数值分析-对分法和一般迭代法
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。
求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。
本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。
现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
数值分析3.1.二分法、迭代法及收敛性
上述令p→∞, 及limxk+p=x* (p→∞)即得(2.6)式. 证毕. 注：误差估计式(2.5)原则上确定迭代次数，但它由 于含有信息 L 而不便于实际应用. 而误差估计式(2.6) 是实用的，只要相邻两次计算结果的偏差足够小即 可保证近似值 xk 具有足够精度.
注： 对定理1和定理2中的条件2º 可以改为导数，即 在使用时如果(x)∈C[a, b]且对任意x∈[a, b]有
显然f(x)∈C[a, b],且满足f(a)=(a)-a>0, f(b)=(b)-b<0, 由连续函数性质可知存在 x*∈(a, b) 使 f(x*)=0，即 x*=(x*)，x*即为(x)的不动点. 再证不动点的唯一性. 设x1*, x2*∈[a, b]都是(x) 的不动点，则由(2.4)得
可以如此反复迭代计算
xk+1=(xk) 到的序列{xk}有极限 (k=0,1,2,). (2.2)
(x)称为迭代函数. 如果对任何x0∈[a, b]，由(2.2)得
lim xk x .
k
则称迭代方程(2.2)收敛. 且x*=(x*)为(x)的不动点， 故称(2.2)为不动点迭代法.
例1 用二分法求方程 f(x)=x3-x-1=0在(1, 1.5)的实根, 要求误差不超过0.005.
解 由题设条件，即：
|x*-xn|≤0.005 则要
1 2
n 1
(b a)
1 2
n 1
(1.5 1)
1 2
n 2
0.005
2 由此解得 n 1 5.6,取 n=6, 按二分法计算过程见 lg 2
L2 xk 1 xk 2 Lk x1 x0 .
于是对任意正整数 p 有
数值分析_第2章
证：由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号，故f ( x) 知 知 单调，再由3。 唯一的 [a, b]，使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一：
。 。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二．收敛性：
mn . n .
◆判定二分次数：
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0，若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶 可导，且满足：
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号（凹凸不变性）；
2。 f '( x)在[a, b]上不为0（单调性）； . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算：
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn
数值分析笔记
第一章1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。
ε*=|e*|叫做近似值的误差限，e ∗x=x ∗−x x为相对误差，εr∗=ε∗|x ∗| 为相对误差限。
2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.ε(x 1∗±x 2∗)≤ ε(x 1∗)+ε(x 2∗) ε(x 1∗·x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗) ε(x 1∗/x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗)|x 2∗|24.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。
T1. 已测得某场地长Ɩ的值为Ɩ*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |Ɩ - Ɩ*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=Ɩd 的绝对误差限与相对误差限。
解：因为s= Ɩd, ðs ðƖ=d,ðsðd =Ɩ.故 ε(s∗)≈|(ðs ðl)∗|ε(l ∗)+|(ðs ðd)∗|ε(d ∗), (ðs ðl )∗=d ∗=80m (ðsðd)∗=l ∗=110m ε(l ∗)=0.2m ε(d ∗)=0.1m得绝对误差限 ε(s ∗)=27(m 2)相对误差限εr∗=ε(s ∗)|s ∗|=ε(s ∗)l ∗d ∗≈0.31%T3. 计算I n =e −1∫x n e xdx(n =0,1,…)1并估计误差。
