现简单迭代法求解方程的根。
二、算法原理设非线性方程f(x)=0有一个实根α，将f(x)在α处进行泰勒展开，则有：f(x)=f(α)+(x-α)f'(α)+O((x-α)^2)其中O((x-α)^2)表示高阶无穷小。
由于f(α)=0，因此上式可化为：f(x)=(x-α)f'(α)+O((x-α)^2)移项得到：x=α-f(x)/f'(a)这就是简单迭代法的基本公式。
显然，如果从一个初始值x0开始，不断使用公式进行迭代，则可以逐步逼近方程的根。
三、MATLAB程序设计1. 设定初始值和误差限制我们首先需要确定初始值x0和误差限制epsilon。
其中epsilon通常取较小的值（如10^-6），用于控制计算精度。
在MATLAB中可以编写如下代码：clc;format long; % 设置输出精度% 设定初始值和误差限制x0 = 1; % 初始值epsilon = 1e-6; % 误差限制2. 编写迭代公式根据简单迭代法的基本公式，我们可以编写一个函数来进行迭代计算。
假设要求解方程x^2-3=0的根，可以编写如下代码：function y = f(x)y = x^2 - 3;endfunction y = g(x)y = 2*x;end% 简单迭代法求解方程x^2-3=0的根x0 = 1; % 初始值epsilon = 1e-6; % 误差限制nmax = 100; % 最大迭代次数for n = 1:nmaxx1 = x0 - f(x0)/g(x0);if abs(x1-x0) < epsilon % 判断是否满足精度要求break;x0 = x1;endfprintf('方程的根为：%f\n', x1);在上面的代码中，我们使用了两个函数f和g来分别表示原方程和其导数。
简单迭代法的概念与结论
定义1.
称为超线性收敛 , p = 2时称为平方收敛
显 , p越 ,收 速 也 越 然 大 敛 度 就 快
上一页 下一页 返回
定理二：对于迭代过程xk+1 = (xk ) ，如果 ( p) (x) 在所求根 x* 的邻近连续| ′(x)| L < 1，并且 ′(x*) =′ (x*) ==( p1) (x*) = 0 (*) ≤
上一页
返回
返回
定理一指出, 只要构造的迭代函数满足
(x1) (x2 ) ≤ L x1 x2
≤ 0 ≤ L <1 或 | ′(x)| L < 1
此时虽收敛但不 一定是唯一根
迭 法 k +1 = (xk )就 敛 代 x 收
L xk +1 xk 得 由 xk +1 x * ≤ 1 L L xk xk 1 < ε 1 L 1 L ε ≈ε 因此,当 xk xk 1 < L
( p) (ζ) (xk x* ) p 注意到 (xk ) = xk+1， (x* ) = x* 由上式得 xk+1 x = p!
上一页
下一页
返回
ek +1 ( p) (x*) 因此对迭代误差有: p → 。这表明迭代过程 p! ek
xk+1 = (xk )
确实为P阶收敛，证毕。 定理二告诉我们，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数. 如果选取当 x ∈[a, b] 时 ′(x) ≠ 0 ,则该迭代过程只能是线性
| xk+1 x* |=| (xk ) (x* ) |≤ L | xk x* |
故
xk +1 x* ≤ L xk x*
据此反复递推有
xk x* ≤ Lk x0 x*
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题: 由g ( x k ) = x k + 1 , 求 x k + 1，然而 x k 是否是g(x)定义域上的值? 问题: 是否是g(x)定义域上的值? g(x)定义域上的值 定义4 保持有界, 且全在g(x)定义域内, g(x)定义域内 定义4 若迭代序列 { x k } 保持有界, 且全在g(x)定义域内,则 lim xk = x* . 则简单迭代 简单迭代法(3.2)称为适定 (3.2)称为适定的 若进一步有 k → ∞ 简单迭代法(3.2)称为适定的； 称为收敛 法(3.2)称为收敛的。 称为收敛的 迭代公式 x k + 1 = g ( x k ), k = 0,1,L ( 3 . 2 ) 当迭代(3.2)收敛时, 又是g(x)的连续点, g(x)的连续点 当迭代(3.2)收敛时,极限点 x * 又是g(x)的连续点,则 (3.2)收敛时 * = g( lim xk ) = g( x * ) x = limxk +1 = lim g ( xk ) k →∞