解：由分部积分可得I n =e −1∫x n d (e x )=e −1(x n e x |01−∫e x d (x n )1)1=1−e −1n ∫x n−11e xdx =1−nI n−1 I 0=e−1∫e x10dx =1−e −1得到通式{I n =1−nI n−1 (n =1,2,…)I 0=1−e −1(1)为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数计算。
数值分析2 迭代法
§2简单迭代法——不动点迭代(iterate)迭代法是数值计算中的一类典型方法，被用于数值计算的各方面中。
一、简单迭代法设方程f(x)=0 (3)在[a,b]区间内有一个根*x ，把(3)式写成一个等价的隐式方程x=g(x) (4)方程的根*x 代入(4)中，则有)(**=x g x (5)称*x 为ｇ的不动点（在映射ｇ下，象保持不变的点），方程求根的问题就转化为求(5)式的不动点的问题。
由于方程(4)是隐式的，无法直接得出它的根。
可采用一种逐步显式化的过程来逐次逼近，即从某个[a,b]内的猜测值0x 出发，将其代入(4)式右端，可求得)(01x g x =再以1x 为猜测值，进一步得到)(12x g x =重复上述过程，用递推关系——简单迭代公式求得序列}{k x 。
如果当k →∞时*→x x k ,}{k x 就是逼近不动点的近似解序列，称为迭代序列。
称(6)式为迭代格式，g(x)为迭代函数，而用迭代格式(6)求得方程不动点的方法，称为简单迭代法，当*∞→=x x k k lim 时，称为迭代收敛。
构造迭代函数g(x)的方法：(1)=x a x x -+2，或更一般地，对某个)(,02a x c x x c -+=≠；(2)x a x /=； (3))(21xa x x +=。
取a=3,0x =2及根*x =1.732051，给出三种情形的数值计算结果见表表 032=-x 的迭代例子问题：如何构造g(x)，才能使迭代序列}{k x 一定收敛于不动点？误差怎样估计？通常通过对迭代序列}{k x 的收敛性进行分析，找出g(x)应满足的条件，从而建立一个一般理论，可解决上述问题。
二、迭代法的收敛性设迭代格式为),2,1,0()(1 ==+k x g x k k而且序列}{k x 收敛于不动点*x ，即∞→→-*k x x k (0时）因而有)3,2,1(1 =-≤-*-*k xx x x k k (7)由于),(),)((11*-*-*∈-'=-x x x x g x x k k k ξξ当g(x)满足中值定理条件时有),(),)((11*-*-*∈-'=-x x x x g x x k k k ξξ (8)注意到(8)式中只要1)(<<'L g ξ时，(7)式成立.经过上述分析知道,迭代序列的收敛性与g(x)的构造相关,只要再保证迭代值全落在[a,b]内，便得：假定迭代函数g(x)满足条件(1) 映内性：对任意x ∈[a,b]时，有a ≤g(x) ≤b ；(2) 压缩性：g(x)在[a,b]上可导，且存在正数Ｌ<1，使对任意 x ∈[a,b]，有L x g <')( （9）则迭代格式)(1k k x g x =+对于任意初值0x ∈[a,b]均收敛于方程x=g(x)的根，并有误差估计式011x x LL x x kk --≤-*（10）证明 ：收敛性是显然的。
数值分析--第三章--迭代法
数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。
线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。
得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。
转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。
上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。
特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。
⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。
所以只需要⼀组存储单元。
转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。
计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。
数值分析计算方法
void main(void)
{
double fa=fc(1),fb=fc(3),a=1,b=3,f,x0;
int k=0;
for(;b>a&&b-a>=pow(10,-4)*0.5;)
{
仁fc((a+b)/2);
if(仁=0)
{ x0=(a+b)/2; break;
}Байду номын сангаас
else if(fa*f<0)
{
double y;
y=pow((3*x+1),1.0/3);
return y;
}
double Derivative1(double x)
{
double y;
y=pow((3*x+1),-2.0/3);
return y;
} double Iterate2(double x) {
double y;
y=(1-x*x*x)/3.0;
1.19 817
1.23223
作五次插值，并求x1=0.46，x2=0.55，x3=0.60时的函数近似值.
1■实验目的：通过拉格朗日插值和牛顿插值的实例，了解两种求解方法，并分析 各自的优缺点。
2.算法描述：
3.源程序：
拉格朗日插值：
#include<stdio.h>
#define k2
void main()
三•实验三：分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算f(x)=s in( x)/x的积分, 并与准确值比较判断精度。
1■实验目的：通过实例体会各种算法的精度。熟练掌握复化梯形，复化辛普森, 复化柯特斯求积方法的程序。
数值分析——二分法及迭代法
数值分析——二分法及迭代法数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科。
在数值分析中，二分法和迭代法是两种常用的数值求解方法。
本文将对二分法和迭代法进行详细介绍，并比较它们的特点和适用范围。
一、二分法二分法是一种通过将问题分解为两个子问题，并选择其中一个子问题进行求解的方法。
它适用于解决连续函数的求根问题。
二分法的基本思想是利用中值定理，通过不断缩小区间来逼近根的位置。
具体步骤如下：1.选取一个初始的区间[a,b]，确保f(a)和f(b)的符号相反。
2.计算区间的中点c=(a+b)/23.判断f(c)的符号，并更新区间。
若f(c)与f(a)符号相反，则更新区间为[a,c]；否则更新区间为[c,b]。
4.重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。
5.最后得到的近似根为区间的中点c。
二分法的优点是收敛速度快，且能够保证收敛到根的位置。
然而，二分法的缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度，所以其收敛速度相对较慢。
此外，二分法需要事先确定区间，并且要求f(a)和f(b)的符号相反，这对于一些问题来说可能并不容易实现。
因此，二分法主要适用于单峰函数求根问题。
二、迭代法迭代法是一种通过迭代逐步逼近解的方法。
它适用于一般的数值求解问题。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，将原始问题转化为一个具有相同解的等价问题，并通过逐步逼近来求解。
具体步骤如下：1.选取一个初始的近似解x_0。
2.根据迭代公式x_{k+1}=g(x_k)，计算下一个近似解x_{k+1}，其中g(x)是一个适当的函数。
3.判断迭代是否达到停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。
若满足停止准则，则停止迭代；否则返回步骤2继续迭代。
4.最终得到的近似解为迭代过程中的最后一个近似解x_k。
迭代法的优点是适用范围广，可以求解一般的数值问题。
此外，迭代法的迭代公式可以根据具体问题的特点进行选择，使得迭代过程更加高效。
【分析】数值分析迭代法
【关键字】分析数值分析实验报告（3）学院：信息学院班级：计算机0903班姓名：王明强学号：课题三线性方程组的迭代法一、问题提出1、设线性方程组=x= ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 )2、设对称正定阵系数阵线方程组=x = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 )3、三对角形线性方程组=x= ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 )试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法计算其解。
二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，如由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。
三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；gauss消去法是一种规则化的加减消元法。
它的基本思想是：通过逐次消元计算把需要求求解的线性方程转化成上三角形方程组，也就是把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组求解转化为等价（同解）的上三角方程组的求解。
消去法是直接方法的一种。
优点：对于简单的方程组可以很快得出结果，计算中如果没有舍入误差，在稳定的方程组中容易得到精确解，理论上可以求解任何可以求出解得方程组。
缺点：数值有的时候不稳定（可采用列主元gauss消去法），既要消去，又要回代，算法实现起来比较复杂，不适用于大规模方程组。
迭代法是从某一取定的初始向量x(0)出发，按照一个适当的迭代公式，逐次计算出向量x(1)，x(2)，......，使得向量序列{ x(k)}收敛于方程组的精确解，这样，对于适当大的k，可取x(k)作为方程组的近似解。
优点：算法简单，程序易于实现，特别适用求解庞大稀疏线性方程组。
数值分析——二分法及迭代法
, 从而可得一系列有根区间:
a, b a1 , b1 a2 , b2 an , bn
其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半，因此，
an bn b a an , bn 的长度为bn an n ,且 x an , bn , xn , 2 2 bn an b a x x xn x 0, lim n xn x n1 , lim n n 2 2
x6 1.3242 x , 并且 x x6 0.005
三.二分法算法框图
y
什么时候停止？
f ( x)
a
o
x0 x
a1 a2
2
x*
x1
b2
b b1
x
lim x x n n
xk 1 xk ε
开始
输入数据a , b,
二 分 法 的 算 法 框 图
以上方法称为二分法.它计算简单且收敛.