a ≤ x ≤b
x ∈[ a , b ]
邻近讨论， 因此有局部收敛定理4 实际计算中往往只在根 x 邻近讨论， 因此有局部收敛定理4： 若 （ 定理4 局部收敛定理） 定理4 局部收敛定理） g ( x ) 在不动点 x * 的 δ 邻域满足 x ∈ [ x* δ , x* + δ ], 有 g ( x ) g ( x * ) ≤ L x x * ,( 3 . 7 ) 0 < L < 1, * x0 ∈ [ x* δ , x* + δ ], 由 xk +1 = g( xk ) 产生的序列{ x k } 收敛于 x , 则 x* xk ≤ Lk x* x0 , k = 0,1,L. ( 3 .8 ) 且有误差估计： 且有误差估计： 证明： 证明：k ≥ 1, x* xk = g( x* ) g( xk 1 ) ≤ L x* xk 1 ∴ x* x1 ≤ L x* x0 ≤ Lδ < δ，
§3 解x=g(x)的简单迭代法 x=g(x)的简单迭代法
3.1 简单迭代法公式
问题: f(x)实函数 实函数. f(x)=0的近似值 的近似值。 问题: f(x)实函数.求f(x)=0的近似值。 基本思想方法： 基本思想方法： ( 3 .1 ) x = g( x ) (1)先将f(x)=0化为等价方程 (1)先将f(x)=0化为等价方程 先将f(x)=0 (2) 从某 x 0 出发,作序列 { x k } : 出发, 初始近似 x = g ( x ), k = 0,1,L 迭代公式) (迭代公式) ( 3 . 2 ) k +1 k k+1次近似 次 f(x)=0的根 的根。 若 { x k } 收敛于 x* 且 g ( x ) 连续,则 x * 是f(x)=0的根。 连续, 称 (3.2)式称为简单迭代法或单点迭代法或单步迭代法。 g(x)称 (3.2)式称为简单迭代法或单点迭代法或单步迭代法。 式称为简单迭代法 迭代函数。 为迭代函数。 说明: f(x)=0化成等价方程x=g(x)的化法有很多种 化成等价方程x=g(x)的化法有很多种。 说明: 由f(x)=0化成等价方程x=g(x)的化法有很多种。 讨论的问题: 如何选取迭代函数g(x)？ 迭代函数g(x) 讨论的问题: (1) 如何选取迭代函数g(x)？ g(x)满足什么条件 迭代序列收敛？收敛速度是多少？ 满足什么条件， (2) g(x)满足什么条件，迭代序列收敛？收敛速度是多少？ 如何加速迭代序列的收敛速度 迭代序列的收敛速度？ (3) 如何加速迭代序列的收敛速度？
若等号成立,则表示a是根或者b是根,[a,b]上已有根存在了, 若等号成立,则表示a是根或者b是根,[a,b]上已有根存在了,对于 上已有根存在了 一般情况,由根的存在定理 由根的存在定理， 一般情况 由根的存在定理， h( x) = 0在 [a , b] 上至少存在一个根 x*, 即x = g(x) 在[a,b]上至少存在一个根 x*, 即 h( x* ) = g( x* ) x* = 0. [a,b]上至少存在一个根 * * * * * 设 [a,b]上另一根 上另一根, 下证唯一性， y 为 x = g(x)在[a,b]上另一根,则 y = g( y ),x = g(x ), 下证唯一性， y* x* = g( y* ) g( x* ) ≤ L y* x*， ∴ y * = x *。 从而 20 由条件(1)知 { xk } 适定的，另外 适定的， 由条件(1)知
0
1 Lk ( 30 有误差估计 : x * xk ≤ xk + 1 xk ≤ x1 x0 ； 3.5 ) 1 L 1 L * x xk + 1 0 * 4 若g′( x )存在, 则 lim * = g′( x* ) k →∞ x x k (3.4) g( x′) g( x′′) ≤ L x′ x′′ * g(x ) g(xk ) 证明： 证明：
h(a ) = g(a ) a ≥ 0, h(b) = g(b) b ≤ 0,
x* xk +1 = g( x* ) g( xk ) ≤ L x* xk , k = 0,1,L， * x* xk ≤ Lk x* x0 → 0， ∴ lim x k = x 。 k→∞