内 例2:求方程 f ( x ) x x 1 0 在区间 1,1.5
3
的实根，要求误差不超过0.005. 解: 首先按公式估计所要的二分次数
ln(1.5 1) ln 0.01 n 5.644 ln 2
可见只需要二分6次便能达到所要求的精度。 计算结果见书13页的表2-2.
非线性方程包括高次方程和超越方程。
方程 f ( x) 0 的解
x
通常叫做方程的根，
又称为函数 f ( x ) 的零点。 方程求根大致可以包括下列三个问题：
1.根的存在性; 2.根的隔离; 3.根的精确化.
如何根的精确化 ?
已知根的近似值后, 设法将它逐步精确, 直到满足精
《数值分析》第8章
假设 ρ (J ) ≥ 1 ，则 J 至少存在一个特征值满足： λ ≥ 1 ，设 x 是相应的特征向量，则 x ≠ 0 ，且
29
n× n
Jx = λ x ⇔ ( D −
⎧ x ( k +1) = Gx ( k ) + f ⎨ (0) ⎩x
7 8
写成分量形式为：
i −1 n ⎧ ( k +1) 1 = (bi − ∑ aij x(jk +1) − ∑ aij x(jk ) ) (i = 1,", n, k = 0,1,") ⎪ xi aii j =1 j = i +1 ⎪ ⎨ ⎪ (0) (0) (0) (0) T ⎪ ⎩ x = ( x1 , x2 ,", xn )
⎡ 0 ⎤ ⎢a ⎥ 0 ⎥ , L = − ⎢ 21 ⎢ # % % ⎥ % ⎢ ⎥ ann ⎦ ⎣ a n1 " a n , n − 1 ⎤ ⎡ 0 a12 " a1n ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 0 % # ⎥ ⎥ ,U = − ⎢ ⎥ ⎢ % an −1, n ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ 0 ⎦ ⎣
§2 Jacobi 迭代法与 Gauss－Seidel 迭代法
1 k
为迭代法的平均收
25
26
Def 3.3 设 A = (aij ) ∈ R ，如果矩阵 A 满足条件
aii > ∑ aij
j≠i
n× n
( i = 1, 2," , n)
Def 3.4 设 A = (aij ) ∈ R 排列阵 P 使
n× n
，当 n ≥ 2 时，如果存在 n 阶
数值分析迭代法的基本原理
数值分析迭代法的基本原理
数值分析迭代法是在数值计算中常用的一种方法，它对于求解非线性方程组和
系统动力学方程组具有广泛的应用，常用来较准确地估算未知量。
迭代法的基本原理是把复杂的问题拆分为一系列实现以求测函数的小过程，将
求解过程的每一步都视为迭代操作。
为了使求解的精度提高，要求每步迭代都可以达到合理的精度，可以使用收敛率来反映求解的精度。
一般的，收敛率大于某一数值（比如0.001）时，认为迭代法已经可以得到较完美的解。
数值分析迭代法还使用了复杂的误差估计方法，通过它可以得到良好的估算未
知量。
为此，迭代模型要加入某种形式的误差估计方法，以衡量求解精度，优化迭代收敛性。
通常，它将利用同伴雅可比（Jocobian）行列式来预估函数的局部变化，从而获得准确的估算未知量。
总的来看，数值分析迭代法广泛应用于工程设计与实验诊断等领域，是计算技
术研究工作者必不可少的一种重要的方法手段，具有解决复杂的非线性方程组、系统动力学方程组的能力。
数值分析实验报告--实验6--解线性方程组的迭代法
1 / 8数值分析实验六：解线性方程组的迭代法2016113 张威震1 病态线性方程组的求解1.1 问题描述理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？实验内容：考虑方程组Hx=b 的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(),,,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b 的办法给出确定的问题。
实验要求：（1）选择问题的维数为6，分别用Gauss 消去法、列主元Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？（2）逐步增大问题的维数（至少到100），仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？（3）讨论病态问题求解的算法1.2 算法设计首先编写各种求解方法的函数，Gauss 消去法和列主元高斯消去法使用实验5中编写的函数myGauss.m 即可，Jacobi 迭代法函数文件为myJacobi.m ，GS 迭代法函数文件为myGS.m ，SOR 方法的函数文件为mySOR.m 。
1.3 实验结果1.3.1 不同迭代法球求解方程组的结果比较选择H 为6*6方阵，方程组的精确解为x* = (1, 1, 1, 1, 1, 1)T ，然后用矩阵乘法计算得到b ，再使用Gauss 顺序消去法、Gauss 列主元消去法、Jacobi 迭代法、G-S 迭代法和SOR 方法分别计算得到数值解x1、x2、x3、x4，并计算出各数值解与精确解之间的无穷范数。
Matlab 脚本文件为Experiment6_1.m 。
迭代法的初始解x 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0)T ，收敛准则为||x(k+1)-x(k)||∞<eps=1e-6，SOR方法的松弛因子选择为w=1.3，计算结果如表1。
03 材料科学研究中常用的数值分析方法
解决这类问题通常有两种途径：（1）对方 程和边界条件进行简化，从而得到问题在简 化条件下的解答；（2）采用数值解法。 第一种方法只在少数情况下有效，因为过多 的简化会引起较大的误差，甚至得到错误的 结论。 目前，常用的数值解法大致可以分为两类： 有限差分法和有限元法。
数值模拟通常由前处理、数值计算、后处理三 部分组成 前处理 实体造型、物性赋值、定义单元类型、网格 划分 数值计算 施加载荷、设定时间步、确定计算控制条件、 求解计算 后处理 显示和分析计算结果、分析计算误差
1.差分方程的建立
合理选择网格布局及步长 将离散后各相邻离散点之间的距离，或者离散 化单元的长度称为步长。
y
(i,j+1)
dy
(i-1,j) (i,j)
(i+1,j)
(i,j-1)
dx x
将微分方程转化为差分方程
向前差分
T T (i 1, j ) T (i, j ) x x
2
1 1 T (i, j ) T (i, j ) T (i, j 1) 2T (i, j ) T (i, j 1) T 2 2 2 y y y y 2
2
差分格式的物理意义
y
dT dx T(x+dx)-T(x) dx
2u 2u 2 0,0 x 0.5,0 y 0.5 2 x y u (0, y ) u ( x,0) 0 u ( x,0.5) 200x u (0.5, y ) 200y
3.3 有限单元法
有限元法（FEMA）也称为有限单元法或有限元素 法，基本思想是将求解区域离散为一组有限个且按 一定方式相互连接在一起的单元的组合体。它是随 着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计 算方法。 把物理结构分割成不同大小、不同类型的区域，这 些区域称为单元。 根据不同分析科学，推导出每一个单元的作用力方 程，组集成整个结构的系统方程，最后求解该系统 方程，就是有限元法。
数值分析第六章线性方程组迭代解法
数值分析第六章线性方程组迭代解法线性方程组是数值分析中的重要内容之一，其求解方法有很多种。
其中一种常用的方法是迭代解法，即通过不断迭代逼近方程组的解。
本文将介绍线性方程组迭代解法的基本思想和常用方法。
线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量，x是未知向量。
线性方程组的解可以是唯一解，也可以是无穷多个解。
迭代解法的基本思想是通过不断迭代，并利用迭代序列的极限，逼近线性方程组的解。
迭代解法适用于大型的线性方程组，而直接求解法则适用于小型的线性方程组。
常用的迭代解法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法。
雅可比迭代法是最简单的线性方程组迭代解法之一、它的基本思想是将线性方程组的每个方程都单独表示为未知数x的显式函数，然后通过不断迭代求解。
雅可比迭代法的迭代公式为：x(k+1)=D^(-1)(b-(L+U)x(k))其中，D是A的对角元素构成的对角矩阵，L是A的下三角矩阵，U 是A的上三角矩阵，x(k)是第k次迭代的解。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版。
它的基本思想是将每个方程的解带入到下一个方程中，而不是等到所有方程都迭代完毕后再计算下一组解。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-L)^(-1)(b-Ux(k))其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），x(k)是第k次迭代的解。
逐次超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的改进。
它引入了松弛因子w，通过调节松弛因子可以加快收敛速度。
逐次超松弛迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-wL)^(-1)[(1-w)D+wU]x(k)+w(D-wL)^(-1)b其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），w是松弛因子，x(k)是第k次迭代的解。