k →∞
x* xk ≤ x* xk +1 + xk +1 xk ≤ L x* xk + xk +1 xk 3 k ≥ 0， 1 * xk+1 xk . (3.4) ∴ x xk ≤ 1 L xk +1 xk = g( xk ) g( xk 1 ) ≤ L xk xk 1 ≤ L ≤ Lk x1 x0 , 又 Lk ∴ x* xk ≤ x1 x0 . 导数的定义） 1 L （导数的定义） * * x xk +1 g( x ) g( xk ) 0 lim * = lim = g′( x* ). 4 k ＃ * k →∞ →∞ x x x xk k 注： 从定理的结论3知，L越小收敛越快，L叫做渐进收敛因子。 (1)从定理的结论 越小收敛越快， 叫做渐进收敛因子 渐进收敛因子。 (1)从定理的结论3
注： 1 3 3 3 ′( x) = x2在 1 1] (2)定理 不是必要条件, 定理3 [ ， (2)定理3不是必要条件,如 x 2x = 0 x = x g 2 2 是解， 只要 x0 取在0 上不满足定理3的条件（ ），实际上 取在0 上不满足定理3的条件（2），实际上 x = 0 是解， 可以满足。 附近， （－1 附近，把（－1，1）缩小使 g′( x ) ≤ L < 1可以满足。 3.4)式的条件较难验证，常采用导数来代替。即有推论1 (3.4)式的条件较难验证，常采用导数来代替。即有推论1 ： 3.4） 推论1 定理3 推论1 定理3 中（3.4）可用下式替代 max g ′( x ) ≤ L < 1 ( 3.4)′ 证明： 证明： 只证 (3.4)′ (3.4), 因 x′, x′′ ∈ [a , b], g( x′) g( x′′) ≤ g′(ξ ) x′ x′′ ≤ max g′( x ) x′ x′′ ≤ L x′ x′′ . ＃ 思考： 思考：3.4)′不成立时结论是否成立 ？ 不一定 ( 因此该推论是充分条件但不是必要条件。 若 ( 3 . 4 )′ 不成立时,则 因此该推论是充分条件但不是必要条件。 不成立时 则 需要判断(3.4) (3.4)。 需要判断(3.4)。
几何意义 x=g(x)的根 求x=g(x)的根
求
0 < g′(x*) <1 y
p0
p1
p2
y=x
y = g ( x)
y
1 < g ′( x ) < 0
*
p0
p2
→
xk → x* 迭代法收敛 ←
x
x*
p1
y=x
y = g(x)
* 0 x 0 x1 x 2 x
g ′( x ) > 1
*
y
x
p1
*
分析: 结论(1) (1)中 有唯一根,因此想到根的存在性定理, 分析: 结论(1)中 x = g(x)有唯一根,因此想到根的存在性定理, 连续条件。 (3.4)实际是 (3.4)实际是Lip .z .连续条件。
1 0 x = g ( x ) 在 [ a , b ]内有唯一解 x *； 20 对xo ∈ [a , b]由xk + 1 = g( xk )得到的{ xk } [a , b], 且 lim xk = x *； k →∞ 1 Lk 0 * ( 3 有误差估计 : x xk ≤ xk + 1 xk ≤ x1 x0 ； 3.5 ) 1 L 1 L x * xk + 1 收敛程度） （收敛程度） 0 ′( x* )存在, 则 lim * ′( x* ) 4 若g =g 收敛速度） （收敛速度） k →∞ x x k
1 0 x = g ( x ) 在 [ a , b ]内有唯一解 x *； 则 0 2 对xo ∈ [a , b]由xk + 1 = g( xk )得到的{ xk } [a , b], 且 lim xk = x *； k →∞ 0 证明：1 作 h( x ) = g ( x ) x ,由(1), 得 h( x ) ∈ C [a , b ], 且 证明：
定理3 (压缩不动点定理或压缩映象定理) 若迭代函数g(x)满足 定理3 压缩不动点定理或压缩映象定理) 若迭代函数g(x)满足 g(x) (1) g( x ) ∈ [a , b], x ∈ [a , b] (3.3) ( 2)0 < L < 1, 使x′, x′′ ∈[a, b] 有g( x′) g( x′′) ≤ L x′ x′′ (3.4)
y = g ( x)
y= x
p0
g ′( x * ) < 1 y
* x 0 x 0 x 2 x x1 p2 y=x p0