线性方程组迭代解法需要设置迭代停止准则，通常可以设置迭代次数上限或者设置一个精度要求。
数学考研数值分析基础知识点
数学考研数值分析基础知识点数值分析是数学的一个分支，主要研究利用计算机进行数值计算的方法和算法。
在数学考研中，数值分析是一个重要的考点，本文将介绍数值分析的基础知识点，帮助考生能够更好地应对数值分析的考试。
一、插值与逼近1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于根据已知数据点推测出未知点的值。
其基本思想是构造一个满足已知数据点的条件的拉格朗日多项式，并通过该多项式求解未知点的值。
2. 牛顿插值牛顿插值是另一种常用的插值方法，与拉格朗日插值相比具有更高的精度。
牛顿插值利用差商的概念，通过已知数据点的差商构造插值多项式，并利用该多项式求解未知点的值。
3. 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种通过最小化残差平方和的方法，用于找到一个函数来近似已知数据点。
该方法常用于求解数据拟合问题，通过最小二乘逼近可以得到最优的拟合曲线。
二、数值积分1. 梯形公式梯形公式是一种常用的数值积分方法，通过将待积函数在积分区间上用一系列梯形逼近，从而求解积分的近似值。
梯形公式简单易懂，但精度比较低。
2. 辛普森公式辛普森公式是一种更高精度的数值积分方法，通过将待积函数在积分区间上用一系列二次曲线逼近，从而求解积分的近似值。
辛普森公式相比于梯形公式，在相同节点数的情况下有更高的精度。
三、常微分方程数值解法1. 欧拉法欧拉法是一种常用的常微分方程数值解法，通过将常微分方程转化为差分方程，从而近似求解方程的解。
欧拉法简单易懂，但对于某些情况下可能存在的数值不稳定性需要注意。
2. 修正的欧拉法和改进的欧拉法修正的欧拉法和改进的欧拉法是欧拉法的改进版，通过引入更高阶的项来提高精度和数值稳定性。
3. 4阶龙格-库塔法4阶龙格-库塔法是一种更高精度的常微分方程数值解法，通过迭代求解不同的插值点，并利用加权平均的方式来提高解的精度。
四、线性代数方程组的数值解法1. 直接法直接法是解线性代数方程组的一种常用方法，包括高斯消元法和LU分解法。
数值分析-第三章小结
姓名 班级 学号第三章 非线性方程的数值解法一、学习体会本章主要介绍了非线性方程组的方程根的解法，求方程根的步骤，由于非线性方程组只有少数类型能解出根的解析表达式，只能用数值方法求出它的近似值。
求解非线性方程组的方法有作图法等，求根的方法有二分法、迭代法、牛顿法、割线法等。
在学习过程当中，我们要注意各种方法的特点与使用范围，针对不同场合下的非线性方程组，选择合适的方法有利于我们快速准确的得到所要求的结果。
二、知识梳理非线性方程的迭代解法1、对分法对分法的算法步骤如下：对k=0，1……，M 执行（1）计算k 2a kk x b +=； （2）()k f x ε<或者2k k b a ε-<则停止计算。
取s=k x ，否则转（3）； （3）若f(k a )f (k x )〈0，令k+1k+1k k a =b =a x ，，；若f(k a )f (k x )〉0则有k+1k+1k k a =b =b x ，，； （4）若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
2、简单迭代法及其收敛性定理1：设函数()[,]x C a b ϕ∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件:（1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ϕ∈；（2）当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ϕ≤<, 其中L 为一常数。
则有如下结论:（1）方程=()x x ϕ在区间[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101|-|||1|-|||1kk k k k L s x x x L L s x x x L-≤--≤-- 定理2 设=()s s ϕ，'()x ϕ在包含s 的某个开区间内连续。
如果|'()|<1s ϕ，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。
答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。
数值分析第三章线性方程组的迭代法课件
§ 3.3.2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示
将A分裂成A =D+L+U，则Ax b 等价于
(D+L+U )x = b
于是,则高斯—塞德尔迭代过程
Dx(k1) Lx(k1) Ux(k) b
因为 D 0 ,所以 D L D 0
故
(D L)x(k1) Ux(k) b
x(k1) (D L)1Ux(k) (D L)1b
e(k) x(k) x* Gx(k1) d (Gx* d) G(x(k1) x* ) Ge(k1)
于是 e(k) Ge(k1) G 2e(k2) Gk e(0)
由于 e (0)可以是任意向量,故 e(k) 收敛于0当且仅
故 (D L)x(k1) (1)D U x(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异, (因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
令 L (D L)1 (1)D U
f (D L)1b
则超松弛迭代 公式可写成
称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵
雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛 性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量 形式。即
x1(k 1)
1 a11
(a12 x2(k )
a13 x3(k )
a1n xn(k )
b1 )
x2(k 1)
1 a 22
(a21 x1(k )
a23 x3(k )
§ 3.4.2超松弛迭代法的矩阵表示 设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵A非奇异,且主对角
元素 aii 0(i 1,2,, n) , 则将A分裂成
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作为根的初始近似。
开 始 读入a, h a x0 f (x0) y0 x0 + h x0 是 继续扫描
f (x0) y0>0
打 印 否 结 束
例1：考察方程 f ( x) x 3 x 1 0 的含根区间
x f (x)符号
0 －
0.5 －
1.0 －
1.5 ＋
可见，含根区间为 [1, 1.5]
由定理4.2.1知，迭代格式xk+1＝(lgxk+7)/2 在[3.5,4]内收敛
局部收敛性定理
定理4.2.2 设x*为g的不动点，g(x)与g′(x)在 包含x*的某邻域U(x*) (即开区间)内连续， 且|g′(x*)|<1,则存在>0，当x0∈［x* ，x*+ ］时，迭代法(3)产生的序列 {xk} ［x* - ，x*+ ］且收敛于x*. 证明略（作为练习）
Remark3:二分法不能用来求重根
§4.2 单个方程的迭代法
等价变换
f (x) = 0 f (x) 的根
x = g (x)
xk+1 = g(xk)
(3)
g (x) 的不动点
f(x)=0化为等价方程 x=g(x)的方式是不唯一 的,有的收敛,有的发散 For example：2x3-x-1=0
(1) 如果将原方程化为等价方程 x 2 x3 1
Remark：
定理条件非必要条件，而且定理4.2.1中 的压缩条件不好验证，一般来讲， 若知道迭代函数g(x)∈C1『a,b］,并 且满足|g′(x)|≤ < 1,对任意的 x∈［a,b］, 则g（x)是［a,b］上的压缩映射
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x
x x0 y y=g(x) x1 x* y=x y y=g(x) p0 x0 x*
§4.1 对分区间法 (Bisection Method )
原理：若 f(x) C[a, b]，且 f (a) · (b) < f 0，则f(x) 在 (a, b) 上必有一根。
a
a12 ax1
x* b x2
b b1
停机条件： k 1 xk ε1 或 x
f ( x ) ε2
不能保证 x 的精 度
ln 2
定义f (x)
输入
a,b,
k=0
f (a) f (b)>0 否 否 m=(a+b)/2 |a-b|< 是 a=m 是 打印m, k 结束 f (a) f (b)=0
是
是 是
f (a) =0
否
否 f(a)f(b)>0 否 b=m
打印b, k
结束
打印a, k
k=k+1
x 3 4 x 2 10 0 例2 用二分法求 1 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 10 2 2 解：
12
Remark1：求奇数个根
Find solutions to the equation
on the intervals [0, 4]，Use the bisection method to compute a solution with an accuracy of 10－7. Determine the number of iterations to use..
2
x* x
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。 2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。 3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]， b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]，
第四章 非线性方程的数值解法
非线性方程求根
1．根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？ 2．这些根大致在哪里？如何把根隔离开来？ 3．根的精确化 定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0，
则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
p1 y=g(x) x x1 y=x
p0 p1
x x0 x*
p1
x
x1 x0 x*
x1
改进、加速收敛 /* accelerating convergence */
待定参数法： 若 | g’(x) | 1，则将 x = g(x) 等价地改造为
x x Kx Kg( x ) (1 K ) x Kg( x ) ( x ) 求K，使得 | ( x ) | | 1 K Kg( x ) | 1
在这里我们考查在区间[3.5,4]的迭代法 的收敛性
• 很容易验证：f(3.5)<0,f(4)>0 • 将方程变形成等价形式：x＝(lgx+7)/2
1 g(x)= (lg( x) 7) 2 1 1 g ( x) 2 ln10 x
3.5 x 4
max | g ( x) | 0.063 1
x0 1 2
3
1 2
0.7937
x2
3
x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
依此类推,得 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000
同样的方程
⇒ 不同的迭代格式
有不同的结果
什么形式的迭代 法能够收敛呢?
（3）k次迭代所得到的近似不动点xk与精确不动点x*有误差估计 式：
xk x xk xk 1 (6) 1 k * xk x x1 x0 (7) 1
*
§3 Fixed-Point Iteration
证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？
令G(x)=g(x)-x, x∈［a,b］，由条件①知 G(a)=g(a)-a≥0, G(b)=g(b)-b≤0.
已经收敛,故原方程的解为 x = 1.0000
收敛性分析
定义2 若存在常数(0≤ <1),使得对一 切x1,x2∈［a,b］, 成立不等式 |g(x1)-g(x2)|≤ |x1-x2|， (5) 则称g(x)是［a,b］上的一个压缩映射， 称为压缩系数
定理4.2.1 考虑方程 x = g(x), g(x)C[a, b], 若
f(1)=-5<0 f(2)=14>0 f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)>0 f(1.313)<0 f(1.344)<0 f(1.360)<0 f(1.368)>0
有根区间 -(1,2)+ (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.313,1.375) (1.344,1.375) (1.360,1.375) (1.360,1.368)
a1=x1, b1=b。 反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
(a, b), (a1, b1), …, (ak, bk), …
4、当 bk 1 ak 1 时，则 xk 1
即为根的近似。
1 ( a k bk ) 2
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位臵。 f(x)
x0
a x0 h
x *
b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若 f ( x0 ) f ( x0 h ) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h
[0,1], [1.5, 2.5] and [3,4]， 利用前面的公式可计算 迭代次数为k=23.
Remark2:要区别根与奇异点
Consider f(x) = tan(x) on the interval (0,3).Use the 20 iterations of the bisection method and see what happens. Explain the results that you obtained. （如下图）
( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]；
( II )在［a,b］上成立不等式：|g(x1)-g(x2)|≤ |x1-x2| 。 则（1）g在［a,b］上存在惟一不动点x* （2）任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk)
得到的序列 {xk}（［a,b】） 收敛于x* 。
可用 | xk 1 xk | 来 控制收敛精度
这就证明了估计式(6).
(5) |xk-xk-1| = |g(xk-1)-g(xk-2)|
≤
|x k-1-xk-2|≤…≤
k-1|x
1-x0|
联系估计式(6)可得
|xk-x*| ≤
k-1/(1-)|x1-x0|.
越小，收敛越快
即估计式(7)成立
3 则迭代格式为：xk 1 2 xk 1
取初值
x0 0
x1 2 x 1 1
3 0
x2 2 x 1 3
3 1
x3 2 x 1 55
3 2
由此可见，这种迭代格式是发散的
(2) 如果将原方程化为等价方程
仍取初值
x0 0
3
x3
x1 2
x1
f ( x ) x 3 3 x 1 0 在 (1, 2) 的实根。 例：求